物流在职研究生-建筑工程一切险费率

第一章 直角三角形的边角关系
第1课时
§1.1.1 锐角三角函数
教学目标
1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程
2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：理解正切函数的定义
难点：理解正切函数的定义
教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它 三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。

师生共同研究形成概念
1、

梯子的倾斜程度
在很多建筑物里， 为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾
斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是 非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得
倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个 比值就是我们这节课所要学习的—
—倾斜角的正切。
1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；
2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；
3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；
通过对以上问题的讨论，引导 学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引
入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、

想一想（比值不变）
☆ 想一想 书本P 2 想一想 < br>通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子
的倾斜程度。 当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的

1

大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、

正切函数
B
斜边
∠A的对边
（1） 明确各边的名称
AC
A的对边
∠A的邻边
（2）
tanA

A的邻边
（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A的对边与∠A的邻边的比值。
A
☆ 巩固练习
a、 如图，在△ACB中，∠C = 90°，
1） tanA = ；tanB = ；
A
C
2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；
3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB =
B
；
b、 如图，在△ACB中，tanA = 。（不是直角三角形）
（4） tanA的值越大，梯子越陡
B
C
4、

讲解例题
例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。




例2 如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，
tanB
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

随堂练习
5、书本 P 4 随堂练习

小结
正切函数的定义。

作业
书本 P4 习题1.1 1、2、4。
3
，求BC、AB的长。
4
A
5m
α8m
13m
β
5m
B
C



2

第2课时
§1.1.2 锐角三角函数
教学目标
5、 经历探索直角三角形中边角关系的过程
6、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
7、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
8、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：理解正弦、余弦函数的定义
难点：理解正弦、余弦函数的定义
教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

上一节课，我们研究了正切函数，这节课，我们继续研究其它的两个函数。
 复习正切函数
斜边

师生共同研究形成概念

6
、

引入

书本 P 7 顶
A
∠A的邻边
7
、

正弦、余弦函数

B
∠A的对边
C
A的邻边
A的对边
sinA
，
cosA

斜边
斜边
A
☆ 巩固练习
c、 如图，在△ACB中，∠C = 90°，
1） sinA = ；cosA = ；sinB = ；cosB = ；
B
C

2） 若AC = 4，BC = 3，则sinA = ；cosA = ；
3） 若AC = 8，AB = 10，则sinA = ；cosB = ；
d、 如图，在△ACB中，sinA = 。（不是直角三角形）
B
8
、

三角函数

锐角∠A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数。
9
、

梯子的倾斜程度

sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越大，梯子越陡
A
10
、

讲解例题

例3 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AC = 200，
sinA0.6
，求BC的长。
分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。
例4 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 10，
cosA
A
C
C
B
12
，求AB的长及sinB。
13
B
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

随堂练习

11、 书本 P 随堂练习

C
A
3


小结

正弦、余弦函数的定义。

作业

书本 P 6 习题1、 2、3、4、5
第3课时
§1. 2 30°、45°、60°角的三角函数值
教学目标
9、 经历探索30°、45°、60° 角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数
的意义
10、 能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
11、 能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小
教学重点和难点
重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值
教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函数值。

师生共同研究形成概念

12
、

引入

书本 P 8引入
本节利用三角函数的定义求30°、45°、6 0°角的三角函数值，并利用这些值进行一些
简单计算。

13
、

30
°、
45
°、
60
°角的三角函数值

通过与学生一起推导，让学生真正理解特殊角的三角函数值。

B
A




B
C
C

度数
30
°

sinα cosα
A
tanα
1

2
3

2
3

3
1
45
°

2

2
3

2
4

2

2
1

2
60
°



3

要求学生在理解的基础上记忆，切忌死记硬背。
14
、

讲解例题

例5 计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）
13cos30
；
（3）
cos30sin45
22
； （4）
sin60cos45tan45
。
sin60cos45
分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解。
例6 填空：（1）已知∠A是锐角，且cosA =
1
，则∠A = °，sinA = ；
2
O
（2）已知∠B是锐角，且2cosA = 1，则∠B = °；
（3）已知∠A是锐角，且3tanA

例7
3
= 0，则∠A = °；
一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为
60° ，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高
度之差。
B
C
A
分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。
例8 在Rt△ABC中，∠C = 90°，
2a3c
，求
D
a
，
∠B、∠A。
c
分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小。

随堂练习

15、 书本 P 9 随堂练习

小结

要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值，切忌死记硬背。

作业

书本 P 9 习题1.3 1、2、3、4、

















5

§1.3三角函数的有关计算
教学目标：
1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义．
2、能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．
教学重点
1．经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一
步体会三角函数的意义．
2．能够利用计算器进行有关三角函数值的计算．
教学难点
把实际问题转化为数学问题
教学过程：
一、导入新课
生活中 有许多问题要运用数学知识解决。本节课我们共同探讨运用三角函数解决与
直角三角形有关的简单实际问 题—§1.3、三角函数的有关计算
二、讲授新课
引入问题1：会当凌绝顶，一览众山小， 是每个登山者的心愿。在很多旅游景点，为了方便
游客，设立了登山缆车。
如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了
200m，已知缆车行驶的路线与水 平面的夹角


30
0
。
那么缆车垂直上升的距离是多少?
分析：在Rt△ABC中，∠α＝30°，AB=200米，需求出BC.
根据正弦的定义，sin30°=
BC
AB

BC
200
,
∴BC＝ABsin30°＝200 ×
1
2
=100(米).
引入问题2：
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平
面的夹角是∠β＝45°，由此你能想到还能计算什么?
分析：有如下几种解决方案：
方案一：可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度.

6

方案二：可以计算缆车从A点到D点，垂直上升的高度、水平移动的距离.
三、变式训练，熟练技能
1、一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山
高.( sin40°≈0.6428，结果精确到0.01 m)
解：如图，根据题意，可知
BC=300 m，BA=100 m，∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt△CBD中，BD=BCsin40°≈300×0.6428＝192.84(m)；
1
在Rt△ABF中，AF=ABsin30°=100×=50(m).
2
所以山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m).
2、求图中避雷针的长度 。（参考数据：tan56°≈1.4826，tan50°≈1.1918)
解：如图，根据题意，可知
AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°
在Rt△DBA中，DB=ABtan56° ≈20×1.4826＝29.652(m)；
在Rt△CBA中，CB=ABtan50° ≈20×1.1918=23.836(m).
所以避雷针的长度DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m).
四、合作探究
随着人民生活水平的提高，
农用小轿车越来越多，为了交
通安全，某市政府要修建10m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建
40m长的斜道 ．(如图所示)。 这条斜道的倾斜角是多少？
探究1：在
Rt
△
ABC
中，
BC
＝ m，
AC
＝ m，
sin
A
＝ ＝ ．
探究2：已知sinA的值，如何求出∠A的大小？
请阅读以下内容，学会用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小．
已知三角函数求角度，要用到s in、cos、tan键的第二功能“sin
－1
，cos
－1
，tan－1
”和2ndf键．
探究3：你能求出上图中∠
A
的大小吗？
解：sin
A
＝
1
＝ ．（化为小数），
4
三、巩固训练
1、如图，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20mm，深19. 2mm，求V形角(∠ACB)的大
小．(结果精确到1°)
2、如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为

7

了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射 肿瘤．已知肿瘤在皮下
6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角 度．
3、某段公路每前进1000米，路面就升高50米，求这段公路的坡角． 4、一梯子斜靠在一面墙上．已知梯长4m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m，求梯子与
地面 所成的锐角．
五、随堂练习：P,14 1、2、3、4、
六、作业：p15 1至6题
§1.4
解直角三角形
一、教学目标
1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个元素的关系。
2.通过综合运用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力.
3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．
二、教学重点及难点
教学重点：掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形
教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用
三、教学用具准备
黑板、多媒体设备.
四、教学过程设计
一、创设情景
引入新课 ：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面3米且树干与地面
的夹角是30°。大 树在折断之前高多少米？
由30°直角边等于斜边的一半就可得AB=6米。分析树高是AB+AC =9米。由勾股定理容易得出BC的长
为3 米。当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单，也可以用锐角三角函数来解此题。
二、知识回顾
问题：
1．在一个三角形中共有几条边？几个内角?（引出“元素”这个词语）
2 ．直角三角形ABC中，∠C=90°，
a
、
b
、
c
、∠A 、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
讨论复习
师白：Rt△ABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？
总结：直角三角形的边、角关系（板书）(PPT)
(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°；
222
(2)三边满足勾股定理a＋b＝c；
(3)边与角关系
三、学习新课
１、例题分析
00
例题1 在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=38，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.
分析：如图 ，本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关
系，再分析怎样 用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角
三角比是余弦和正切 .
00
（板书）解：∵∠C=90 ∴∠A +∠B=90
0000
∴∠A=90－∠B=90－38=52

8

∵cosB=
∴ c= =
∵tanB=
0
∴b=atanB=8tan38≈6.250
另解：∵cotB= ∴b=
注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字.
２.学习概念
定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
３．例题分析
0
例题2 在Rt△ABC中，∠C=90，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.
分析：本题如图 ，已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角
问题，要记住解决问 题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.
（板书）解：
0222
∵∠C=90，∴a＋b＝c
∴b=
∵sinA=
0
∴∠A 460′
000 0
∴∠B=90－∠A≈90－460′=440′.
例题3（见教材p16）
注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外 ,边长保留四个有效数字,角度精确
到1′。
4、学会归纳
通过上述解题，思考对于一个直角三角形,除直角外的五个元素中,至少需要知道几 个元素,才能求出
其他元素？
想一想：如果知道两个锐角，能够全部求出其他元素吗？如果只 知道五个元素中的一个元素,能够全部
求出其他元素吗?
归纳结论：在直角三角形中，除直角 外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求
出其余三个元素.
[说明] 我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元
素(至 少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概
念，同时 又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
5、请找出题中的错误，并改正
已知:如图，在Rt△ABC中, ∠C=90°,由下列条件,解直角三角形:(结果保留根号)

9

§1.5三角函数的应用
教学目标：

10

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应
用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并
能对结果的意义进 行说明.
教学重点：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作
用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
教学难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
教学用具：小黑板 三角板
教学方法：探索——发现法
教学过程一、问题引入：
海中有一个小岛A，该岛四周 10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛
南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到 达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继
续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险 吗?你是如何想的?与同伴进行
交流.










