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课题 1、数怎么又不够用了（1课时） 课型 新授课
课标课标要求：了解无理 数的概念。从有理数扩充到实数是第三学段数系扩张的最后一个
与教阶段，中学阶段有关数的问题多是实 数范围内进行讨论的，同时，实数也是后继学习
材 的基础。人类对数的认识是在生活中不断加深和发展 的，数系的每一次扩张都源于生
活的实际需要。学生在七年级上册的学习中经历了数系的第一次扩张，本 章在有理数
和勾股定理等知识的基础上，进行数系的第二次扩张。实数概念的建立，从某种意义
上讲就是无理数概念的建立。《数怎么又不够用了》是义务教育课程标准北师大版实
验教科书八年级（上 ）第二章《实数》的第一节. 本节内容安排了2个课时完成，
第1课时让学生感受数的发展，建立无 理数的概念，第2课时借助计算器感受无理数
是无限不循环小数，会判断一个数是无理数.这是第1课时 ，学生将在具体的背景中，
通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的产生的实际背景和引入的必要性 ，并能
判断一个数是无理数，并能说出理由。
教学重点
1．让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2．会判断一个数是否为有理数，是否不是有理数.
3．用计算器进行无理数的估算.
教学难点
1．把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2．无理数概念的建立及估算.
3．判断一个数是否为有理数.
八年级学生已经在学习《有理数》的过程中体会到数不够用了，刚刚学完《勾
，再次感受到需要研究 新的数了.在此基础上，学生能在“需要—探究—发现

股定理》
—论证”式的课堂 中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法，从非常直观的
学情
操作中发现问题，实现数的发展.

知识与技能目标
教学 1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
目标 2．能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由.
3．借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.
过程与方法目标

1．学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的
动手能力和合作精神.
2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断识别某些数是否为有
理数、 无理数，训练他们的思维判断力.
3．借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生 的抽象概括能力，并
在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
情感与态度目标
1．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.
2．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作精神与钻
研精神 ，借助计算器进行估算.
3．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋半的
献身精神.
教学教学方法：引导、探究、发现与合作交流相结合.
方法使用多媒体辅助教学
与媒
体
教具准备 两个边长为1的正方形，剪刀
复备修改及设
计意图
师 生 活 动 过 程（第一课时）
一.创设问题情境,引入新课

通过这个问题，我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学
学生回顾已经
过哪些数呢?（ 自然数、小数、分数、负数.）

学过的数，师生
我们在小学学了非负数，在初一发现 数不够用了，引入了负
共同复习有理
数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数 包括
数，为数的扩充
整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要
和 发展做好铺
呢？下面我们就来共同研究这个问题.

二 .讲授新课

1.问题的提出

垫。
教师鼓励学生
积极地投入活
请大家 四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正
动中并完成任

方形和剪刀， 动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

务，积极交流。
经过大家的共同 努力，每个小组都完成了任务，同学们把自
通过对实际问
己拼的图展示如下..
题的解决，让学
生将发现现实
生活中存在不
同于有理数的
数，从而感受到
需要学习新的
数，激发学生的


总结：拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

求知欲望.

在教学过
经过大家的讨论可知，在等式a
2
=2中，a既不是整数，也不程中，教师要关
是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样
注学生对“
a
既
的数，由此看来，数又不够用了.

不是整数，也不
是分数”的理解
2.做一做：

(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多
和应用过程。
少？





（多媒体展示）
通过学习史料，


开阔学生的视
野，进一步丰富
无理数的背景，
激发学生的学
习兴趣 ，培养
学生为捍卫真
理而勇于献身
(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件 ？

(3)b是有理数吗？

（a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.）

3、介绍历史，开阔视野:关 于无理数的发现是发现者付出了昂
的精神，鼓励学
贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达 哥拉斯认为万物皆

“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，
生敢于对问题
也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫
质疑、挑战， 会
希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数
或整数之比来表示，这个发现 动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据
产生很好的教
说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出 了宝贵的生命，
育效果。
但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.

也就是我们前面谈过的a
2
=2中的a不是有理数.


我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方

面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大

胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希

腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.


三.课堂练习

(一)课本P33随堂练习


通过练习， 巩固
新知，同时也让
如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？
学 生感受到新
可能是分数吗？

数的运用。









解 由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理

得h=3.h不可能是整数，也不可能是分数.


2
四、课时小结
b．感受数不够用了，会确定一个数是有理数或不是有理数.
引导学生自己
小结本节 课的
谈谈本节课你有什么收获与体会？有哪些困难需要别人帮你解决？
a
．
知识要点及数
学方法，让学生
c．本节课用到基本方法：动手、操作、观察、思考，猜想验证， 推理，
总结、相互补
归纳等过程，获取数学知识
充，学会进行概
五.课后作业 课本P33习题2.1

六.活动与探究

下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小
正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是
括总结，使知识
系统化。

有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.



解：如图，AB=2，BE=1，AB、BE是有理数.

AD
2
= AB
2
+BD
2
=2
2
+3
2
=13，A C
2
＝1＋1＝2.

AE
2
=AB
2
+ BE
2
=2
2
+1
2
=5.

AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.



教学评价：
1.学生对既不是整数，也不是分数的无理数能充分理解
2.对在方格中画符合条件的三角形学生掌握的不很熟练。
3.课堂上学生的讨论积极，思维活跃。
教学反思



数怎么又不够用了预习学案
预习目标

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.

预习过程：
1.问题的提出

请大家准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，动手 剪一剪，拼一拼，设法
得到一个大的正方形。小组交流。






总结：拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

经 过大家的讨论可知，在等式a
2
=2中，a既不是____数，也不是___数，所
以 a不是_____数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不
够用了.

2.做一做：

(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？



(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？

(3)b是有理数吗？



三.课堂练习

(一)课本P33随堂练习

如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？

四、介绍历史，开阔视野
关于无理数的发现 是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学
家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的 一切现象都能归结为整数或整数
之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个 叫希伯
索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，
这个发现 动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为
真理而献出了宝贵的生命，但真理 是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯
2
索斯的发现.也就是我们前面谈过的a=2中的 a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习< br>这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远
停留在某处而不前 进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献
身的精神.

五、活动与探究

下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形 的若干
个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是
有理数的 线段.