建军节是几月几号-航天十一院

北师大版初中数学七年级(上册)各章标题
第一章 丰富图形世界
第二章 有理数
第三章 字母表示数
第四章 平面图形及位置关系
第五章 一元一次方程
第六章 生活中的数据
第七种 可能性

北师大版初中数学七年级(下册)各章标题
第一章：整式的运算
第二章 平行线与相交线
第三章 生活中的数据
第四章 概率
第五章 三角形
第六章 变量之间的关系
第七章 生活中的轴对称

北师大版初中数学八年级(上册)各章标题
第一章
第二章
第三章
第四章
第五章
第六章
第七章
第八章

勾股定理
实数
图形的平移与旋转
四边形性质探索
位置的确定
一次函数
二元一次方程组
数据的代表
北师大版初中数学八年级(下册)各章标题
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
第二章 分解因式
第三章 分式
第四章 相似图形
第五章 数据的收集与处理
第六章 证明

北师大版初中数学九年级(上册)各章标题
第一章 证明（二）
第二章 一元二次方程

第三章 证明（三）
第四章 视图与投影
第五章 反比例函数
第六章 频率与概率


北师大版初中数学九年级(下册)各章标题
第一章 直角三角形边的关系
第二章 二次函数
第三章 圆
第四章 统计与概率




北师大版初中数学七年级(上册)各章知识点
第一章 丰富图形世界

1、 生活中常见的几何体：圆柱、 、正方体、长方体、 、球
2、 常见几何体的分类：球体、柱体（圆柱、棱柱、正方体、长方体）、锥体（圆锥、棱锥）
3、 平面图形折成立体图形应注意：侧面的个数与底面图形的边数相等。
4、 圆柱的侧面展开图是一个长方形；表面全部展开是两个 和一个 ；圆锥的表面全
部展开图是一个 和一个 ；正方体表面展开图是一个 和两个小正方形，；长方形
的展开图是一个大 和两个 。
5、 特殊立体图形的截面图形：
(1)长方体、正方形的截面是：三角形、四边形（长方形、正方形、梯形、平行四边形）、
五边形、 。
(2)圆柱的截面是： 、圆
(3)圆锥的截面是：三角形、 。
(4)球的截面是：
6、我们经常把从 看到的图形叫做主视图，从 看到的图叫做左视图，从 看
到的图叫做俯视图。
7、常见立体图形的俯视图
几何体 长方体 正方体 圆锥 圆柱 球
主视图 正方形 长方形
俯视图 长方形 圆 圆
左视图 长方形 正方形
8、点动成 ，线动成 ，面动成 。

第二章 有理数
1 、正数与负数
在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。

与负数具有相反 意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加
上“+”）。
2 、有理数
(1) 正整数、0、负整数统称 ，正分数和负分数统称 。
整数和分数统称 。0既不是 数，也不是 数。
(2) 通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。
数轴三要素：原点、 、单位长度。
在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做 。
(3) 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
例：2的相反数是 ；-2的相反数是 ；0的相反数是
(4) 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一 个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。两个负数，
绝对值大的反而小。
3 、有理数的加减法
(1)有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的 ，并把绝对值 相加。
②绝对值不相等的异号两数相加，取 符号，并用 减去较小的绝对
值。
互为相反数的两个数相加和为0。
③一个数同0相加，仍得这个数。
(2) 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
4、 有理数的乘除法
(1) 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相
乘，都得0。
(2) 乘积是1的两个数互为倒数。例：- 的倒数是 ；绝对值是 ；相反数
是 。
(3) 有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
有理数除法法则2：两数相除，同号得 ，异号得 ，并把 相除。0除以任
何一个不等于0的数，都得0。
(4) 求n个相同因数的积的运算，叫乘 方，乘方的结果叫幂（power）。在a的n次方中，a
叫做底数(base number)，n叫做指数（exponent）。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是 。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是
0。-1的奇次方是 ；-1的偶次方是 。

第三章、字母表示数
1、用运算符号把数和表示数的字母连接而成的字母叫做代数式。
2、求代数式值要注意：字 母的取值必须确保代数式有意义；字母的取值要确保它本身所表
示的数量有意义。
3、代数式 的系数应包括这一项前的符号；如果代数式的某一项只含有字母因数，它的系数
就是1或-1，而不是0 。
4、同类项所含的 相同；相同字母的 也相同。
注意：同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。
5、合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加， 不变。
6、去括号法则：

(1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里的
(2)括号前市“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里

第四章 平面图形及位置关系
1、直线、射线、线段
(1) 直线、射线、线段的区别：直线 端点：射线 个端点：线段有 个端点。
(2) 线段公理：两点的所有连线中，线段 （两点之间，线段最短）。
连接两点间的线段的长度，叫做 。
(3)线段的比较方法：叠和法和度量法。
(4)线段的中点：如果M是AB的中点，那么 ；反之，如果点M在
线段AB上，并且有（AB＝BM），那么点M是AB的中点。
例：C是线段AB的中点，可得AC= = ，或者2AC= =AB，
AC+ =AB ， BC=AB- 。
2、角的度量与表示
(1) 1度= ； 1分= ； 1周角= 度 ；1平角= 度＝ 周角
(2)角的三种表示方法：用三个大写英文字母表示或用一个大写英文字母表示(如： ＜ABC，
＜A；用希腊字母表示（如＜β）；用数字表示（如＜1，＜2
3、 角的比较与运算
(1)角按大小分可分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
(2)角平分线把一个角分成两个相等的角，角平分线是一条射线。
如果射线OC是＜AOB＝2＜BOC＝ ，4、平行线
(1)如何画平行线？
(2)平行线的性质1：过直线外一点 与已知直线平行；
平行线的性质2：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 。
5、垂直
(1) 如何画垂线？
(2) 垂线的性质1：过一点 一条直线与已知直线 。
垂线的性质2：直线外一点与直线上任意一点的连线中， 最短。
垂直的性质3：点到直线的距离。
6、 有趣的七巧板：
七巧板是由5个等腰直角三角形，一个 ，一个 组成的。

第五章 一元一次方程
1、 从算式到方程
方程是含有未知数的等式。
方程都只含有一个未知数x，未知数x的指数都是 ，这样的方程叫做一元一次方程。
就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
2、等式的性质：
(1). 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
(2) 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（要移就得变）
4、在日历牌中，一个竖列上相邻两个数相差 ， 的数比 的数大7；一个横行

上相邻的两个数相差 ， 的数比 的数大1。
5、常用体积公式：
长方形的体积=长X宽X ； 正方形的体积=边长X边长X边长 ；
棱柱的体积= x高； 圆柱的体积=底面积X ；
圆锥的体积= X高。
6、常用的相等关系：
(1)利润=售价- ；利润率=利润÷成本（进价）
(2) 利息=本金X利率X ； 本息和=本金+利息=本金X（1+利率X期数）
利息税=利息X税率=本金X利率X X ；
贷款利息=贷款金额X X 。
7、行程问题的主要类型及相等关系：
(1) 追及问题：甲乙同向不同地，则：追者走的路程=前者走的路程+两地间的距离。
(2) 问题：甲乙相向而行，则：甲走的路程+ =总路程。
8、解应用题的关键是 。