二、解决问题：
1、如图，小明想测 量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向
前进50m至B处.测得仰角为 60°.那么该塔有多高?(小明的身高
忽略不计，结果精确到1 m)










2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已
知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地
面?(结果精确到0.0l m)


11

【作业设计】 1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，
现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?






2．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由 A处运往正西方向的B处，
经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一 台风中心正以
40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包 括边
界)均受到影响.
(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：
2
≈1.4，
3
≈1.7)





【板书设计】

三角函数的有关计算

提出问题：如何三角函数值，求相应的锐角． 例 触礁问题

随堂练习



讲解科学计算器的应用． 例 楼梯问题

课堂小结



课堂作业













12

§1.6 测量物体的高度

教学目标
知识与技能目标
能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知
识解决实际问题.
过程与方法目标
经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关 系的知识，利用
数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。
情感与价值观要求
通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.
教学重点、难点
设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养。
教具准备
自制测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具.
教学过程
提出问题，引入新课
现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、 高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的
高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后 利用所学的数学知识解决
问题.请同学们思考小明在测塔的高度时，用到了哪些仪器? 有何
用途? 如何制作一个测角仪？它的工作原理是怎样的？
活动一：设计活动方案，自制仪器
首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等).一般 的测倾器
由底盘、铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为单位，分组制作如
图所示的测倾器.
制作测角仪时应注意什么?
支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则 测出的角度
就不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一< br>个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下.
一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤)
活动二：测量倾斜角
（ 1）.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线
重合，这时度盘的顶 线PQ在水平位置.
（2）.转动度盘，使度盘的直经对准较高目标M，记下此时铅垂线指的 度数.那么这
个度数就是较高目标M的仰角.
问题1、它的工作原理是怎样的？
如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支
杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合， 这时度盘的顶
线PQ在水平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此
时铅垂线指向一 个度数.即∠BCA的度数.根据图形我们不
难发现∠BCA+∠ECB＝90°，而∠MCE+∠EC B=
90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角，根据同角的余角



13

相等，得∠BCA＝∠MCE.因此读出∠BCA的 度数，也就读出了仰角∠MCE的度数.
问题2、如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢?
和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处
的 目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数
就是低处的俯角.
活动三：测量底部可以到达的物体的高度.
“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距
离.
要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：(如下图)
1.在测点A处安置测倾器(即测角仪)，测得M的仰角∠MCE=α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.
3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a(即 顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离).
根据测量数据，就能求出物体MN的高度.
ME
在Rt△MEC中，∠MCE=α，AN=EC=l，所以tanα=，即ME=tana·EC＝l· tanα.
EC
又因为NE＝AC＝a，所以MN＝ME+EN＝l·tanα+a.
活动四：测量底部不可以到达的物体的高度.
所为“底部不可以到达”，就是在地面 上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的
距离.例如测量一个山峰的高度.
可按下面的步骤进行(如图所示)：
1.在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M
的仰角∠MCE＝α.
2. 在测点A与物体之间的B处安置测角仪(A、B与N
都在同一条直线上)，此时测得M的仰角∠MDE= β.
3.量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB=b
根据测量的AB的长度，AC、BD的高度以及∠MCE、∠MDE的大小，根据直角三角形的
边角关系 .即可求出MN的高度。
MEME
在Rt△MEC中，∠MCE＝α，则tanα＝，EC=；
ECtana

在Rt△MED中，∠MDE＝β则tanβ＝
ME
ME
，ED＝；
tan

ED
ME
ME
-=b, ME=
tana
tan


根据CD＝AB＝b，且CD＝EC-ED=b. 所以
b
11

tan

tan


MN=
b
11

tan

tan

+a即为所求物体MN的高度.
今天，我们分组讨论并制作了测角仪，学会使用了测角仪，并 研讨了测量可到达底部
和不可以到达底部的物体高度的方案.下一节课就清同学们选择我们学校周围的物 体.利

14

用我们这节课设计的方案测量它们的高度，相信同学们收获会更
大.
归纳提炼
本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案的设计活
动中， 想办法.献计策，用直角三角形的边角关系的知识解释设计
方案的可行之处.相信同学们在下节课的具体 活动中会更加积极地
参与到其中.
课后作业
制作简单的测角仪
活动与探究
如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑
物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以
直接测得。从A、D、C三点可看 到塔顶端H.可供使用的测员工具有
皮尺，测倾器(即测角仪).
(1)请你根据 现有条件，充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔
顶端到地面高度HG的方案.具体要求如下：
①测量数据尽可能少；
②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应测数据 标记
在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，
用n表示；如果测角， 用α、β、γ等表示.测倾器高度不计)
(2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG(用字母表
示),
I
方案1：(1)如图(a)(测四个数据)
AD＝＝n，∠HDM＝α,∠HAM＝β
(2)设HG＝x，HM＝x-n，
HMxn
在Rt△HDM中，tanα,DM=
DMtan

.
在Rt△HAM中，tanα
∵AM- DM＝AD，
∴
xn
xn
-=m,
tan

.
tan

.
xn
HM
,DM=
tan
.
AM
x=
mtan

tan

+n.
tan

tan

.
方案2：(1)如图(b) (测三个数据) CD＝n，∠HDM＝α，∠HCG＝γ.
(2)设HG＝x，HM＝x-n，
在Rt△CHG中，tanγ=
x
HG
,CG=,
tan

CG

15

在Rt△HDM中，tanα
∵CG＝DM. ∴




HMxn
,DM=,
DMtan

.
x
ntany
xn
=,x= < br>tan

tan

.
tan

tan
.
第二章 二次函数
2.1二次函数所描述的关系

教学目标：1.理解二次函数的概念；
2.能够表示简单变量之间的二次函数的关系。
知识回顾
：
1、正比例函数的表达式为 一次函数
反比例函数表达式为 。
2、某果园有100棵橙 子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高
产量，但是如果多种树，那么树之间 的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验
估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子 。请问种多少棵树才能达到30000
个的总产量？你能解决这个问题吗？
（请列出方程，不用计算）
新知探究：
3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平 均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高
产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树 所接受的阳光就会减少。根据经验
估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个
橙子？
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。
知识运用：

4.做一做
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是 说，利率是一个变量．在我国利率
的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定
期储蓄转存．如果 存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考
虑利息税)．
Y=________________________________
5、总结归纳
（1）从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征？
（2）仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？

16

（3）你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看。
【归纳总结】一般地，形如 （其中 均为常数 ≠0）
的函数叫做 。
你能举出类似的例子吗？
巩固练习
P30页随堂练习 1 2
布置作业 习题2.1




2.2二次函数的图像与性质1
一、教学目标
(一)知识与技能
1．能够利用描点法作出函数y=x
2
的图象， 能根据图象认识和理解二次函数y=x
2
的性
质．
22
2．猜想并能作出y=-x的图象，能比较它与y=x的图象的异同．
(二)过程与方法
1．经历探索二次函数y＝x
2
的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研 究函数性
质的经验．
2．由函数y=x
2
的图象及性质，对比地学 习y＝-x
2
的图象及性质，并能比较出它们的
异同点，培养学生的类比学习能力和发 展学生的求同求异思维．
(三)情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理
解．
2． 在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能
够从多个角度看问题，进 而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数y＝±x
2
的图象，并根据 图象认识和理解二次函数y＝±x
2
的性
质。
教学难点：由y=x
2
的图象及性质对比地学习y＝-x
2
的图象及性质，并能比较出它们
的异同 点。
三、教学过程分析
1、情境引入
寻找生活中的抛物线
活动目的：
通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以
激发学生的 求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活。
2、温故知新
复习：(1)二次函 数的概念，（2）画函数的图象的主要步
骤，（3）根据函数y=x
2
列表
3、合作学习（探究二次函数y＝±x
2
的图象和性质）

