(完整版)北师大版初一数学知识点总结
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初一数学定理知识点汇总
[七年级上册]
第一章 生活中的立体图形
1.
圆柱:底面是圆面
，
侧面是曲面
柱体
棱体:底面是多边形
，
侧面是正方形或长方形
2.
锥体
圆锥:底面是圆面
，
侧面是曲面
棱锥:底面是多边形
，
侧面都是三角形
3. 球体：由球面围成的
（球面是曲面）
4. 几何图形是由点、线、面构成的 。
①几何体与外界的
接触面或我们能看到的 外表就是几何体的 表面。几何的 表面有平面和曲面；
②面与面相交得到线；
③线与线相交得到点。
5.
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的 交线都叫做棱
．
。
6. 侧棱：相邻两个侧面的
交线叫做侧棱
．．
，所有侧棱长都相等。
7. 棱柱的 上、下底面的
形状相同，侧面的 形状都是长方形。
8. 根据底面图形的
边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的
形状
分别为三边形、四边形、五边形、六边形……
9. 长方体和正方体都是四棱柱。
10. 圆柱的 表面展开图是由两个相同的 圆形和一个长方形连成。
11. 圆锥的
表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。
12. 设一个多边形的
边数为n(n≥3，且n为整数)，从一个顶点出发的 对角线有(n-3)条；可以把n边形成
(n-
2)个三角形；这个n边形共有
n(n3)
2
条对角线。
13.
圆上两点之间的 部分叫做弧
．
，弧是一条曲线。
14.
扇形，由一条弧和经过这条弧的 端点的 两条半径所组成的 图形。
15.
凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。
第二章
有理数及其运算
正整数(如:
整数
1,2,3)
零(0)
负整数(如:1,2,3)
有理数
正分数(如:
1
,
1
,5.3,3.
分数
23
8)
负分数(如:
1
2
,
1
3
,2.3,4.8)
★数轴的
三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）
。
★任何一个有理数，都可以用数轴上的 一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的
点都表示有理数）
★如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的
相反数，也称这两个数互为相反数。
（0的 相反数是0）
★在数轴上，表示互为相反数的
两个点，位于原点的 侧，且到原点的 距离相等。
★数轴上两点表示的 数，右边的 总比左边的
大。正数在原点的 右边，负数在原点的 左边。
★绝对值的 定义：一个数a的
绝对值就是数轴上表示数a的 点与原点的 距离。数a的 绝对值记作|a|。
★正数的
绝对值是它本身；负数的 绝对值是它的 数；0的 绝对值是0。
a(a0)
a(a0
越来越大
|a|
0(a0)
或
|a|
)
a(a
a(a0)
-3
-2
0)
-1 0
1
2
3
★绝对值的 性质：除0外，绝对值为一正数的 数有两个，它们互为相反数；
互为相反数的 两数（除0外）的 绝对值相等；
任何数的
绝对值总是非负数，即|a|≥0
★比较两个负数的 大小，绝对值大的 反而小。比较两个负数的
大小的 步骤如下：
①先求出两个数负数的 绝对值；
②比较两个绝对值的 大小；
③根据“两个负数，绝对值大的 反而小”做出正确的 判断。
★绝对值的 性质：
①对任何有理数a，都有|a|≥0
②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然
③若|a|=b，则a=±b
④对任何有理数a,都有|a|=|-a|
★有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的 数的
符
号，并用较大数的 绝对值减去较小数的 绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
★加法的 交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
★灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的 两个数，可以先相加；
②符号相同的 数，可以先相加；
③分母相同的 数，可以先相加；
④几个数相加能得到整数，可以先相加。
★有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的 相反数。
★有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号；
②改变减数的 性质符号（变为相反数）
有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的 位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。
★有理数的 加减法混合运算的 步骤：
①写成省略加号的
代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的 减法法则转化为加法，然后再
省略加号和括号；
②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。
（注意：减去一个数等于加上这个数的
相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的 相反数。）
★有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘，积仍为0。
★如果两个数互为倒数，则它们的
乘积为1。（如：-2与
1
2
、
3
5
与
5
3
…等）
★乘法的
交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。
★有理数乘法运算步骤：①先确定积的 符号；
②求出各因数的 绝对值的 积。
★乘积为1的 两个有理数互为倒数。注意：
①零没有倒数
②求分数的 倒数，就是把分数的
分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。
③正数的 倒数是正数，负数的 倒数是负数。
★有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
②0除以任何非0的 数都得0。0不可作为除数，否则无意义。
★有理数的 乘方
n
个a
aaaa
a
n
指数
底数
幂
★注意：①一个数可以看作是本身的 一次方，如5=5
1
；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
★乘方的
运算性质：
①正数的 任何次幂都是正数；
②负数的 奇次幂是负数，负数的
偶次幂是正数；
③任何数的 偶数次幂都是非负数；
④1的 任何次幂都得1，0的
任何次幂都得0；
⑤-1的 偶次幂得1；-1的 奇次幂得-1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的 符号，然后再计算幂的 绝对值。
★有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。
②如果有括号,先算括号里面的 。
★科学记数法：一般地，一个大于10的
数可以表示成a×10
n
的
形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种
记数方法叫做科学记数法
．．．．．
。
第三章 整式及其加减
★代数式的 概念：
用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的 字母连接而成的
式子叫做代数式
．．．
。单
独的 一个数或一个字母也是代数式。
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、
≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的
式子一般都是代数式；
③代数式中的 字母所表示的 数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的
要符合实际问题
的 意义。
★代数式的 书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数
化成假分数后与字母相乘，如
2
1
a
应写作
7
3
3
a
；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的 写法来写，如4÷（a-4）应写作
4
a4
；注意：分数线具
有“÷”号和括号的 双重作用。
北师大版（2012最新版）初一数学定理知识点汇总
[七年级下册]
第一章 整式
一. 整式
★1. 单项式
①由数与字母的 积组成的
代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
②单项式的 系数是这个单项式的
数字因数，作为单项式的 系数，必须连同数字前面的 性质符号,如果
一个单项式只是字母的
积,并非没有系数.