第六章生活中的数据
1、把一个大于10的数表示成 的形式（其中1≤a<10,n为正整数），就
叫 。
（从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。）
2、扇形统计图的性质：各扇形分别代表每部分在 ；各扇形占整
个圆的百分比之和为 。
3、 (1) 扇形圆心角的度数= X该部分占总体的 ；
(2) 每部分占总体的百分比=部分数量÷ =该部分所对应圆心角的度数与
的比。
4、制作扇形统计图的步骤是什么？
5、各统计图的特点：
(1)扇形统计图能清楚地表示出 ；
(2)折线统计图能清楚地反映 ；
(3)条形统计图能清楚地表现出 。

第七章 可能性
必然事件：事先能肯定它
确定事件｛不可能事件：事先能肯定它一定
事件｛不确定事件：事先无法肯定它
1、事情发生的可能性的大小：
机会大的不确定事件不一定发生，机会小的不确定事件也不一 定不发生，机会大大小只能说
明发生的程度不同。
2、要学会判断事情发生的可能性的大小。
北师大版初中数学七年级(下册)各章知识点
第一章：整式的运算

单项式
整 式

多项式
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
幂运算 同底数幂的除法
零指数幂
负指数幂
整式的加减
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
整式的乘法 多项式与多项式相乘
整式运算 平方差公式
完全平方公式
单项式除以单项式
整式的除法
多项式除以单项式
一、单项式
1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式
1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式
1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减

1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：
（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤：
（1）代数式化简。
（2）代入计算
（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
五、同底数幂的乘法
1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂） ，其中a为底数，n为
指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。
5、开始底数不相同的幂的乘法， 如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运
用法则。
六、幂的乘方
1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am）n表示n个am相乘。
2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n =amn。
3、此法则也可以逆用，即：amn =（am）n=（an）m。
七、积的乘方
1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的 每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。
即（ab）n=anbn。
3、此法则也可以逆用，即：anbn =（ab）n。
八、三种“幂的运算法则”异同点
1、共同点：
（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。
（2）法则中的底数（ 不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多
项式）。
（3） 对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。
2、不同点：
（1）同底数幂相乘是指数相加。
（2）幂的乘方是指数相乘。
（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。
九、同底数幂的除法
1、同 底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：am-n = am÷an（a≠0）。
十、零指数幂
1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a0=1（a≠0）。
十一、负指数幂
1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即：

注：在同底数幂的除法、 零指数幂、负指数幂中底数不为0。
十二、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余
字 母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分 配率用单项式去乘多项式
中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一项乘另一个多
项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+ na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多 项
式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项
数 的积。
3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
4、运算结果中有同类项的要合并同类项。
5、对于含有同一个字母的一次项 系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式
简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a +b)x+ab 。
十三、平方差公式
1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。
3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。
4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
（a+b）•(a-b)的形式，然后看a2与b2是否容易计算。
十四、完全平方公式
1、 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。
3、掌握理解完全平方公式的变形公式：
（1）
（2）
（3）
4、完全平方式：我们把形如: 的二次三项式称作完全平方式。
5、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。
6、完全平方公式可以逆用，即：
十五、整式的除法

（一）单项式除以单项式的法则
1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项 式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为
商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数 一起作为商的一个因式。
2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、 相同字母与不
相同字母三部分分别进行考虑。
（二）多项式除以单项式的法则
1、 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项
式，再把所得的商 相加。用字母表示为：
2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。
第二章 平行线与相交线

余角
余角补角
补角

角 两线相交 对顶角

同位角
三线八角 内错角
同旁内角

平行线的判定
平行线
平行线的性质
尺规作图
一、余角与补角
1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一
个角 的余角。
2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一< br>个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无
关。
4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：
（1） 则 (同角的余角（或补角）相等)。
（2） 且 则 (等角的余角（或补角）相等)。
6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
二、对顶角
1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质：对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥
梁。
5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

三、同位角、内错角、同旁内角
1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。
2、同位角：两个角都在两条直线的同侧， 并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对
角叫做同位角。
3、内错角：两个角都在两条 直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角
叫做内错角。
4、同旁内角：两 个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对
角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。
四、六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关 系，与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
五、平行线的判定方法
1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。
六、平行线的性质
1、两直线平行，同位角相等。
2、两 直线平行，内错角相等。
3、两直线平行，同旁内角互补。
4、平行线的判定与性质 具备互逆的特征，其关系如下：

在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。
七、尺规作线段和角
1、在几 何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
3、尺规作图中直尺的功能是：
（1）在两点间连接一条线段；
（2）将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规的功能是：
（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；
（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；
5、熟练掌握以下作图语言：
（1）作射线××；
（2）在射线上截取××=××；
（3）在射线××上依次截取××=××=××；
（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；
（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；
（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；
（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；

6、在作较复杂 图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括
叙述就可以了。
（1）画线段××=××； （2）画∠×××=∠×××；
第三章 生活中的数据
单位换算
科学记数法
近似数
生活中的数据 精确数
有效数 字
精确度
统计图（象形统计图）
一、单位换算
1、长度单位：
（1）百万分之一米又称微米，即1微米=10-6米。
（2）10亿分之一米又称纳米，即1纳米=10-9米。
（3）1微米=103纳米。
（4）1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109纳米。
2、面积单位
（1）10-6千米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米2=1012微米2=10 18纳米2。
3、质量单位
（1）1吨=103千克=106克。
二、科学计数法表示绝对值小于1的较小数据
1、用科学计数法表示绝对值小于1的较小数据 时，也可以表示为a×10n的形式，其中1≤
〡a〡<10,n为负整数，n等于这个数的第一个不为 零的数字前面所有零的个数（ 包括小数
点前面的一个零）的相反数。
三、近似数与精确数
1、精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。
2、近似数是指用测量或统计的方法、四舍五入、估计等得到的数。
3、近似数产生的原因有：
（1）由于测量工具和测量方法的局限性不可能得到物体的准确值；
（2）有些事件也不可能或没有必要得出它的精确值。
4、近似数a的真值的范围大于或等于 a与它的最末位的半个单位的差而小于a与它的最末
位的半个单位的和。例如近似数1.60的真值范围 为大于或等于1.595而小于1.605。
四、有效数字
1、对于一个近似数，从左边第 一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都
叫这个数的有效数字。
2、对于科 学计数法型的近似数，由a×10n（1≤〡a〡<10）中的a来确定，a的有效数字就
是这个近似数 的有效数字。与× 10n无关。
3、对带有记数单位的近似数，由数字来确定，与单位无关。
五、近似数的精确度
1、近似数的精确度是近似数精确的程度。
2、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。
4、对于单独一个近似数，根据最后一位有效数字在该数中所处的位置直接确定精确度。