17

活动内容：
1. 用描点法画二次函数y=x
2
的图象，并与同桌交流。
2. 观察图象，探索二次函数y=x
2
的性质，提出问题：
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0
呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？
你是如何知道的？
3 .二次函数
y
=－
x
2
的图象是什么形状？先想一想，然后作
它的图象
4.它与二次函数
y
=
x
2
的图象有什么关系 ？与同伴进行交流。
5.说说二次函数
y
=－
x
2
的图象 有哪些性质？与同伴交流。
4、 练习与提高
活动内容：
1、已知函数
y(m1)x
m
2
2m
是关于
x
的二次函数。求：
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，
这时当
x
为何值时，
y
随
x
的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值
是多少？
y
这时当
x
为何值时，
y
随
x
的增大而减小？
2、已知点A(1，
a
)在抛物线y=x
2
上。
（1）求A的坐标；
（2）在
x
轴上是否存在点P，使得△OAP
是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明
理由。
A
与同伴进行交流.
活动目的：
o
x
1.对本节知识进行巩固练习。
2.将获得的新知识与旧知识相联系，共同纳
入知识系统。
3.培养学生整合知识的能力。。
yx
2
6、课堂小结
活动内容：
小结：二次函数y=± x
2
的性质
根据图形填表：




yx
2

18

出

抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
6、 布置作业
P34 习题2.2 1,2题

y
=
x
2






y
=－
x
2







2.2
二次函数的图像与性质2
二、教学目标
知识与技能
1.能作出二次函数
yax
2
和
yax< br>2
c
的图象，并能够比较它们与二次函数
yax
2
的图象的异同，理解
a
与
c
对二次函数图象的影响。
2.能说出 二次函数
yax
2
和
yax
2
c
图象的开口 方向、对称轴、顶点坐标。
过程与方法
经历探索二次函数
yax
2和
yax
2
c
的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表
格、表达式、图象三者联系起来的经验。
情感态度与价值观
体会二次函数是某些实际问题的 数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数
学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
教学重点：
yax
2
和
yax
2
c
图象的作 法和性质
教学难点：能够比较
yax
2
、
yax
2< br>和
yax
2
c
的图象的异同，理解
a
与
c
对二次
函数图象的影响。
三、教学过程
第一环节 情境创设
活动内容：
1.二次函数y＝x
2
与y=-x
2
的图象一 样吗？它们有什么相同点？不同点？
2.二次函数是否只有y＝x
2
与y＝-x2
这两种呢?有没有其他形式的二次函数？
第二环节 做一做
活动内容：
1.在同一坐标系中作二次函数y=x
2
和y=2x
2
的图象．
(1)完成下表：
x
y=x
2

y=2x
2


…
…
…
－3 －2
9
18
4
8
－1
1
2
19

0
0
0
1
1
2
2
4
8
33
9
18
…
…
…

(2)分别作出二次函数y=x
2
和y=2x
2
的图象．
(3)二次函数y＝2x
2
的图象是什么形状?它与二次函数y=x
2
的图象 有什么相同和不同?
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
第三环节 议一议
活动内容：
1.在同一直角坐标系内作出函数y＝2x
2
与y＝2x
2
+1的图象，并比较它们的性质．
2.在同一直角坐标系内作出函数y＝3x
2
与y＝3x
2
-1的图象，并比较它们的性质．
活动目的：对二次函数性质 的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间（
a
相同）的平
移关系，培养学生的动态思维 。
实际教学效果：学生通过观察图象，发现两个图象是“全等的”，开口方向、对称轴
都是一 样的，只是顶点不一样，向上移动了1格。有几个思维活跃的学生马上就开始探索
移动的原因，发现y＝ 2x
2
+1比y＝2x
2
的y值多1，就向上移动了一格；这时，教师可以< br>拓展一下：如果减1呢，结果会怎样？减2呢？这样就把第二个问题也解决了。在老师的
引导下， 学生可以总结出这样的发现：y＝ax
2
+c的图象可以看成y=ax
2
的图 象整体上下移
动得到的，当c>0时,向上移动│c│个单位，当c<0时，向下移动│c│个单位。
第四环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流总结：
1.作二次函数图象的步骤：列表、描点、连线。
2. 快速、准确的说出
yax
2
和
yax
2
c
图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
3. y＝ax
2
+c的图象可以看成y=ax
2
的图象整体上下移 动得到的，当c>0时,向上移动
│c│个单位，当c<0时，向下移动│c│个单位。
活动目的：帮助学生归纳二次函数的性质。
实际教学效果：学生学习这节课是先动手，后操作 ，因此体会很深，对于作二次函
数图象的步骤与归纳二次函数的性质，都得心应手。
第五环节 布置作业
1.完成课本36页习题2.3
2.函数y＝5x
2
的图象在对称轴哪侧?y随着x的增大怎样变化?
3. 函数y＝－5x
2
有最大值或最小值吗?如果有，是最大值还是最小值?这个值是多少：

有利于训练学生的归纳能力。
2.2二次函数的图像与性质3

一、教学目标
知识与技能
1．能够作出y=a(x-h)
2
和y =a(x-h)
2
+k的图象，并能够理解它与y=ax
2
的图象的关系，< br>理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)
2
+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法
1．经历探索二次函数y=a(x-h)
2
+k的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观
1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数 学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步
形成积极参与数学活动的意识。

20

教学难点：理解y=a(x-h)
2
和y=a(x-h)
2
+k的图象与y=ax
2
的图象的关系，理解a、
h和
k对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a(x-h)
2和y=a(x-h)
2
+k与y=ax
2
的图象的关系，y=a(x-h )
2
+k的图象性质
三、教学过程
第一环节 复习引入
提出问题，让学生讨论交流
二次函数y=3（x－1）
2
+2的图象是什么 形状？它与我们已经作过的二次函数的图象
有什么关系？
第二环节 合作探究
1．做一做
（1）完成下表，并比较3x
2
与3（x－1）
2的值，它们之间有什么关系？
x

3
x
2

3(
x
-1)
2

-3


-2


-1


0


1


2


3


4


(2)在同一坐标系中作出二次函数
y
=3x
2
和
y
=3(
x
-1)
2
的图象．
(3)函数
y
=3(
x
-1)
2
的图象与
y
=3
x
2
的图象有什么关系?它是轴对
称图形吗?它的对称轴和顶 点坐标分别是什么?
(4)
x
取哪些值时,函数
y
=3
(x
-1)
2
的值随
x
值的增大而增大?
x
2取哪些值时,函数
y
=3(
x
-1)的值随
x
的增大而 减少？
（5）想一想,在同一坐标系中作二次函数
y
=3(
x
+ 1)
2
的图象,会
在什么位置?
2．议一议
（1）在上面 的坐标系中作出二次函数
y
=3(
x
+1)
2
的图象.它与 二次函数
y
=3
x
2
和
y
=3(
x
-1)
2
的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
（2） x取哪些值时,函数y=3(x+1)
2
的值随x值的增大而增大? x取哪些值时,函数
y=3(x+1)
2
的值随x的增大而减少？
（3） 猜一猜,函数
y
=-3(
x
-1)
2
,
y
=-3(
x
+1)
2
和
y
=-3
x
2
的图象的位置和形状.
（4）请你总结二 次函数
y
=
a
(
x
-
h
)
2的图象和性质.
总结二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)
2
的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
y
=
a
(
x
-
h
)
2
(
a
>0)
（h，0）
直线x＝h
在x轴的上方（除顶点外）
向上
y
=
a
(
x
-
h
)
2
(
a
＜0)
（h，0）
直线x＝h
在x轴的下方（除顶点外）
向下
在对称轴的左侧,
y
随着
x
的增在对称轴的左侧,< br>y
随着
x
的增大
增减性 大而减小. 在对称轴的右侧,
y
而增大. 在对称轴的右侧,
y
随
随着
x
的增大而增大. 着
x
的增大而减小.

21

最值
开口大小
当x＝h时，最小值为0 当x＝h时，最大值为0
|a|越大，开口越小
3．想一想
（1）在同一坐标系中作出二次函数
y
=3
x
²,
y
=3(
x
-1)
2
和
y
=3(x
-1)
2
+2的图象.
（2）二次函数
y
=3x
²,
y
=3(
x
-1)
2
和
y=3(
x
-1)
2
+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称
轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
二次函数
y
=
a
(< br>x
-
h
)²+
k
与
y
=
ax
²的关系
 一般地,由
y
=
ax
²的图象便可得到二次函数
y=a
(
x
-
h
)²+
k
的图象 :
y
=
a
(
x
-
h
)²+
k(
a
≠0) 的图象可以看成
y
=
ax
²的图象先沿< br>x
轴整体
左(右)平移|
h
|个单位(当
h
>0时, 向右平移;当
h
<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)
平移|
k|个单位 (当
k
>0时向上平移;当
k
<0时,向下平移)得到的.
 因此,二次函数
y=a(x-h)²+k
的图象是一条抛物线,它的开口方向、对 称轴和顶点坐
标与
a,h,k
的值有关.
总结二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)
2
＋k的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
y
=
a
(
x< br>-
h
)
2
＋k (
a
>0)
（h，k）
直线x＝h
由h和k的符号确定
向上
y
=
a
(
x
-
h
)
2
＋k (
a
＜0)
（h，k）
直线x＝h
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的 左侧,
y
随着
x
的增在对称轴的左侧,
y
随着
x< br>的增大
增减性 大而减小. 在对称轴的右侧,
y
而增大. 在对称轴的右侧,
y
随
随着
x
的增大而增大. 着
x
的增大而减小.
最值 当x＝h时，最小值为k 当x＝h时，最大值为k

第三环节 练习提高
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:

1
1
2
2

1

.y2
x3

,

2.yx15.
< br>2
3
22
2.(1)二次函数y=3(x+1)的图象与二次函数y=3x的图 象有什么关系?它是轴对称图
形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y =-3(x-2)
2
+4的图象与二次函数y=-3x
2
的图象有什么关系?
（3）对于二次函数y=3(x+1)
2
,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增 大?当x取哪些
值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)
2
+4 呢?
第四环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流本节课的学习心得，感受及收获。
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师

22

给予鼓励）包括二次函数图象的制作，函数图象性质的总结归纳。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。
第五环节 布置作业
P39 习题2.4













2.2二次函数的图像与性质4

教学目标
1、经历探索二次函数
yaxbxc
的图象的作法和性质的过程
2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题
教学重点和难点
重点：二次函数
yaxbxc
的图象的作法和性质
难点：理解二次函数
yaxbxc
的图象的性质
教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

