大连医科大学研究生院-厨房对联

模拟方法——概率的应用


预习课本P150～152，思考并完成以下问题
(1)几何概型的定义是什么？


(2)古典概型与几何概型有什么区别？


(3)几何概型的概率公式是什么？



[新知初探]

1．几何概型的定义
向平面上有限区域(集合)G内随机地 投掷点M，若点M落在子区域G
1
G的概率与G
1
G
1
的面 积
的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G
1
)＝，则称这种模型
G的面积
为几何概型．
几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度
之比．
2．几何概型的特点
(1)无限性，在一次试验中，可能出现的结果有无限个，即有无限个不同的基本事件；
(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性(概率)是均等的．

因此，几何 概型适用于试验结果有无限多个且各个结果等可能发生的概率模型，主要
解决有关长度、面积、体积的概 率问题．
[小试身手]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( )
(2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个．( )
(3)几何 概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的
可能性相等．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m
的概率是________．
解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间2 m时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率
21
为P＝＝.
42
1
答案：
2
3．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影
部分)中的概 率是________．

1
π×1
2
2
π
解析 ：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为＝.
48
π
答案：
8

与长度(角度)有关的几何概型

[典例] 在圆心角为90°的扇形AOB中，以 圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC
和∠BOC都不小于30°的概率．
[解] 以O 为起点作射线OC是随机的，而射线落在∠AOB内的任何位置是等可能的，
作∠AOD＝∠BOE＝3 0°，则OC落在∠DOE内符合题目要求，OC落在∠DOE内只与∠DOE
的大小有关，符合几何概 型的特点．设事件A为“射线OC落在∠DOE内”．事件A的度量
是90°－30°－30°＝30° ，试验的全部结果的度量是90°，由几何概型的概率公式得P(A)＝
1
＝.
3

如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种概 率
称为长度型的几何概型．可按下列公式来计算其概率：
事件A构成的区域长度角度
.
全部试验结果构成的区域长度角度
30°
90°
P(A)＝
[活学活用]
某人欲从某车站乘车出差，已知该人能乘坐的车均为每小时一班，且车会在站内停
留5 min等待旅客上车．求此人等待时间不多于10 min即可上车的概率．
解：设事件A为“等待上车的时间不多于10 min”，设汽车在时刻60 min时开走，则
汽车在时刻55 min时进站上人，所以此人只要在时刻45 min之后到达车站即可．
所以此人到达车站的时刻位于[45,60]这一时间段内，因此由几何概 型的概率公式，得
60－45
11
P(A)＝＝，即此人等待上车时间不多于10 min的概率为.
6044
与面积有关的几何概型

S
[典例] 向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求△PBC的面积小于的概率．
4
[解] 如图 所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的
S
11
直线交AD于点E， 当△PBC的面积等于时，即BC·PF＝BC·EF，
424
1
所以PF＝EF， 过点P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H，所以满足S
△PBC
2
S
＝的点P的轨迹是线段GH.
4
S
所以满足条件“△PBC的面积小于
”的 点P应落在矩形区域GBCH内．
4
S
设“△PBC的面积小于
”为事件A，
4
S
2
1
所以由几何概型的概率公式得P(A)＝
S
＝.
2
S
1
所以△PBC的面积小于的概率是.
42

在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此
时，只需分清 各自区域特征，分别计算其面积，以公式
构成事件A的区域面积
计算事件的概率即可．
试验的全部结果构成的区域面积
[活学活用]


0≤x≤2，< br>设不等式组

表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐
< br>0≤y≤2

P(A)＝

标原点的距离大于2的概率是( )
π
A.
4
π
C.
6
π－2
B.
2
4－π
D.
4

解析：选D 画草图易知区域D是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的 点在以
1
2×2－×π×2
2
4－π
4
原点为圆心，2为半 径的圆的外部，所以所求的概率为＝.
4
2×2
与体积有关的几何概型
[典例] 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在
这个圆 柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[解析] 先求点P到点 O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V
圆柱
＝π×1
2
×2
142
＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V
半球
＝×
π×1
3
＝
π.则点P到
233
2
π
3
1
点O的距离小于1或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－
2π3
12
＝.
33
2
[答案]

3



在一个几何概型中，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其 概
率的计算公式为P(A)＝
构成事件A的区域体积
.
试验的全部结果所构成的区域体积
[活学活用]
已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，在正方体内随机取一点 M，求使四棱锥
1
M-ABCD的体积不超过(事件A)的概率．
6
11< br>解：设M到平面ABCD的距离为h，则V
M-
h≤.又S
四边形
AB CD
＝1，
ABCD
＝S
四边形
ABCD
·
36< br>111
所以只要h≤即可．所有满足h≤的点组成以四边形ABCD为底面，为高的长方体，其< br>222