5、对用科学记数法表示的数应注意将其还原为原来的数后，再确定其精确度。
6、对带单位的近似数，也要还原为原来的数后再确定其精确度。
7、对近似数进行取舍时需要注意一般形式与科学记数法形式。
六、统计图（表）
1、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
2、折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。
3、扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
4、象形统计图：能直观地反映数据之间的意义。
5、从统计图中获取更多的有用信息，应做到以下几步：
（1）审清统计图横轴和纵轴代表的 意义，若是象形统计图则要看准每个形象图标代表什么
意义；
（2）把各部分的数据找出来；
（3）以图中读出的信息作为参考（已知），推测相关量的变化趋势或规律；
（4）对需要计算后回答的信息要准确地进行计算。
6、制作象形统计图
（1）象形统计图比一般的统计图更直观、更简洁生动，极富有个性和情感，但准确性差一
些。
（2）制作象形统计图没有固定的格式，需要具有较强的想像力和创造力。
（3）制作象形统计图：
一是要明确制作的统计图的特点；
二是要结合具体问题，分析数据特点和规律，通过设计简明、直观、形象的统计图，加
深对问题的理解。
第四章 概率
必然事件
事件 不可能事件
不确定事件

概率 等可能性 游戏的公平性

概率的定义
概率 几何概率
设计概率模型
一、事件
1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。
2、 必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不
发生，即发生的可 能是100%（或1）。
3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都 完全没有机会
发生，即发生的可能性为零。
4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件 ，也就是说该事件可能发生，也可能不发
生，即发生的可能性在0和1之间。
5、三种事件都 是相对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为100%，则为必
然事件；若事件发生的可能 性为0，则为不可能事件；若事件不一定发生，即发生的可能性
在0∽1之间，则为不确定事件。 6、简单地说，必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是绝对不可能发生的事件；不确

< br>定事件是指有可能发生，也有可能不发生的事件。
7、表示事件发生的可能性的方法通常有三种：
（1）用语言叙述可能性的大小。
（2）用图例表示。
（3）用概率表示。
二、等可能性
1、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。
2、游戏规则的公平性：就是看游戏双方的结果是否具有等可能性。
（1）首先要看游戏所出 现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必
然事件或不可能事件，则游戏是不公平 的；
（2）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同；即看
双方获胜的可能性是否相同，只有双方获胜的可能性相同，游戏才是公平的。
（3）游戏是否公平， 并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对
游戏双方获胜的事件发生的可能性一 样即可。
三、概率
1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般 用P来表示，P（A）
=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数。
2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；
3、不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；
4、不确定事件发生的概率在0∽1之间，记作05、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更直接的感觉。
6、概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。
7、概率的计算：
（1）直接数数法：即直接数出所有可能出现的结果的总数n，再数出事件A可能出现的结
果数m，利用 概率公式 直接得出事件A的概率。
（2）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。
四、几何概率
1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积（用SA表示）除以所有
可能结果组 成图形的面积（用S全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=SAS全，这
是因为事件发生在每 个单位面积上的概率是相同的。
2、求几何概率：
（1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系；
（2）然后计算出各部分的面积；
（3）最后代入公式求出几何概率。
五、设计概率模型（游戏或事件）
1、设计符合要求的简单概率模型（游戏或事件）是对概率计算的逆向 运用。
2、设计通常分四步：
（1）首先分析设计应符合什么条件；
（2）其次确定选用什么图形表示更合理；
（3）然后再按一定要求和操作经验来设计模型；
（4）最后再通过计算或其他方法来 验证设计的模型是否符合条 件。
第五章 三角形
三角形三边关系
三角形 三角形内角和定理

角平分线
三条重要线段 中线
高线
全等图形的概念
全等三角形的性质
SSS
三角形 SAS
全等三角形 全等三角形的判定 ASA
AAS
HL（适用于RtΔ）
全等三角形的应用 利用全等三角形测距离
作三角形
一、三角形概念
1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相 接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”
表示。
2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三 角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，
顶点A所对的边 BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；
4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系
1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：
（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；
（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，
即 .
三、三角形中三角的关系
1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：
（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；
（2）直角三角形，即有一个内 角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,
其中直角∠C所对的边AB称为直角三 角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3 、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
5、任 意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和
为1800的性质。
6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。
四、三角形的三条重要线段
1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
2、三角形的角平分线：
（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶 点和交点之间的线段叫

做三角形的角平分线。
（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。
3、三角形的中线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点 。
4、三角形的高线：
（1 ）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角
形的高线，简称为 三角形的高。
（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。
区 别 相 同
中 线 平分对边 三条中线交于三角形内部 （1）都是线段
（2）都从顶点画出
（3）所在直线相交于一点
角平分线 平分内角 三条角平分线交于三角表内部
高 线 垂直于对边（或其延长线） 锐角三角形：三条高线都在三角形内部
直角三角形：其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角表外部

五、全等图形
1、两个能够重合的图形称为全等图形。
2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。
3、全等图形的面积或周长均相等。
4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。
5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。
6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。
六、全等分割
1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。
2、对一个图形全等分割：
（1）首先要观察分析该图形，发现图形的构成特点；
（2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。
七、全等三角形
1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。
2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角 形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重
要依据。
4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。
八、全等三角形的判定
1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角 角边”或“AAS”。
4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
5、注意以下内容
（1）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等。
（2）三边对 应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形

全等。
（3）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。
6、熟练运用以下内容
（1）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关 键。
（2）已知“SS”，可考虑A：第三边，即“SSS”；B：夹角，即“SAS”。
（3） 已知“SA”，可考虑A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夹角的另一边，即“SAS”。
（4）已知“AA”，可考虑A：任意一边，即“AAS”或“ASA”。
7、三角形的稳定 性：根据三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三边的长度确
定了，这个三角形的形状和大 小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
九、作三角形
1、作图题的一般步骤：
（1）已知，即将条件具体化；
（2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；
（3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；
（4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；
（5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。
2、熟练以下三种三角形的作法及依据。
（1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。
（2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。
（3）已知三角形的三边，作三角形。
十、利用三角形全等测距离
1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或 构造出全等三角形，运用
全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线 段或较容易
测量的线段的长度，从而得到被测距离。
2、运用全等三角形解决实际问题的步骤：
（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；
（2）根据实际问题抽象出几何图形；
（3）结合图形和题意分析已知条件；
（4）找到解决问题的途径。
十一、直角三角形全等的条件
1、在直角三角形中， 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、
直角边”或“HL”。
2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的；
3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。
十二、分析-综合法
1、我们在平时解几何题时，采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。
2、综合法：从 问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题
的结论。
3、分析法：从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。
4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。