上一节课，我们把一个二次函数通过配 方化成顶点式
ya(xh)k
来研究了二次函数中的a、
h、k对二次函数图象 的影响。但我科觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。这节课，我
们研究一般形式的二次函 数图象的作法和性质。

师生共同研究形成概念

复习旧知识


2
2
2
2
23

|a|
越大，开口越小；
|a|
越小，开口越大
当
a0
时，抛物线的开口向上；当
a0
时，抛物线的开口向下；
当
c0
时，抛物线与y轴的交点在原点的上方；当
c0
时，抛物 线与y轴的交点在原点的下方。

ya(xh)
2
k

开口方向
向上
向下
对称轴
直线
xh

顶点坐标
（h，k）
a0

a0


平移：左加右减 对称轴、顶点坐标：前相反，后相同
推导二次函数< br>yax
2
bxc
图象的对称轴和顶点坐标公式

4acb
2
b
b
对称轴：直线
x
顶点坐标：（

，）
4a
2a
2a
讲解例题

书本P39
分析：这是二次函数的具体应用，让学生体会对称轴、顶点坐标的在实际问题中的意义。

随堂练习

书本 P 41 随堂练习

小结

二次函数
yaxbxc
图象的对称轴和顶点坐标公式。

作业
书本 P 41 习题2.5

2
2.3

确定二次函数的表达式

一、教学目标
知识与技能
1．通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示 二
次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
2．通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二
次函数。
3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
过程与方法
1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力

24

和归纳总结的能力。
情感态度与价值观
在学习过程中体会学以致用，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
教学重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基
础
教学难点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基
础
三、教学过程分析
第一环节 解决问题
活动内容：
1．问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm
2
. y随x的而变
化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？
2．当学生完成上述的三个任务之后，进一步帮助学生明晰以下问题：
（1）在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
（2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?
（3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
3．问题二：两个数相差2,设其中较大的 一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变
化而变化的?
（1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?
（2）自变量x的取值范围是什么?
（3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?
（4）如何描述y随x的变化而变化的情况?
（5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？
第二环节 课堂小结
活动内容：
1．二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们之间有什么联系? 与同伴进行交流.
表示 优点 缺点

25

表达式
表格
图象
变量间关系简捷明了,便于分析计
算.
能直接得到某些具体的对应值
直观表示了变量间变化过程和变化
趋势.
需要通过计算,才能得到所需
结果
不能反映函数整体的变化情况
函数值只能是近似值
关系

表达 式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表
格的基础上对函数的总体概括和形象化的 表达.
2．对本节知识进行巩固，原则上由学生复述内容及要点。
第三环节 布置作业
（1）P43习题2.6第
小组合作讨论更具实效性。
2.4二次函数的应用1
一、教学目标
(一)知识与技能
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间 的二次函数关系，并能够运用二次函
数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
(二)过程与方法
1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养 学生的分
析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
(三)情感态度与价值观
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利 用数学方法解决
实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与 人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和
学好数学的信心，具有初步的创新精神和实 践能力．
教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数 学方法解决
实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够分 析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二
次函数的知识解决实际问题．
教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数
的有关知识解决最大面积的问题．
三、教学过程分析
第一环节 创设问题情境，引入新课

26

上节课我们利用二次函数 解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的
最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际 问题．解决这类问题的关键是要审清题意，
明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数 学模型。在此基础上，利用
我们所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题．
活动内容：由四个实际问题构成 1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形
ABCD
，其中
AB
和
AD
分
别在两直角边上．

(1)设长方形的一边
AB
＝
x
m，那么
AD
边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为
y
m
2
，当
x
取何值时，
y
的值最大？最大值是多少？
下面请小组开始讨论并写出解题步骤．
(1)∵BC∥AD，
EBBC
∴△EBC∽△EAF．∴．

EAAF
又
AB
＝
x
，
BE
＝40－
x
，
40xBC
3
∴．∴
BC
＝(40－
x
)． < br>
4
4030
33
∴
AD
＝
BC
＝ (40－
x
)＝30－
x
．
44
33
(2)y
＝
AB
·
AD
＝
x
(30－
x)＝－
x
2
＋30
x

44
3
＝－(
x
2
－40
x
＋400－400)
4
3
＝－(
x
2
－40
x
＋400)＋300
4
3
＝－(
x
－20)
2
＋300．
4
当
x
＝20时，
y
最大
＝300．
即 当
x
取20m时，
y
的值最大，最大值是300m
2
．
2．问题二：将问题一变式：“设
AD
边的长为
x
m，则问题会怎样呢？”
解：∵
DC
∥
AB
，
∴△
FDC
∽△
FAE
．
DCFD

∴．
AEFA
∵
AD
＝
x< br>，
FD
＝30－
x
．

27

DC30x
．

4030
4
∴
DC
＝(30－
x
)．
3
4
∴
AB
＝
DC
＝(30－
x
)．
3
4
y
＝
AB
·
AD
＝
x
·(30－
x
)
3
4
＝－
x
2
＋40
x

34
＝－(
x
2
－30
x
＋225－225)
3
4
＝－(
x
－15)
2
＋300．
3
当
x
＝15时，
y
最大
＝300．
即 当
AD
的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m
2
．
3．问题三：对问题一再变式
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A 和点D分别在两直角边
上,BC在斜边上.
∴
M
B
30
A
m
C
O
D
40m
N

(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
4．问题四：
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总
长(图中所有黑线 的长度和)为15m．当
x
等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到
0.01m )？此时，窗户的面积是多少？

分析：
x
为半圆的半径，也是矩形的较长 边，因此
x
与半圆面积和矩形面积都有关系．要

求透过窗户的光线最多，也 就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2
xy
＋
x
2
最大，而由2

28

于4
y
＋4
x＋3
x
＋π
x
＝7
x
＋4
y
＋πx
＝15，所以
y
＝
π
x
2
＋2
x< br>·
11
157x

x
．面积
S
＝πx
2
＋2
xy
＝
22
4
1
x(15 7x

x)
157x

x
＝π
x
2
＋＝－3.5
x
2
＋7.5
x
，这时已经转化为数学
2
42
问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：∵7
x
＋4
y
＋π
x
＝15，
157x

x
∴
y
＝．
4
设窗户的面积是
S
(m
2
)，则
1
S
＝π
x
2
＋2
xy

21
157x

x
＝π
x
2
＋2
x
·
2
4
1
x(157x

x)
＝π
x
2
＋
2
2
2
＝－3.5
x
＋7.5
x

15
＝－3.5(
x
2
－
x
)
7
151575
＝－3.5(
x
－)
2
＋．
14392
15
∴当
x
＝≈1.07时，
14
1575
S
最大
＝≈4.02．
392
即当
x
≈1.07m时，
S
最大
≈4.02m
2
，此时 ，窗户通过的光线最多．
第二环节 归纳升华
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
第三环节 课堂练习，活动探究
活动内容：
1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹 篱笆
围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多
少米时, 养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
2. 正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ =PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同
一直线l上，当C、Q两点重合时，
B
A
等腰△PQR以1cms的速度沿直线
l向左方向开始匀速运动，ts后正
P
方形与等腰三角形重合部分面积
M
2
为Scm，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值；

29

D Q C R

(2)当t=3s时，求S的值；
(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。

第四环节 课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题，增强了应用数学知识
的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学
知识的应用价值 ．

第五环节 课后作业
习题2．8

2.4二次函数的应用2
一、教学目标
(一)知识与技能
1、 经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题
的数学模型，并感受数学 的应用价值。
2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知 识求
出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。
(二)过程与方法
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人
类 历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。
(三)情感态度与价值观
1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数
学的信心。
2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和
发展人类理性精神 的作用。
教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数
的 知识求出实际问题的最值
教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次 函数
的知识求出实际问题的最值
三、教学过程
第一环节 复习回顾
活动内容：
1．复习二次函数y＝ax
2
+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。
2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售
额
第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：（有关利润的问题）
某商店 经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单
价满足如下关系：在一段 时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1
元，就可以多售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?
设销售单价为x(x≤13.5)元，那么

30

(1)销售量可以表示为 ；(2)销售额可以表示为 ；
(3)所获利润可以表示为 ；
(4)当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 ．
这是一个有实际意义的问题，要想解 决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，
并把这些关系用数学的语言表示出来。
设销 售单价为x元，则与原先的单价相比，降低了(13.5-x)元，而每降低1元，可多
售出200件， 降低了(13.5-x)元，则可多售出200(13.5-x)件，因此共售出500+200(13.5-x )
件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x-2.5)[500+200(13.5-x)]。
经过分析之后，上面的4个问题就可以解决了。
(1)销售量可以表示为500+200(13.5-x)=3200—200x。
(2)销售额可以表示为x(3200-200x)=3200x-200x
2
。
(3)所获利润可以表示为(3200x-200x
2
)-2.5(3200-200x)＝- 200x
2
+3700x-8000。
(4)设总利润为y元，则
3718225
y＝-200x
2
+3700x-8000=-200(x-
)
2

.
42
∵-200＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值。
3718225
当x＝＝9.25元时，y
最大
= =9112.5元.
42
即当销售单价是9．25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112．5元．
第三环节 巩固练习
活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1.验证猜测；2.进一步分析）
1．本 章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)
与橙子总产量y(个 )的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝
-5x
2
+ 100x+60000。
当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？ 你是怎
么做的？与同伴进行交流。
实际教学效果：
大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题。
y＝-5x
2
+100x +60000＝-5(x
2
-20x+100-100)+60000＝
-5(x-1 0)
2
+60500。
当x=10时，y
最大
=60500。
2．议一议：（要求学生画出二次函数的图象，并根据
图象回答问题）
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树
的棵数之间的关系。
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
第四环节 实践应用
活动内容：
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么 半个月内可以售
出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元 ，
销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则
y=(x-20)[400-20(x-30)]
＝-20x
2
+1400x-20000

31

＝-20(x-35)
2
+4500。
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．
第五环节 课堂小结
本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优
化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值。
学会了分析和表示实际问题中变量之 间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出
实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力。
第六环节 课后作业
习题2．9


2.5二次函数与一元二次方程1
二、教学目标
知识与技能：
1．理解 二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及
满足什么条件时方程有两个不 等的实根，有两个相等的实根和没有实根；
过程与方法：
1．通过观察二次函数图象与x轴 的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一
步培养学生的数形结合思想．
2．理解一 元二次方程ax
2
+bx+c=h的根就是二次函数y=ax
2
+bx+c 与直线y=h（h是
实数）图象交点的横坐标。
情感态度与价值观：
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联
系； 2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结
论的确定性。
教学重点：
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满 足
什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根
教学难点：
理 解一元二次方程ax
2
+bx+c=h的根就是二次函数y=ax
2
+bx+ c 与直线y=h（h是实数）
图象交点的横坐标
三、教学过程分析
第一环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1. y=ax
2
+bx+c (a ,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。
它的对称轴是 直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。
2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax
2
+ bx +c (a≠0)顶点式：y = a(x-h)
2
+

k交
点式：y = a(x-x
1
)(x-x
2
)
3. 抛物线y = x
2
+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是
___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.

32

5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为
_______________ 。
第二环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
1．我们已经知道,竖直上抛物体 的高度h(m)与运动时间
t(s)的关系可用公式h=-5t
2
+v
0t+h
0
表示, 其中h
0
(m) 是
抛出时的高度, v
0
(ms)是抛出时的速度. 一个小球从地
面以40ms的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与
运动时间t (s)的关系如图所示,那么(1) 图象上每个点
的横、纵坐标含义是什么？
(2) h和t的关系式是什么？
（3）小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流.
2．分别求出二次函数y=x
2
+2 x,y=x
2
-2x+1,y=x
2
-2x+2的图象与x轴的交点的坐标, 并快速
作出草图.
思路点拨: 与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解, 然后写成点的坐标.



y=x-2x
y=x
y=x-2x




（1）观察下列二次函数y=x
2
+2x,y=x
2
-2x+1,y=x< br>2
-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个
交点？
(2) 一元二次方程x
2
+2x=0, x
2
-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x
2
-2x+2=0 有
根吗?
(3)说说二次函数y=ax
2
+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax
2
+bx+c=0的根
有什么关系?
3．归纳整理:
a.二次函数y=ax
2
+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.b.当二次函数y =ax
2
+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当
y=0时自变量x的 值, 即一元二次方程ax
2
+bx+c=0的根.
c.完成下列表格，观察二次函 数y=ax
2
+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程
ax
2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系?
一元二次方程一元二次方程
二次函数y=ax
2
+bx+c的
图象和x轴交点 ax
2
+bx+c=0的根 ax
2
+bx+c=0根的判别式
Δ=b
2
-4ac
有两个相异的实数根
b
2
-4ac > 0
有两个相等的实数根
b
2
-4ac = 0

33

b
2
-4ac ＜0
第三环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容：
【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h= －4.9t
2
＋19.6t
来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）当t=1时，足球的高度是多少？
（2）t为何值时，h最大？
（3）经过多长时间球落地？
（4）方程－4.9t
2
＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
（5）方程14.7=－4.9t
2
＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
解：（1）t=1时，h=14.7
(2)∵h=－4.9(t-2)
2
+19.6 ∴当t=2时，h最大（3）对于h=－4．9t
2
＋19．6t 球
落地表示h=0
即－4．9t2＋19．6t=0，
解得t
1
=0（舍去），t
2
=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(4)方法一：解方程 0=－4.9t
2
＋19.6t 得t=0, t=4
根t=0，t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻
方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点（0，0），（4，0）即可
图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点
(5)方法一：解方程 14.7=－4.9t
2
＋19.6t 得t=1, t=3
方法二：图象法， 过点（0，14.7）作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，
再分别过交点作x轴的垂线， 找出两个垂足的横坐标即可。
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7秒
第四环节 开拓创新，试一试
活动内容：
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?

第五环节 放开手脚，做一做
活动内容：
例: 已知二次函数y=kx
2
－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么?
错解：由△=（－7）2
－4×k×（－7）=49＋28k＞0，
7
得k＞－ ．
4
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
∴△=（－7）
2
－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
7
得k≥－ ，
4
7
故k≥－ 且k≠0
4
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；
②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0．
第六环节 布置作业

34

p42习题2.10
2.5二次函数与一元二次方程2
一、教学目标
知识与技能
1．巩固理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax
2
+bx+c=0的根；
2．巩固理解一元二次方程ax
2
+bx+c=h的根就是二次函数y=ax
2
+bx+c 与直线y=h（h
是实数）图象交点的横坐标．
过程与方法
1．经历一元二次方程ax
2
+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程；
2．经历一元二次方程ax
2
+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。
情感态度与价值观
1．通过对一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联
系．
三、教学过程
第一环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1. 抛物线y=ax
2
＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛 物线
的表达式___________________ .
2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax
2
＋bx＋c经过 象限．3. 在
平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满< br>足y=－x
2
＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高 度是_____？
（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？
4.一元二次方程ax2
+bx+c=0的根就是二次函数y=ax
2
+bx+c的图象抛物线与直线_ _______
交点的________坐标。
5.一元二次方程ax
2
+ bx+c=h的根就是二次函数y=ax
2
+bx+c的图象抛物线与直线
_____ ____交点的_________坐标 .
第二环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x
2
+2x-10= 0的
-
1
1
-
1
根吗？
分析解答：
(1) 用描点法作二次函数y=x
2
+2x-10的图象(2) 观察估计二
次函数y=x
2
+2x-10的图象与
x轴的交点的横坐标；由 图象可知：图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,
另一个在2与3之间,分别约为- 4.3和2.3.(3) 确定方程x
2
+2x-10=0的解;由此可知,方
程x< br>2
+2x-10=0的近似根为:
x
1
≈-4.3,x
2
≈2.3
第三环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容：
利用二次函数的图象求一元二次方程x
2
+2x-10=3的近似根.
(1) 用描点法作二次函数y=x
2
+2x-10的图象

35

(2) 作直线y=3；(3) 观察估计抛物线y=x
2
+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；由图象可
知,它们有两个交点,其横坐标一个 在-5与-4之间,
另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(4) 确定方程 x
2
+2x-10=3的解;由此可知,方程x
2
+2x-10=3的近似根 为:
x
1
≈-4.7,x
2
≈2.7
附创新解法2：
(1) 原方程可变形为x
2
+2x-13=0；(2) 用描点法作二次函数y=x
2
+2x-13的图象(3) 观察估
计抛物线y=x2
+2x-13和x轴的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一
个在- 5与-4之
间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。
(4) 确定方程x< br>2
+2x-10=3的解;由此可知,方程x
2
+2x-10=3的近似根为:
x
1
≈-4.7 ，x
2
≈2.7
第四环节 大胆尝试、练一练
活动内容：
利用二次函数的图象求一元二次方程
-2x
2
+4x+1=0的近似根分析解答：
1)用描点法作二次函数y=-2x
2
+4x+1的图象；2)观察
估计二次函数y=-2x
2
+4x+1的图象与x轴的 交点的横
坐标；由图象可知,图象与x轴有
两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个
在2与3之间,分别约为-0.2和2.2
(3) 确定方程x
2
+4x+ 1=0的解;由此可知,方程
x
2
+4x+1=0的近似根为:
x
1
≈-0.2, x
2
≈2.2
第六环节 归纳小节、说一说
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，他们普遍认同了函数问题研究时，应该用
数形结合思想从两方面来考虑问题，说明数形结合思想在他们的数学思维中逐渐形成 。
但他们 也表示有的时候从“数”的一面研究比较方便，有时从“形”的一面研究问题会更
简洁些。
四、布置作业
P57页习题2.11
第二章 二次函数
回顾与思考（一）
一、教学目标
知识与技能
1．能用表格、关系式、图 象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考
和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适 当的方法表示变量之间的二次函数关系；
2．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进 行分析，并逐步积累研
究一般函数性质的经验；
3．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法

36

使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函 数关系的过程，进一步体验如何
用数学的方法去描述变量之间的数量关系；
二、教学过程分析
第一环节 知识要点和重要方法的回顾、总结
教学内容：知识要点的回顾、总结
提出下列问题：
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言或图来进行描述.
2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流.
3.小结一下作二次函数图象的方法.
4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方 向,对称轴和顶点坐标?请用具体
例子进行说明.
5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地 利用二次函数的表达式,表格和图象刻画变
量之间的关系.
6.用自己的语言描述二次函数y =ax
2
+bx+c的图象与方程ax
2
+bx+c=0的根之间的关系.
重要方法的回顾、总结
提出下列问题：
通过二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？
1.理解二次函数的概念；
2.会用描点法画出二次函数的图象；
3.会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；
4.会用待定系数法求二次函数的解析式；
5.能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用。
第二环节 复习二次函数的图象和性质
教学内容：
1．二次函数的图象和性质要点
（一）形如
yax
2
(a≠0) 的二次函数
（二）形如
yax
2
k
(a≠0) 的二次函数
（三）形如
ya(xh)
2
( a≠0 ) 的二次函数
(四) 形如
ya(xh)
2
k
(a ≠0) 的二次函数
(五)二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象和性质
2．二次函数的图象和性质练习
（1）抛物线y = x
2
的开口向
,
对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第
象限 ；
（2)已知y = - nx
2
(n＞0) , 则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点
A（-2，3）。
（3）抛物线y =x
2
+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由
抛物线y =x
2
向 平移 个单位得到的；
2
（4）已知（如图）抛物线y = ax +k的图象，则a 0，k 0；若图象过A (0,-2)
和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。
2
（5）抛物线 y = 2 (x -0．5 ) +1 的开口向 , 对称轴 , 顶
点坐标是
2
（6）若抛物线y = a (x+m)+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n
0。