第六章 变量之间的关系
自变量

变量的概念
因变量

变量之间的关系 表格法
关系式法
变量的表达方法 速度时间图象
图象法
路程时间图象
一、变量、自变量、因变量
1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定：
（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、表格
1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；
（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；
（3）结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系
（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；
（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；
（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5） 一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量
与自变量之间的关系 。
三、关系式
1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字 母表示）的代
数式表示因变量（ 也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方 程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：
（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出 关于未知数的方程，并最终写成关
系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；
（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：
（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；
（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；
（3）根据关系式求值的 实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因
变量的值）。
四、图象
1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。

2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
3、用图象表示 变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，
用竖直方向的数轴（又称纵 轴）上的点表示因变量。
4、图象上的点：
（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；
（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
（3）由自变量的值求对 应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个
点作横轴的垂线与图象交于某点，再过 交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因
变量的相应值。
（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。
5、图象理解
（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；
（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；
（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。
五、速度图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降 状的线，其代表速度减小。
六、路程图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。
七、三种变量之间关系的表达方法与特点：
表达方法 特 点
表格法 多个变量可以同时出现在同一张表格中
关系式法 准确地反映了因变量与自变量的数值关系
图象法 直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势

第七章 生活中的轴对称

轴对称图形
轴对称分类
轴对称
角平分线
轴对称实例 线段的垂直平分线
等腰三角形
生活中的轴对称 等边三角形
轴对称的性质
轴对称的性 质
镜面对称的性质

图案设计
轴对称 的应用
镶边与剪纸
一、轴对称图形
1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全 重合，那么这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：
（1）指一个图形；
（2）存在一条直线（对称轴）；
（3）图形被直线分成的两部分互相重合；
（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；
（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；
二、轴对称 < br>1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，
这条 直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
2、理解轴对称应注意：
（1）有两个图形；
（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；
（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；
（4）对称轴是直线而不是线段；
轴对称图形 轴对称
区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系
对称轴可能不止一条 对称轴只有一条
共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合
如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；
如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
三、角平分线的性质
1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
四、线段的垂直平分线
1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂
线。
2、性质：线段垂直 平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
五、等腰三角形
1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
2、 相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；
3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；
4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（ 等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平
分线，或底 边上的中线所在的直线都是它的对称轴。
6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。
7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。
8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。
9、“三线 合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，这三线，

并非 其他。
10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。
11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：
（1）两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。
六、等边三角形
1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。
2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。
3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。
4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是600。
图形 定义 性质
等腰三角形
有两边相等的三角形 1、两腰相等，两底角相等。
2、顶角=1800-2×底角。底角=（1800-顶角）2。
3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”。
4、轴对称图形，有一条对称轴。
等边三角形（又叫正三角形）

三边都相等的三角形 1、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于600。
2、具有等腰三角形的所有性质。
3、轴对称图形，有三条对称轴。

七、轴对称的性质
1、两个图形沿一 条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为
对应线段，能够重合的角称为 对应角。
2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
5、类似地，轴对称图形的性质有：
（1）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
（2）轴对称图形的对应线段、对应角相等。
（3）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形 的对应点、对应线段或对应角，并由此能补
全轴对称图形。
八、图案设计
1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。
2、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤:
（1）首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点；
（2）然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）。
（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。
3、表达方式（以点M为例）：
（1）过点M作对称轴 的垂线，垂足为A；
（2）延长MA到M’到，使M’A=MA，则点M’就是点M关于直线 的对称点。
（3）在复杂的作图中，也可以叙述为：作出点M关于直线 的对称点M’.
4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点：

（1）要有明确的设计意图；
（2）创意要新颖独特；
（3）设计出的图案要符合要求；
（4）能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。
5、图案的设计除采用对称的手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。
6、设计的图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。
九、镜面对称
1、镜面对称的有关性质：
（1）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像与它是可以重合的 。因此，一个轴对称图形
在镜子中的像仍是轴对称图形。
（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其右（左）侧；
（3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面的部分，其像也靠近镜面；
2、关于数字0、1、3、8在镜面中像的两个结论：
（1）如果写数字的纸条垂直于镜面摆 放，则纸条上写的0、1、3、8所成的像与原来的数字
完全一样。
（2）如果纸条正对镜面 摆放，则纸条上写的0、1、8这三个数字在镜中的像和原来的数字
完全一样。
3、像与物体到镜面的距离相等。
4、像与物体的 对应点连线被镜面垂直平分。
5、由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点。时间的表示有用一般数字表
示的，也有直 接用钟表来表示的。在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以解
决。


北师大版初中数学八年级(上册)各章知识点
第一章 勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
abc

2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系
abc
，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足
abc
的三个正整数，称为勾股数。

第二章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
222
222
222

负无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如
7,
3
2
等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如
π
+8等；
3
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
o
（4）某些三角函数值，如sin60等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数 是
零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，
则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点 的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对
值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|= a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1 ，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有
倒数。
4、数轴
规定了原点 、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素
缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
2
1、算术平方根：一 般地，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数x就
叫做a的算术平方根。特别地，0的 算术平方根是0。
表示方法：记作“
a
”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2
2、平方根：一 般地，如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的
平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a的平方根记做“
a
”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

a0

注意
a
的双重非负性：

a

0
3、立方根
3
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三

次方根）。
表示方法：记作
3
a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：< br>3
a
3
a
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负 数；数轴上的两个点所
表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
ab0ab,

ab0ab,

ab0ab

（3）求商比较法： 设a、b是两正实数，
1ab;
a
b
aa
1ab;1 ab;

bb
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则
abab
。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则
abab
。
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“
2、性质：
2
（1）
(a)a(a0)

22
”；被开方数a必须是非负数。

a(a0)

（2）
aa


a(a0)

（3）
ab
2
a•b(a0,b0)
（
a•bab(a0,b0)
）
（4）
aa
(a0,b0)
（
b
b
a
b

a
(a0,b0)
）
b
3、运算结果若含有“
a
”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数 ，因式是整
式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算

（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律
abba

加法结合律
(ab)ca(bc)

乘法交换律
abba

乘法结合律
(ab)ca(bc)

乘法对加法的分配律
a(bc)abac


第三章 图形的平移与旋转
一、平移
1、定义
在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2、性质
平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角
相等。
二、旋转
1、定义
在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向 转动一个角度，这样的图形运动称为旋
转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的
连线所成的角等于旋转角。
第四章 四边形性质探索
一、四边形的相关概念
1、四边形
在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性
3、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于
(n2)•
180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
6、设多边形的边数为n，则多边形的对角 线共有
n(n3)
条。从n边形的一个顶点出
2
发能引（n-3）条对角线 ，将n边形分成（n-2）个三角形。
二、平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平 行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的
线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等 分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距
离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积
S
平行四边形
=底边长×高=ah
三、矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）矩形的对边平行且相等
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等且互相平分
（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心 是对角线的交点（对称中心到
矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S
矩形
=长×宽=ab
四、菱形
1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）菱形的四条边相等，对边平行
（2）菱形的相邻的角互补，对角相等
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形既是中心对称 图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到
菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条， 是对角线所在的直线。

3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S
菱形
=底边长×高=两条对角线乘积的一半
五、正方形 （3~10分）
1、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，对边平行
（2）正方形的四个角都是直角
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方 形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有
四条，是对角线所在的直线和 对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证它是菱形。
先证它是菱形，再证它是矩形。
4、正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b
b
2
S
正方形
=
a

2
2
六、梯形
（一） 1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
（二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地，梯形的分类如下：
一般梯形
梯形 直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
（三）等腰梯形
1、等腰梯形的定义
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）
（四）梯形的面积 （1）如图，
S
梯形ABCD

1
(CDAB)•DE

2
（2）梯形中有关图形的面积：
①
S
ABD
S
BAC
；
②
S
AOD
S
BOC
；
③
S
ADC
S
BCD

七、有关中点四边形问题的知识点：
（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；
（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；
（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；
（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；
（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；
（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；
（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；
八、中心对称图形
1、定义
在平面内，一个图形绕某个点旋转18 0°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图
形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两
个图形关于这一点对称。
九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系图：

第五章 位置的确定
一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其 中，水平的
数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x< br>轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，
叫做 坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分
别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念 < br>对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数
a，b分 别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
点的坐标用（a，b）表示，其 顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、
纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有 序实数对，当
ab
时，（a，b）和（b，a）
是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
（1）、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
x0,y0

点P(x,y)在第二象限
x0,y0

点P(x,y)在第三象限
x0,y0

点P(x,y)在第四象限
x0,y0

（2）、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上
y0
，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上
x0
，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴 上，又在y轴上

x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点
（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上

x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上

x与y互为相反数
（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称

横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x
轴的对称点为P’（x，-y） < br>点P与点p’关于y轴对称

纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y
轴的对称点为P’（-x，y）
点P与点p’关于原点对称

横、纵坐标均 互为相反数，即点P（x，y）关于原点的
对称点为P’（-x，-y）
(6)、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
y

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
x

（3）点P(x,y)到原点的距离等于
xy

三、坐标变化与图形变化的规律：
坐标（ x ， y ）的变化
x × a或 y × a
x × a， y × a
x ×（ -1）或 y ×（ -1）
x ×（ -1）， y ×（ -1）
x +a或 y+ a
x +a， y+ a

第六章 一次函数
一、函数：
图形的变化
被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍
放大（缩小）为原来的 a倍
关于 y 轴或 x 轴对称
关于原点成中心对称
沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位
沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单
22

一般地 ，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一
个y值，那么我们称y是 x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取 值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体
实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开 方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算 符号的等式表示，
这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫
做列表法。
（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地 ，若两个变量x，y间的关系可以表示成
ykxb
（k，b为常数，k

0）的形
式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数ykxb
中的b=0时（即
ykx
）（k为常数，k

0 ），称y是x
的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数
ykxb
的图像 是经过点（0，b）的直线；正比例函数
ykx
的图像是经
过原点（0，0）的直线 。
k的符
号
b的符号 函数图像
y



0 x




y

图像特征
b>0
k>0
图像经过一、二、三象限，y
随x的增大而增大。
b<0
图像经过一、三、四象限，y
随x的增大而增大。

0 x




y




0 x




y



0 x



b>0
图像经过一、二、四象限，y
随x的增大而减小
K<0
b<0
图像经过二、三、四象限，y
随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数
ykx
有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数
ykxb
有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式
ykx
（k

0）中的常数k。确
定一个一次函数，需要确定一次 函数定义式
ykxb
（k

0）中的常数k和b。解这类问
题的 一般方法是待定系数法。
7、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 而一

次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，•即kx+b=0 就与一
元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0 （k、b为常数，k≠0）的形式．所以
解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自 变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

第七章 二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法
6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：
（1）一次函数与二元一次方程的关系：
直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解
（2）一次函数与二元一次方程组的关系：
a
1
c
1
yx
二元一次方程组 的解可看作两个一次函数
axby c
1

111
b
1
b
1



a
2
xb
2
yc
2

ac
y
2
x
1

2
和 的图象的交点。
b
2
b
2

当函数图象有交点时，说明相 应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无
交点时，说明相应的二元一次方程组无解。



第八章 数据的代表
1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数
2、平均数
（1）平均数：一般地，对于n个数
x
1
,x
2
,,x
n
,
我们把
个数的算术平均数，简称平均数，记为
x。
（2）加权平均数：
3、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
4、中位数
一般地，将 一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数
据的平均数）叫做这组数据的中 位数。
1
(x
1
x
2
x
n
)< br>叫做这n
n

北师大版初中数学八年级(下册)各章知识点
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.
3、求不等式解集的过程叫解不等式.
4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组
5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.
基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.
二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
（注：移项要变号，但不等号不变。）
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
不等式的基本性质<1>、若a>b, 则a

c>b

c；
<2>、若a>b, c>0 则ac>bc，若c<0, 则ac不等式的其他性质：反射性：若a>b,则bb,且b>c,则a>c
三、解不等式的步骤: 1、去分母; 2、去括号; 3、移项、合并同类项; 4、系数化为
1。 四、解不等式
组的步骤:1、解出不等式的解集。 2、在同一数轴表示不等式的解集。 3、写出不等式组的
解集。 五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
（1） 审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式；
（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) （4）解不等式组；检验并作答。
六、常考题型：
1、求4x-6<7x-12的非负数解.
2、已知3(x-a)=x-a+1的解适合2(x-5) < 8a,求a的范围.
3、当m取何值时，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之间。

第二章 分解因式
一、公式：
1、ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、
a
2
2
a
2
2ab+b
2


ab



-b
2
=

a+b

a-b


3、
二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
3、ma+mb+mc=m（a+b+c）
4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.
找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
四、分解因式的一般步骤为:
（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
五、形如
a+2ab+b
或
a-2ab+b
的式子称为完全平方式.
六、分解因式的方法：1、提公因式法。 2、运用公式法。
第三章 分式

注：1°对于任意一个分式，分母都不能为零.
2°分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.
3°分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。
（
2222
A A
中B≠0时，分式有意义；分式中，当B=0分式无意义；当A=0且B≠0时，分式
BB< br>的值为零。）
常考知识点：1、分式的意义,分式的化简。2、分式的加减乘除运算。3、分式 方程的解法及其
利用分式方程解应用题。

第四章 相似图形

一、 比例定义：表示两个比相等的式子叫比例.
1、如果a与b的比值和c与d的比值相等 ，那么
ac
=
或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数
bd
a,b ,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b
为内项.
2、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段
的比
（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成
项和后项.
ABm
=
，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前
CDn
mAB
表示成比值 k，则
=
k或AB=k•CD.
nCD
ac
4、四条 线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
=
,那么这四条线段a,b,c,d
bd
3、如果把
叫做成比例线段，
简称比例线段.
5、黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段A C和BC，如果
ACBC
=
,
ABAC
那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段 AB的黄金分割点，AC与
AB的比叫做黄金比.其中AC∶AB≈0.618.
6、 引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三
角形三边对应成 比例.
相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.