37

第三环节 二次函数关系式的三种表示方式
教学内容：二次函数关系式的三种表示方式：一般式、顶点式、两根式。
1.若无论x取何实 数，二次函数y=ax
2
+bx+c的值总为负，那么a、c应满足的条件是
（ ）
A.a>0且b
2
-4ac≥0 B.a>0且b
2
-4ac>0
C.a<0且b
2
-4ac<0 D.a <0且b
2
-4ac ≤0
2.已知二次函数y=ax
2
+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：a
0 ,b 0, c 0 ,∆ 0 , a-b+c 0,a+b+c 0
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）

4.已知二次函数y=ax+bx+c中a>0,b<0,c<0,请画一个能反映这样特
征的 二次函数草图.
第四环节 练习与提高
教学内容：练习与提高
2
1 、已知二次函数y=ax+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经
过点（3 ，-6）。求a、b、c。
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax
2
+ bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所
得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线 的解析式.
3、已知抛物线y=ax
2
+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B 两点，与y轴负半轴交
于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
2
y
A
x
B
O
C

第3题图 第4题图
4、已知二次函数y=ax
2
-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
第五环节 课堂小结
请学生总结回顾
第六环节 布置作业
课本复习题1－5
三、教学反思
1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过知识要点和重要方法的回顾、总结，梳理所学知识和方法，使其系统化。通过练

38

习，巩固所学知识，提高运用所学知识和方法分析问题、解决问题的能力。
在 解决问题的过程中为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发
现学生分析问题、 解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上
要把激发学生学习热情和获得学习 能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，
以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的 求知态度。
2．注意改进的方面
应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃 的学生的回答代替了其他
学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对讨论给予适当的指导，包括知识 的启发引
导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使合作学习更具实效性。

第二章 二次函数
回顾与思考（二）
一、教学目标
1．能利用二次函 数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问
题等。会通过建立坐标系来解决实际问 题
2．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，求一元二次方
程的近 似解。
二、教学过程
第一环节 最大值问题
教学内容：
通过：1、 最大利润问题；2、最大高度问题；3、最大面积问题，说明如何利用二次
函数知识解决实际问题。
（一）最大利润问题
例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅 行社对超过30人的
团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下, 当旅行团
的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
自我检测
某商场销售某种 品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40
元~70元之间.市场调查发现: 若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,
平均每天多销售3箱;价格每升高1元 ,平均每天少销售3箱.
(1)写出售价x(元箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
（二）最大高度问题
例2：竖直向上发射物体的h(m)满足关系式y=-5t2+v0t， 其中t(s)是物体运动的时
间,v0(ms)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉，喷水 的最大高度要求达到
15m,那么喷水的速度应该达到多少？(结果精确到0.01ms).
（三）最大面积问题
例3：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使 其所围成矩形的面
积最大?
例4.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙， 为了美化生活环境，
小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃 的围
栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃
各 放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

39

第二环节 需建立坐标系问题
教学内容：通过建立坐标系来解决实际问题。
一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的 路线是抛物线，当球运行的水平距离
是2.5m时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离
地面多高时才能中？
一座抛物线 型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的
宽度是多少?(结果精 确到0.1m).
第三环节 二次函数与一元二次方程
教学内容：理解二次函数与一元二次方程之间的联系与区别。
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交
点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x
的值,即一元二次方程ax2+bx+c =0的根.
二次函数一元二次方程
一元二次方程
y=ax2+bx+c的图象和xa x2+bx+c=0根的判别式Δ
ax2+bx+c=0的根
轴交点 =b2-4ac
有两个交点
有一个交点
没有交点
有两个相异的实数
根
有两个相等的实数
根
没有实数根
b2-4ac > 0
b2-4ac ＝ 0
b2-4ac ＜ 0
二次函数
yax
2
bxc
，何时为一元二次方程?它们的关系如何?
2
例：一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式
h4.9t19.6t
来表示。其中t（s）足球被踢出后经过的时间，图象如图所示：
（1）当t＝1和t＝2时，足球的高度分别是多少？
（2）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来吗？
4.9t
2
19.6t0
（3）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来
4.9t
2
19.6t14.7
吗？
第四环节 课堂小结
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
第五环节 布置作业
课本复习题
三、教学反思
1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过小组讨论方式， 使学生能够在解决问题的过程中与人合作和进行交流，并在交流
的过程中对自己的观点进行有条理地论述 为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此
过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解 ，以及思维的误区，以便指导今
后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位， 通过运用各种启
发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
2．注意改进的方面

40

在小组讨论之前，应 该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生
的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其 他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指
导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及 对困难学生的帮助等，使小组合
作学习更具实效性。

第2课时
§3.2.1 圆的对称性
教学目标
12、 经历探索圆的对称性及相关性质，
13、 理解圆的对称性及相关性质
14、 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法
教学重点和难点
重点：垂径定理及其逆定理 难点：垂径定理及其逆定理
教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

圆是我们比较熟悉的图形。它是漂亮的图形，这节课，我们研究一下它的性质。


师生共同研究形成概念

B
16
、

圆的轴对称性

☆ 议一议 书本P 89
A
在探索圆是 轴对称图形时，大多数学生可能会采用折叠的方
有的学生也可能用其他方法，只要合理，都应该鼓励

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线

17
、

C
O
D
法，
圆的几个概念

对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区别。
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 弧AB记作AB
⌒
⌒
劣弧AB 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 优弧DCA
连接圆上任意两点的线段叫做弦
经过圆心的弦叫做直径

1） 注意
直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧

C
18
、

垂径定理

M
A
B
☆ 做一做 书本P 90 做一做
从此例子得出垂径定理。

O
41

D

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧

如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为M，
（1） 图中相等的线段有 ，相等的劣弧有 ；
⌒
⌒
（2） 若AB = 10，则AM = ，BC = 5，则AC = 。
19
、

讲解例题

例9 如图，AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB于点C，OA = 5，AB = 8，求OC的长。


20
、

垂径定理的逆定理

☆ 想一想 书本P 91 想一想
鼓励学生独立探索，然后通过同学间的交流，得出结论。

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

如图，在⊙O中，直径CD平分弦AB，交AB于点M，
（1） 图中直角有 ，相等的劣弧有 ；
⌒
⌒
（2） 若BC = 5，则AC = 。

21
、

讲解例题

例10 如图，AB是⊙O的一条弦，点C为弦AB的中点，OC = 3，AB = 8，求OA的长。

例11 如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在 同一条直线上。你认为AC与
BD的大小有什么关系？为什么？

D
AO
A
O
C
B
C
M
B
O

O

A
C
D
B
B
A

C




，点O是
⌒
例12 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中
⌒
CDCD的圆心），其中CD = 600m，E
⌒
为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF = 90m。求这段弯路的半径。




随堂练习

22、 书本 P 93 随堂练习 1、2 《练习册》 P 45

C
E
F
O
D
42


小结

垂径定理及其逆定理。


作业

书本 P 94 习题3.2 1


教学后记

第2课时
§2.1 圆的对称性

知识目标 ：经历探索圆的对称性及相关性质；理解圆的对称性及相关性质进一步体会和理解研究几何
图形的各种方 法
德育目标：培养学生科学严谨的学习态度和开拓进取的精神
能力目标：培养学生观察、分析、探索能力和创造力

教学重点和难点
重点：垂径定理及其逆定理
难点：垂径定理及其逆定理

教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

在上一节课，我们研究了圆是轴对称图 形，还学习了垂径定理及其逆定理。这节课，我们继续研
究圆的圆心角、弧、弦之间相等关系。


师生共同研究形成概念

23
、

圆的中心对称（圆的旋转不变性）

☆ 做一做 书本P 94 顶
通过这个实验，让学生了解圆的旋转不变性。

圆是中心对称图形，对称中心为圆心

圆的旋转不变性——一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，圆的中 心
对称性是其旋转不变性的特例。
A
E

B
24
、

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

D
1） 弦心距、圆心角、圆周角、同圆、等圆
O
如图，在⊙O中，∠AOB是圆心角、∠DCE是圆周角

2） 探索圆心角、弧、弦之间的关系（分开同圆和等圆两种来研究）
C
☆ 做一做 书本P 94 做一做
通过实验探索圆的另一个特征。

课件演示实验，或学生动手操作（剪）
43

A
B
O

A
O


C
B

O'
C
D
D
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

知二推三：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分圆弧；⑤平行劣弧

1） 举反例强调前提条件：同圆或等圆
A


C

O'

O



B

25
、

知一推三

D
在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各
组量都分别相等

①圆心角；②弧；③弦；④弦心距


26
、

讲解例题

例13 如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F
1） 如果∠AOB = ∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
2） 如果OE = O F，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什
C
么？∠AOB与 ∠COD呢？
A

例14 书本 P 98 随堂练习 3
F
E

O

D

随堂练习

B
27、 书本 P 98 随堂练习
28、 书本 P100 习题3.3 2、3
29、 《练习册》 P 47


小结

圆心角、弧、弦之间的关系。


作业

书本 P 99 习题3.3 1

44


教学后记

第3课时
§3.3 圆周角和圆心角的关系
知识目标：经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质
德育目标：体会分类、归纳等数学思想方法
能力目标：提高分类、归纳的数学能力