相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.

二、比例的基本性质：
acac
如果
=
（b,d都不为0），那么ad=bc.
=
。
bdbd
acabcb
2、合比性质：如果
=
,那么 。 < br>=
bd
bd
acma+b+ma
3、等比性质：如果
==
（b+d+

+n≠0），那么
=
。
b dnb+d+nb
acab
4、更比性质：若
=
，
那么=
。
bdcd
acbd
5、反比性质：若
=
，那么< br>=
。

bdac
1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0）， 那么
三、求两条线段的比时要注意的问题：
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示， 如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求
它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.

四、相似三角形（多边形）的性质：
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例,相似三角形 对应高的比、对应角平分线的比和对应
中线的比都等于相似比。2、相似多边形的周长比等于相似比，面 积比等于相似比的平方.
五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL

六、相似三角形的判定方法：1.三边对应成比例的两个三角形相似；
2.两角对应相等的两个三角形相似；
3.两边对应成比例且夹角相等；
4.定义法: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
5、定理：平行于三角形一边 的直线和其他两边（或两边的延长
线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

七、在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.
1、两个全等三角形一定相似. 2、两个等腰直角三角形一定相似.
3、两个等边三角形一定相似. 4、两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.

八、如果两个图形不仅是相似图形，而 且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两
个图形叫做位似图形。这个点叫位似中心，这时 的相似比又称为位似比。
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

九、常考知识点：1、比例的基本性质，黄金分割比，位似图形的性质。
2、相似三角形的性质及判定。相似多边形的性质。

第五章 数据的收集与处理

（1）普查的定义：这种为了一定目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查.

（2）总体：其中所要考察对象的全体称为总体。

（3）个体：组成总体的每个考察对象称为个体

（4）抽样调查：（sampling investigation）：从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为
抽样调查.

（5）样本（sample）：其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
（6）当总体中的个体数目较多时，为了节省时间、人力、物力，可采用抽样调查.为了获得较为
准 确的调查结果，
抽样时要注意样本的代表性和广泛性.还要注意关注样本的大小.

（7）我们称每个对象出现的次数为频数。而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。

（8）数据波动的统计量：
极差：指一组数据中最大数据与最小数据的差。
方差：是各个数据与平均数之差的平方的平均数。
标准差：方差的算术平方根。 要求：识记其计算公式。
一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定。
还要知道平均数，众数，中位数的定义。
刻画平均水平用：平均数，众数，中位数。
刻画离散程度用：极差，方差，标准差。

常考知识点：1、作频数分布表，作频数分布直方图。 2、利用方差比较
数据的稳定性。
3、平均数，中位数，众数，极差，方差，标准差的求法。 4、频率，样本的
定义


第六章 证明

一、对事情作出判断的句子，就叫做命题. 即：命题是判断一件事情的句子。
一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.
每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
一般地，命题都可以写成“如果 ……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，
“那么”引出的部分是结论.
要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有
命题的结论. 这种例子称为反例。

二、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
1、证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角.
一般需要作辅助线.既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角.
2、三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.

三、三角形的外角与它不相邻的内角关系是：
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

四、证明一个命题是真命题的基本步骤是：
（1）根据题意，画出图形.
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

在证明时注意：(1)在一般情况下，分析的过程不要求写出来.
(2)证明中的每一步推理 都要有根据。如果两直线都和第三条直线平行，那么
这两条直线也相互平行。
(3)所对的直角边是斜边的一半。斜边上的高是斜边的一半。

常考知识点：1、三角形的内角和定理，及三角形外角定理。
2、两直线平行的性质及判定。
3、命题及其条件和结论，真假命题的定义。






北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点
第一章 证明（二）
一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。
（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。
（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等（可简写成“角角边”或
“AAS”）。
二、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
b
2
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
180A

2
2、等腰三角形的判定
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.
三、等边三角形
性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）三线合一
判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形
（一）、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
abc

其它性质：
1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。
2、常用关系式：由三角形面积公式可得：
两直角边的积=斜边与斜边上的高的积
（二）、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系
abc
，那么这个三角形是直角三角形。
（三）直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜 边、直角边定理）：有斜
边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或 “HL”）

五、角的平分线及其性质与判定
1、角的平分线：从一个角的顶点引 出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条
射线叫做这个角的平分线。
2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
3、角的平分线的判定定理：
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
六、线段垂直平分线的性质与判定
1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段 的直线是这条线段的垂直平
222
222

分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上。
七、反证法
八、互逆命题、互逆定理
1、在两个命题中，如果一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的结论和条件，那么
这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命 题。
2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为
互 逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
第二章 一元二次方程
一、一元二次方程
（一）、一元二次方程定义
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
（二）、一元二次方程的一般形式
ax
2
bxc0(a0)
，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，
等式右边是零，其中
ax
叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系
数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
2
直接开平方法适用 于解形如
(xa)b
的一元二次方程。当
b0
时，
xa b
，
2
xab
；当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法
一般步骤：
（1） 方程
axbxc0(a0)
两边同时除以a,将二次项系数化为1.
（2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。
（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方
（4） 配方，化成
(xa)b

（5）开方。当
b0
时，
xab
；当b<0时，方程没有实数根。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程
axbxc0(a0)
的求根公式：
2
2< br>2
bb
2
4ac
2
x(b4ac0)

2a

4、因式分解法
一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。
补充：一元二次方程根的判别式
根的判别式
2
1、定义：一元二次 方程
axbxc0(a0)
中，
b4ac
叫做一元二次方程
2
ax
2
bxc0(a0)
的根的判别式。
2、性质： 当
b4ac
＞0时，方程有两个不相等的实数根；当
b4ac
＝0时，方 程
有两个相等的实数根；当
b4ac
＜0时，方程没有实数根。
补充：一元二次方程根与系数的关系
如果方程
axbxc0(a0 )
的两个实数根是
x
1
，x
2
，那么
x
1
x
2

2
22
2
b
，
ax
1
x
2

c
。
a
第三章 证明（三）
一、平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平 行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的
线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等 分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、平行四边形的面积
S
平行四边形
=底边长×高=ah
二、矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）矩形的对边平行且相等
（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等且互相平分
（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称 图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到
矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连 线所在的直线。
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S
矩形
=长×宽=ab
三、菱形
1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）菱形的四条边相等，对边平行
（2）菱形的相邻的角互补，对角相等
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形既是中心对称 图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到
菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条， 是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S
菱形
=底边长×高=两条对角线乘积的一半
四、正方形 （3~10分）
1、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，对边平行
（2）正方形的四个角都是直角
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方 形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有
四条，是对角线所在的直线和 对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证它是菱形。
先证它是菱形，再证它是矩形。
4、正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b
b
2
S
正方形
=
a

2
2
五、等腰梯形
1、等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）
六、三角形中的中位线
1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
七、有关四边形四边中点问题的知识点：
（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；
（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；
（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；
（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；
（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；
（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；
（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；
第四章 视图与投影
1、投影
投影：物体在光线的照射下，在地面上或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。
平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
中心投影 ：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光
线所形成的投影称为中心投 影。
2、视点、视线、盲区
第五章 反比例函数
1、反比例函数的概念 一般地如果两个变量x，y之间的关系可以表示为
y
k
（k是常数，k

0）的形式，
x
1
那么称y是x的反比例函数。（反比例函数的解析式也 可以写成
ykx
的形式。自变量x
的取值范围是x

0的一切实数 ，函数的取值范围也是一切非零实数。）
2、反比例函数的图象

反比例函数 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或
第二、四象限，它们关于原点对 称。由于反比例函数中自变量x

0，函数y

0，所以，它
的图象 与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标
轴。
3、反比例函数的性质
反比例
函数
k的符
号
y



图象
O x




①x的取值范围是x

0，
y的取值范围是y

0；
②当k>0时，函数图象的两个分支分别
在第一、三象限。在每个象限内，y
随x 的增大而减小。
k>0

y
k
(k0)

x
k<0

y



O x



①x的取值范围是x

0，
y的取值范围是y

0；
②当k<0时，函数图象的两个分支分别
在第二、四象限。在每个象限内，y
随x 的增大而增大。
性质



4、反比例函数解析式的确定
确定反比例函数解析式的方法仍是待定系 数法。由于在反比例函数
y
k
中，只有一
x
个待定系数，因此只需 要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定
其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
过反比例函数
y
k
(k 0)
图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂
x
足分别是M、 N，则所得的矩形PMON的面积S=PM
•
PN=
y•xxy
。
y
k
,xyk,Sk
。
x
第六章 频率与概率
概率的求法：
（1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们 发生的可能性都相等，

事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P（A）=
m

n
（2）、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（3）树状图法
通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（当一 次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出
所有可能的结果，通常采 用树状图法求概率。）



北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总
第一章 直角三角形边的关系
※一. 正切：
定义：在Rt
△
ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
．．
tanAA的对边
;
A的邻边
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记 号里习惯省去角的符号“∠”；
②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；
③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越
大。
※二. 正弦：
．．
定义：在Rt
△
ABC中，锐角∠A的对边与 斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
即
sinA
A的对边
;
斜边
※三. 余弦：
定义：在Rt
△
ABC中，锐角∠A的邻边与 斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
即
cosA
A的邻边
;
斜边
※余切：
定义：在Rt
△
ABC中，锐角∠A的邻边与对边的 比叫做∠A的余切，记作cotA，
即
cotA
A的邻边
;
 A的对边
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、
正切。
0º 30 º 45 º 60 º 90 º

（通常我们称正弦、余弦 互为
余函数。同样，也称正切、余
切互为余函数，可以概括为：
一个锐角的三角函数等 于它
的余角的余函数）用等式表
达：若∠A为锐角，则
①
sinAcos(90A)
；
cosAsin(90A)

sinα
cosα
tanα
cotα
0
1
0
—
1

2
3

2
3

3
2

2
2

2
1
1
3

2
1

2
1
0
—
0
3

3

3
3

②
tanAcot(90A)
；
cotAtan(90A)

※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角
．．
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成
的锐角称为俯角
．．
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余
弦值、 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tgα·ctgα=1。



图1
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直 角三角形中除
直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有
(1)三边之间的关系：a
2
+b
2
=c
2
；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
(3)边与角之间的关系：
asinA,
c
b
sinB,
c
b
cosA,c
a
cosB,
c
a
tanA,
b
btanB,
a
b
cotA;

a
a
cotB;

b
11
abchc
(hc为C边上的高);
22
abc
(5)直角三角形的内切圆半径
r

2
1
(6)直角三角形的外接圆半径
Rc

2
(4)面积公式:
S


◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：


B
i=h:l
h
C
A
l
图2

图3



※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即
．．．．
图4
h
tanA

l
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、
．．．
i
OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南 方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如
．．．
图4，OA、OB、O C、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方
向)、南偏西为60°，北偏西60° 。

第二章 二次函数
※二次函数的概念：形如
yaxbxc( a
、、b、
是常数
，a
0)
的函数，叫做x的二次
．．< br>函数。自变量的取值范围是全体实数。
yax(a0)
是二次函数的特例，此时
．．
常数b=c=0.
※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，
并确定自 变量的取值范围。
．．．．．．．．
※二次函数y＝ax
2
的图象是一条顶 点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
．．．
描述抛物线常从开口方向、对称 性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物
线与x轴的交点等方面来描述。
2
2
①函数的定义域是全体实数；
②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。
③当a＞0时，抛物线开 口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线
开口向下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：

;

x0时,y随x增大而减小
A、当a＞0时

B、当a＜0时
.

x0时,y随x增大而增大
;

x0时,y随x增大而增大


.

x0时,y随x增大而减小

⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值： 当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时
函数有最大值，最大值是0．
※二次函数
yaxc
的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线
2
※二次函数
yax
2
bxc
的图象是以
xbb
为对称轴，顶点在（

，
2a2a
4acb
2< br>）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）
4a
※|a|的越大，抛物线的开口程度 越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）
速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越 远离对称轴y轴，y随x增
长（或下降）速度越慢。
※二次函数
yax
2
c
的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物
线的开口程度大小， c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。
※二次函数
yax
2
 bxc
的图象与y＝ax
2
的图象的关系：

yax
2
bxc
的图象可以由y＝ax
2
的图象平移得到，其步骤如下：
①将
yax
2
bxc
配方成
ya(xh)< br>2
k
的形式；（其中h=

4acb
2
k=）；
4a
b
，
2a
②把抛物线
yax
2
向右 （h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)
2
的
图象；
③再把抛物线
ya(xh)
2
向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到
ya(xh)
2
k
的图象。
※二次函数
yax
2
bxc
的性质：
b
2
4acb
2
二次函数
yaxbxc
配方成
ya( x)
则抛物线的
2a4a
2