教学重点和难点
重点：圆周角和圆心角的关系 难点：圆周角和圆心角的关系

教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

上一节课，我们学习了：在同圆或等圆中，相等的弧 所对的圆心角相等。那么，在同圆或等圆中，
相等的弧所对的圆周角有什么关系？这节课，我们研究圆周 角和圆心角的关系。


师生共同研究形成概念

30
、

圆心角与弧的关系

我们把顶点在圆心的周角等分 成360份时，每一份的圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心
角所对的弧相等，所以整个圆也被等 分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。所以，圆心
角的度数和它所对的弧的度数相等。

☆ 巩固练习：若一条弧是70°，则它所对的圆心角是 °；若一个圆周角等于80°，
则它所对的弧等于 °。

31
、

圆周角与圆心角

通过射门游戏引入圆周角的概念。提出这一问题意在引起学生思考，为本节活动埋下伏笔。
C

圆周角：角的顶点在圆上，两边是圆的两条弦
圆心角：角的顶点是圆心，两边是圆的两条半径

32
、

讲解例题

例15 下列图形中的角是不是圆周角。






O
B
A
B
O
A
45

分析：通过此例，让学生理解好圆周角的定义。

33
、

讲解例题

例16 下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
A
A

O
O
D
O
O

D
B
B
B
BC
C
B
C
C



分析：通过此例，让学生理解好什么是同一条弧所对的圆心角和圆周角。
A

34
、

同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系

☆ 议一议 书本P 101 议一议
可放手让学生自己观察动手操作验证思考，老师作适当提点。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

学生动手画图验证
圆周角定理的几个推论

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

35
、

总结方法

在这里要帮学生方法，以利于学生解决圆的一些证明的题目。
☆ 议一议 书本P 106 议一议
A
B
A
O
C
C
O
B
E< br>D
C
鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法，如度量与证明、分类与转化，以及类 比等。
☆ 做一做 书本P 107 做一做
是一个有实际背景的问题，解决 这一问题不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用反证法及
分类的思想。

36
、

讲解例题

例17 如图，AB是的直径，BD是的弦，延长BD到C，使CA = AB。BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
分析：此例是“直径所对的圆周角是直角”及等腰三角形“三线合一”定理的综合应用。
A

46

O


随堂练习

37、 书本 P 107 随堂练习
38、 《练习册》 P 49


小结

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相
等；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对 的弦是直径。


作业

书本 P 104 习题3.4 2


教学后记

第4课时
§3.4 确定圆的条件
知识目标：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程；了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角
形的外心等 概念
能力目标：进一步体会解决数学问题的策略
德育目标：提高分类、归纳的数学能力


教学重点和难点
重点：了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点：过不在同一条直线上的三个点作圆


教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

在初一的时候，我们研究过，确定一条直线。经过一 点可以作无数条直线，经过两点只能作一条
直线。那么经过一点能作几个圆？经过两点、三点，能确定几 个圆呢？



师生共同研究形成概念

39
、

平分一条弧



要写作法





40
、

确定圆的条件


47

☆ 做一做 书本P 109 做一做
由易到难让学生经历作圆的过程，从中探索确定圆的条件。作图前，要引 导学生通过思考明确这
样的基本思想：作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆 就随之确定。

不在同一条直线上的三个点不能确定一个圆
要向学生明确为什么在同一条直线上的三个点不能确定一个圆。




41
、

讲解例题

例18 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆。
分析：要让学生动手操作。







42
、

外接圆与外心

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

锐角三角形：外心在圆内
直角三角形：外心在斜边的中点
钝角三角形：外心在圆外



随堂练习

43、 书本 P 114 1
44、 《练习册》 P 53



小结

确定圆的条件。



作业

作一个钝角三角形的外接圆。

48


教学后记

第7课时
§3.6.1 直线和圆的位置关系

知识目标：经历探索直线与圆位置关系的过程；理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关 系；了
解切线的概念
能力目标：提高学生的读图能力
德育目标：运用辩证的观点看待问题

教学重点和难点
重点：理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系
难点：灵活运用直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系解决实际问题

教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

上一阶段，我们研究过点与圆的位置关系。这节课，我们研究直线与圆的位置关系。



师生共同研究形成概念

45
、

地平线与太阳的位置关系

首先让学生感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，然后 让学生动手操作。在这一过程中引导
学生归纳出直线与圆的几种位置关系。

46
、

直线与圆的位置关系

☆ 做一做 试按下列要求画直线
1）与⊙O有两个交点；2）与⊙O有一个交点；3）与⊙O没有交点。


O
O
O




直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。

相交——直线与圆有两个交点；
相切——直线与圆有一个交点；
相离——直线与圆有零个交点。

直线和圆有惟一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个惟一的公共点叫做切点。

49

☆ 想一想 书本P 117 想一想
通过观察得出“圆心到直线的距离和半径的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价 ，从
而实现位置关系与数量关系的相互转化。这种等价关系是研究切线的理论基础。






O
O
O
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
dr

dr
；
dr

割线 切线


☆ 巩固练习 1、《练习册》 P 54 1、2、3；
2、随机找一些数据让学生判断直线和圆的位置关系。


47
、

讲解例题

例19 已知Rt△ABC的斜边AB = 8cm，AC = 4 cm。（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB
与⊙C相切？（2）以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与
AB分别有怎样的位置关系？
分析：以直线 与圆的位置为主线分析，可画圆演示。根据d与r的数量关系判断直线和圆的位置
A
关系，同时 应用了三角函数的知识。







随堂练习

48、 书本 P 120 随堂练习 1
49、 《练习册》 P 54 7、9


小结

直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。


作业


D
C
B
50

书本 P 120 习题3.7 1


教学后记

第8课时
§3.6.2 直线和圆的位置关系

知识目标：探索切线与过切点的直径之间的关 系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画
圆的切线
能力目标：提高学生的读图能力
德育目标：运用辩证的观点看待问题

教学重点和难点
重点：切线的性质
难点：灵活运用切线的性质解决实际问题

教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

复习直线与圆的位置关系及切线的性质。


师生共同研究形成概念

50
、

探索圆的切线的性质

☆ 议一议 书本P 114 议一议
由直线和圆的三种位置关系逐步转向对切线的进一步研究。

圆的切线垂直于过切点的直径

在⊙O中，AB切⊙O于点C，
∴ OC⊥AB

知切线，连半径，得垂直；知直径，得直角。

51
、

反证法

只要求学生了解，并且知道第一步是要假设结论不成立。


52
、

讲解例题

例20 如图，CA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，如果∠CAB = 55°，求∠AOB的度数。

A

C

☆ 巩固练习 P55 1
O


O
A
C
B
51

B

例21 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C 点的切线互相垂直，垂足为D。求证：
D
AC平分∠DAB。

C



B
A
O



随堂练习

53、 书本 P 120 随堂练习 2
54、 《练习册》 P 55 2、3、4、5
55、 如图，已知AB是⊙O的直径，AD是弦，过点B的切线交AD的延长线于C，求证：
BD
2
CDAD
。
56、 如图，AB是⊙O的直径，CE是切线，切点为C，BE⊥CE于E，交⊙O于D，求证：
AC = CD。
57、 如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∠APB = 90°，OP = 4，求⊙O的半径。

C
D

B

O
B
O

A
B
O
D
A


P
E
C
A


小结

切线的性质。



作业

如图的两个圆是以 O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C为
O
切点。求证：C是AB的中点。

B
A
C


教学后记

第9课时
§3.6.3 直线和圆的位置关系

知识目标：能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线
能力目标：提高学生动手操作的能力
德育目标：辩证地看待问题的能力

教学重点和难点
重点：判定一条直线是否为圆的切线

52

难点：判定一条直线是否为圆的切线

教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，圆的切线垂直于过切点的直径。


师生共同研究形成概念

58
、

切线的判定

通过旋转实验的办法，探索切线的判定条件。

经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线

在⊙O中，
∵ AB⊥CD，且点A在⊙O上
∴ CD是⊙O的切线


B
O
C
59
、

切线判定的应用

☆ 做一做 书本P 121 做一做
A
D
这是切线判定定理 的一个直接应用，由于学生只学过用尺规作线段的垂直平分线，而没有学过用
尺规一般地作垂线，因此， 这里不要求所有学生都用尺规作图，允许用三角尺作垂线。


60
、

讲解例题

例22 如图，AB是⊙O的直径，∠ACB = 45°，BA = BC，求证：BC是⊙O的切线。
分析：此例是巩固学生对圆的切线判定的理解。可让手让学生自己做。





A
O
C
B
61
、

讲解例题

例23 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD = OB，∠CAB = 30°，求证：DA是⊙
C
O的切线。






A
O
B
D
53


随堂练习

62、 书本 P 123 随堂练习 1
63、 《练习册》 P 56 4、5、7
64、 《练习册》 P 57 2、3



小结

经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。



作业

书本 P 123 习题3.8 1



教学后记

第10课时
§3.6.4 直线和圆的位置关系
知识 目标：知道三角形的内心是三个角的平分线的交点，会作出三角形的内心，能借助三角形的内心
解决实际 问题
能力目标：提高学生动手操作的能力
德育目标：辩证地看待问题的能力
教学重点和难点
重点：借助三角形的内心解决实际问题
难点：借助三角形的内心解决实际问题

教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；圆的切 线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，
并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。