2
b
4a cb
b
①对称轴：x=

②顶点坐标：（

，）
2a
4a
2a
③增减性： 若a>0，则当x<

随x的增大而增大。
．．．．．．
若a<0，则当x<

随x的增大而减小。
．．．． ．．
bb
时，y随x的增大而减小；当x>时，y

．．．．．
2a 2a
bb
时，y随x的增大而增大；当x>时，y

．．．．．
2a 2a
4acb
2
bb
④最值：若a>0，则当x=

时，
y
最小

；若a<0，则当x=

时，
4a
2a2a
y
最大
4acb
2


4a
※画二次函数
yax
2
bxc
的图象：
我们可以利用它 与函数
yax
2
的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用
简化了的描点 法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：
2
b
①先找 出顶点（

b
，
4acb
），画出对称轴x=

；
2a
4a
2a
②找出图象上关于直线x=

b
对称的四个点（如与坐标的交点等）；
2a
③把上述五点连成光滑的曲线。
¤二次 函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)
2
+k的形式求得，
也 可以借助图象观察。
¤解决最大（小）值问题的基本思路是：
①理解问题；
②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；
③用数学的方式表示它们之间的关系；
④做数学求解；
⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数
yax< br>2
bxc
的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x
1
，x< br>2
是
对应一元二次方程
ax
2
bxc0
的两个 实数根
※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

b
2
4ac
>0 <===> 抛物线与x轴有2个交点；

b
2
4ac
=0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；

b
2
4ac
<0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）； < /p>

※当
b
2
4ac
>0时，设抛物线与x轴的两个交点 为A、B，则这两个点之间的距
离：
|AB||x
1
x
2|(x
2
x
1
)
2
(x
1
x
2
)
2
4x
1
x
2

b
2
4ac
2
化简后即为：
|AB|(b4ac0)
------ 这就是抛物线与x轴的两
|a|
交点之间的距离公式。
第三章 圆
一. 车轮为什么做成圆形
※1. 圆的定义：
描述性定义：在一个平面内， 线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另
一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫
．
做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，
．．．．
读作 “圆O”
集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆
．< br>心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，
．．．．．
圆心和半径确定 的圆叫做定圆。
．．
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是
半径（即定长）。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上 <===> d=r;
②点在圆内 <===> d③点在圆外 <===> d>r.
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:
※1. 与圆相关的概念：
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
．
直径：经过圆心的弦叫做直径。
．．
②弧、半圆、优弧、劣弧： < br>弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端
．．．
点 的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
．．
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
．．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)
．．
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
．．

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
．．．
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
．．
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
．．．
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
．．．
※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对
的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距
中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三. 圆周角和圆心角的关系:
※1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°
的圆心角,相应的整个 圆也被等分成360份,每一份同样的
弧叫1°弧.
※2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠
AOB= ,这是错误的.
※3. 圆周角的定义:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
※4. 圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角
所对的弧也相等；
※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
※四. 确定圆的条件:
※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:
圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点
线段的垂直平分线上.
※2. 经过三点作圆要分两种情况:
(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.
(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.
※定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这
个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.

五. 直线与圆的位置关系
※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:
(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.
(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,
惟一的公共点做切点.
(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；
①d 直线L和⊙O相交.
②d=r <===> 直线L和⊙O相切.
③d>r <===> 直线L和⊙O相离.
※3. 切线的总判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
※4. 切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内
心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.
※6. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的
这个内角.
六. 圆和圆的位置关系.
※1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.
(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.
(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外
部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.
(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.
(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这 个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部
时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.
(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.
两圆同心是两圆内的一个特例.
※2. 两圆位置关系的性质与判定:
(1)两圆外离 <===> d>R+r
(2)两圆外切 <===> d=R+r
(3)两圆相交 <===> R-r(4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r)
(5)两圆内含 <===> dr)

※3. 相切两圆的性质:
如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.
※4. 相交两圆的性质:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
七. 弧长及扇形的面积
※1. 圆周长公式:
圆周长C=2

R (R表示圆的半径)
※2. 弧长公式:
弧长
l
n

R
(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)
180
※3. 扇形定义:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
※4. 弓形定义:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.
※5. 圆的面积公式.
圆的面积
S

R
(R表示圆的半径)
※6. 扇形的面积公式:
扇形的面积
S
扇形
2
n

R
2

(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)
360
※弓形的面积公式:(如图5)

A

O

B
O
A
O
B
B
(1),
S
弓形
S
扇形
S
三角形

A
当弓形所含的弧是劣弧时
S
弓形
(2)当弓形所含的弧是优弧时,
图5
S
扇形
S
三角形

(3)当弓形所含的弧是半圆时,
S
弓形

C
C
C
1
2

RS
扇形

2
八. 圆锥的有关概念:
※1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图 形,另一条
直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.
※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长 、弧长是圆锥底面
圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它
的侧面积是:
11
S
侧
c l2

rl

rl

22
S
表S
侧
S
底面


rl

r2


r(rl)

_

O
_

A
_

6

图
_

B

¤九. 与圆有关的辅助线
1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.
2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.
3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.
4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.
¤十. 圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个
四边形的 外接圆.
圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.
※十一.北师版数学未出理的有关圆的性质定理
1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线 ，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分
两条切线的夹角。
如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB，PO平分∠APB
2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠B
3．和圆有关的比例线段：
①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；
②推论：如果 弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
如图8，AP•PB=CP• PD
如图9，若CD⊥AB于P，AB为⊙O直径，则CP
2
=AP•PB
4．切割线定理
①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点 的两条线
段长的比例中项；
②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积
相等。
如图10， ①PT切⊙O于T，PA是割线，点A、B是它与⊙O的交点，则PT
2
=PA•PB
②PA、PC是⊙O的两条割线，则PD•PC=PB•PA
5．两圆连心线的性质
①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。
②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图11，⊙O
1
与 ⊙O
2
交于A、B两点，则连心线O
1
O
2
⊥AB且AC= BC。
6．两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。
如 图12，AB分别切⊙O
1
与⊙O
2
于A、B，连结O
1
A ，O
2
B，过O
2
作O
2
C⊥O
1
A于C ，
公切线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为R，r则外公切线长：
Ld
2(Rr)
2

如图13，AB分别切⊙O
1
与⊙O
2
于A、B，O
2
C∥AB，O
2
C⊥O
1
C于C ，⊙O
1
半径为
R，⊙O
2
半径为r，则内公切线长：
L d
2
(Rr)
2


O_
_B

C_
_图

7

C

_
_

B

_

P

_

O
_


A
D

_


图8



_

A


_
2


_

O
_
1
O


C
_
_


_

B

_

11


图
_

D
_ D
_ P
_ B
T _
_ 10 图
_ O
_ C
_

A
_

P
O
_

_

C

_

B

_

9

图

_

R
_

O
_

1
_

d
_

A
_

O
_

1
_

C
_

d
_

O
_

2
_

B
_

r
_

R
_

A

_

C

_

13


图
第四章 统计与概率
1. 实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实 验次
数再多,也很难保证实验结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特点.
三. 游戏公平吗?
1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会,或者游戏多方赢的机会相等.
2. 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0与
1之间.
3. 概率的预测的计算方法:某事件A发生的概率:
_

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图

P
事件A包含的基本事件的个数

基本事件的总数
4. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点:
(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;
(2)要弄清楚所有机会均等的结果.

（注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）

∵∴⊙∠①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩•⊥