师生共同研究形成概念

65
、

复习三角形的外接圆、外心

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
锐角三角形：外心在圆内；直角三角形：外心在斜边的中点；钝角三角形：外心在圆外

66
、

讲解例题

例24 如图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆，使其与各边都相切？
分析：这里作圆的关键是确定圆心的位置。
A

A
54

F
I
E

67
、

三角形的内切圆、内心

与三角形三边 都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，这
个点叫做三角形的内心 。

68
、

三角形外、内心对比


构成
特点
位置
外心
三边垂直平分线的交点
到三个顶点的距离相等
可在圆内、圆上、圆外
内心
三条角平分线的交点
到三边的距离相等
圆内
69
、

讲解例题

例25 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心。





例26 如图1，I是△ABC的内心，∠BIC = 130°，∠1 = 20°，求∠A的大小。
例27 如图2，D是△ABC的内心，且∠A = 50°，求∠BDC的度数。
例28 如图3，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于D。求证：DE = DB。
例29 如图4，点O是△ABC的内心，以O为圆心的圆和△ABC的三边相交于D、E、F、G、H 、I，
A
求证：DE = FG = HI。
A
A

A
I
D

E

D
I
O
H

C
E
1

C
B
B
BC
B

D
C
FG


随堂练习

70、 书本 P 123 随堂练习 2
71、 《练习册》 P 56 1、2、3、6
72、 《练习册》 P 57 1、5
73、 如图，在Rt△ABC中，∠A BC= 50°，∠ACB = 75°，点I是内心，求∠BIC的度数。
74、 如图，点I是△ABC的 内心，AI交BC边于点D，交△ABC的外接圆于点E。求证：
IE
2
AEDE
。


A
A
I
B
D
C
I
B
55

C


小结
< br>与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，这
个 点叫做三角形的内心。


作业

书本 P 124 习题3.8 2


教学后记

第11课时
§3.6 圆和圆的位置关系

知识目标：经历探索两个圆之间位置关系的过程；了 解圆与圆之间的几种位置关系；了解两圆外切、
内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系
能力目标：
德育目标：

教学重点和难点
重点：圆与圆之间的几种位置关系
难点：两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系

教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

1）复习点与圆的位置关系；2）复习直线与圆的位置关系。


师生共同研究形成概念

75
、

书本引例

☆ 想一想 P 125 平移两个圆
利用平移实验直观地探索圆和圆的位置关系。

76
、

圆与圆的位置关系

每一种位置关系都可以先让学生想想应该用什么名称表达。在讲解 两圆外切、内切与两圆圆心距
d、半径R和r的数量关系的联系时，可先让学生探索，老师不要生硬地把 答案说出来




O
1
O
2
O
1
O
2
O
1
O
2
O
1
O
2
O
1
O
2
56

外离 外切 相交 内切 内含
两圆没有交点 两圆只有一个交点 两圆有两个交点 两圆只有一个交点 两圆没有交点
dRr

dRr

dRr


☆ 巩固练习 若两圆没有交点，则这两个圆的位置关系是 ；
若两圆有一个交点，则这两个圆的位置关系是 ；
若两圆有两个交点，则这两个圆的位置关系是 ；

☆ 想一想 书本P 126 想一想
通过实际例子让学生理解圆与圆的位置关系。



77
、

圆与圆相切的性质

☆ 想一想 书本P 127 想一想
旨在引导学生思考两圆相切的性质：如果两圆相切，那么两圆的连心线经 过切点，这一性质是下
面议一议的基础。学生容易看出两圆相切图形的轴对称性及对称轴，但要说明切点 在连心线上则有一
定困难。

如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点



78
、

讲解例题

例30 已知⊙
O
1
、⊙
O
2
相交于点A、B，∠A
O
1
B = 120°，∠A
O
2
B = 60°，
O
1
O
2
= 6cm。求：（1）
∠
O< br>1
A
O
2
的度数；2）⊙
O
1
的半径
r
1
和⊙
O
2
的半径
r
2
。

A




O
1
O
2
B
79
、

讲解例题

例31 两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如图所示，分隔两个肥皂 泡的肥皂膜PQ成一条直线，
TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小。
T
N



P
57

O
Q
O'


随堂练习

80、 书本 P 128 随堂练习
81、 《练习册》 P 59


小结

圆与圆的位置关系；圆心距与两圆半径和两圆的关系。


作业

书本 P 130 习题3.9 1


教学后记

第12课时
§3.7 弧长及扇形的面积

知识目标：经历探索弧长计算 公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面积计算公
式、并会应用公式解决问题
能力目标：提高分析问题、解决问题的能力
德育目标：辩证地看待问题

教学重点和难点
重点：弧长计算公式及扇形面积计算公式
难点：弧长计算公式及扇形面积计算公式

教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

在小学时，我们学习过圆的周长公式及面积的公式：
c2

r
、
S

r
。这节课，我们在 原有
的基础上，学习弧长公式及扇形的面积公式。


师生共同研究形成概念

82
、

弧长公式

☆ 想一想 书本P 132 输送带
通过具体实际情境，探索弧长的计算公式。

在讲解圆心角时，大家还记得我们是如何推导出圆心角的度数与所对的弧的度数相同的？
我们把顶点在 圆心的周角等分成
360
份时，每一份的圆心角是
1
°的角。我们把每一份这 样的弧
叫做
1
°的弧。所以，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。



2
l
n
R
58

圆的弧长也是一样，把一个圆平均分成360份，那么圆弧的公式就是：
l
nn
2

R

R

360180
一定要在理解的基础上记忆


只要知道圆弧的度数、半径、弧长的其中两个，那么我们就可以求得另一个未知的量。

83
、

讲解例题

例32 制作弯形管道时，需要决定按 中心线计算“展直长度”
再下料。试计算图中所示的管道的展直长度，即
AB
⌒
的长。 AB
分析：例题主要是让学生应用公式进行计算，在计算时，
意公式中的字母的意义。


84
、

扇形的面积公式

☆ 想一想 书本P 133 想一想
通过具体实际情境，探索扇形面积的计算公式。扇形面积 公
式以圆面积公式为基础，在让学生思考此问题时，要注意两点：
110°
40mm< br>要注
S
R
n
一是最大活动区域的数学含义。二是圆心角是360度的扇 形面积等于圆面积，圆心角为n度的扇形面
积等于圆面积的360分之n。
S
扇形

n

R
2

360
一定要在理解的基础上记忆



的长（结果精确到0.1cm）和扇形AOB的例33 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB = 120°，求
⌒
AB
面积（结果精确到0.1
cm
）。
分析：例题主要是让学生应用公式进行计算，在计算时，要注意公式中的字母的意义。


85
、

2
l
弧长公式与扇形面积公式之间的关系

S
扇形





n1n1

R
2


RRlR

36021802
S
R
n
59


随堂练习

86、 书本 P 134 随堂练习 1、2
87、 《练习册》 P 60
88、 填表：
弧长l


6π
9π


小结

弧长公式与扇形的面积公式。


作业

书本 P 135 习题3.10 1


教学后记

扇形的面积S




半径R
4
8
10

弧的度数n
150
240

120
第13课时
§3.8 圆锥的侧面积
知识目标：经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问
题
能力目标：提高分析问题、解决问题的能力
德育目标：辩证地看待问题

l
教学重点和难点
重点：圆锥侧面积计算公式
S
难点：圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题

教学过程设计

从学生原有的认知结构提出问题

89、 复习弧长公式：
l
n
R
n
nn

R
2
；弧长与
2

R

R
；扇形的面积公式：
S
扇形

360
360180
n1n1

R
2


RRlR
。 扇形面积关系的公式：
S
扇形

36021802
90、 扇形的半径为50cm，弧长为80

cm，则扇形的面积为 ，扇形的圆心角
的度数为 。


师生共同研究形成概念

91
、

圆柱的侧面展开图

圆柱的侧面展开图是矩形，
这个矩形的长是圆柱的底面圆的周长，宽是这个圆柱的高。

60

92
、

圆锥的侧面展开图

1） 圆锥的侧面展开图是什么图形？
2） 介绍圆锥的母线、底面半径、高、轴截面、锥角
3） 如何计算圆锥的侧面积？

首先让学生通过观察圆锥，认识到它的表面是由一 个圆面和一个曲面围成的，然后再思考圆锥的
曲面展开在平面上，是什么样的图形。
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长

1） 巩固练习
1） 圆锥的底面半径为3，则底面的周长为 ，侧面展开图的扇形的弧长为 。
2） 圆锥的底面半径为3，高为4，则母线长为 。
3） 圆锥的母线长为4，侧面展开的扇形的弧线长为12π，则底面圆的周长为 ，底面半径
为 ，圆锥的高为 。
4） 圆锥的底面半径为6，母线长为12，则锥角为 度。

93
、

圆锥的侧面积和全面积

应要求学生理解圆锥侧面积公式的推导过程，在理解的基础上记忆。
圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则这个扇形的半径为l
；

扇形的弧长是底面圆的周长，即
2

r
；
圆锥的侧面积为 ：
S
圆锥侧

1
2

rl

rl
，即
S
圆锥侧


底面半径母线长

2
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积

94
、

讲解例题

例34 圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为6cm，求它的侧面积。
分析：借助直角三角形三十度角的性质，求得底面圆的周长。




95
、

讲解例题

例35 某家商店正在制作 圣诞节的圆锥形纸帽。已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20
顶这样的纸帽至少要 用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1
cm
）
分析：例题是利用圆锥侧面积公式进行计算。


2
61


随堂练习

96、 书本 P 137 随堂练习
97、 书本 P 138 习题3.11 1、2、3
98、 《练习册》 P 62



小结

圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长。



教学后记



62