③一个单项式中,所有字母的 指数和叫做这个单项式的 次数.
★2.多项式
①几个单项式的 和叫做多项式.在多项式中
二. 整式的 加减
¤1. 整式的 加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.
¤2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内
各项都要
相乘.
三. 同底数幂的 乘法
★同底数幂的 乘法法则:
a
m
a
n
a
mn
(m,n都是正数)是幂的
运算中最基本的 法则,在应用法则运算时,
要注意以下几点:
★1. 幂的 乘方法则：<
br>(a
m
)
n
a
mn
(m,n都是正数)是幂的
乘法法则为基础推导出来的 ,但两者不能混淆.
★2.
(a
m
)
n
(a
n
)
m
a
mn
(m,n都为正数)<
br>.
★3.
底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，
如将（-a）
3
化成-a
3
一般地,(a)
n
a
n
(当n为偶数时),
(当n为奇数时)
.
(ab)
n
a
n
b
n
a
n
五. 同底数幂的 除法
★1. 同底数幂的 除法法则
:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
a
m
a
n
a
mn
(a≠0,m、n都是正数,且
m>n).
★2.
在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的
前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的 数的 0次
幂等于1,即
a
0
1(a0)
,如
10
0
1
,(-2.5
0
=1),则0
0
无意义.
③任何不等于0的 数的 -p次幂(p是正
★1.
单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的 系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的
字
母，连同它的 指数作为积的 一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的 系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的 错误的
是，将系数相乘
与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的 乘法法则；
③只在一个单项式里含有的 字母，要连同它的 指数作为积的 一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的 单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
★2．单项式与多项式相乘以另一个多项式的
每一项，再把所得的 积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的 方法是：在没有合并同类项之前，积的
项数应等于原两
个多项式项数的 积；
②多项式相乘的 结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的 一次项系数是1的 两个一次二项式相乘
(xa)(xb)x<
br>2
(ab)xab
，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的
和，
常数项是两个因式中常数项的 积。对于一次项系数不为1的 两个一次二项式（mx+a）和（n
x+b）
相乘可以得到
(mxa)(nxb)mnx
2
(mbma
)xab
七．平方差公式
¤1．平方差公式：两数和与这两数差的
积，等于它们的 平方差，
★即
(ab)(ab)a
2
b
2
。
八．完全平方公式
¤1． 完全平方公式：两数和（或差）的 平方，等于它们的
平方和，加上（或减去）它们的 积的 2倍，
¤即
(ab)
2
a
2
2abb
2
；
¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
¤2．结构特征：
①公式左边是二项式的 完全平方；
②公式右
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的 因式，对于只在被除式里含有的
字母，则连
同它的 指数作为商的 一个因式；
¤2．多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这
如果两个角的 和为90°（或直角），那么这两个角互为余角；
如果两个角的 和为180°（或平角），那么这两个角互为补角；
注意：这两个概念都是对于两个角而言的 ，而且两个概念强调的 是两个角的
数量关系，
与两个角的 相互位置没有关系。
它们的 主要性质：同角或等角的 余角相等；
同角或等角的 补角相等。
二．探索直线平行的 条件
★两条直线互相平行的
条件即两条直线互相平行的 判定定理，共有三条：
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行。
三．平行线的 特征
★平行线的 特征即平行线的 性质定理，共有三条：
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行，同旁内角互补。
四．用尺规作线段和角
★1．关于尺规作图
尺规作图是指只用圆规和没有刻度的 直尺来作图。
★2．关于尺规的 功能
直尺的 功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。
圆规的
功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画
一段弧。
第三章 生活中的 数据
★1．利用四舍五入法取一个数的
近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；对于一
个近似数，从左边第一个不是0的
数字起，到精确到的 数位止，所有的 数字都叫做这个数的 有效数字。
★2．统计工作包括：
①设定目标；②收集数据；③整理数据；④表达与描述数据；⑤分析结果。
第四章 概率
★1．随机事件发生与不发生的 可能性不总是各占一半，都为50%。
★2．现实生活中存在着大量的 不确定事件，而概率正是研究不确定事件的 一门学科。
★3．了解必然事件和不可能事件发生的 概率。
必然事件发生的
概率为1，即P（必然事件）=1；不可能事件发生的
概率为0，即P（不可能事件）
=0；如果A为不确定事件，那么0
0
2
1
不可能发生
必然发生
★4.了解几何概率这类问题的 计算方法
事件发生概率=
事件所有可能结果所组成
的图形面积
所有可能结果所组成的图形面积
第五章 三角形
一．认识三角形
1．关于三角形的 概念及其按角的 分类
由不在同一直线上的
三条线段首尾顺次相接所组成的 图形叫做三角形。
这里要注意两点：
①组成三角形的
三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；
②三条线段“首尾是顺次相接
”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角
形的 顶点。
三角形按内角的 大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2．关于三角形三条边的 关系
根据公理“连结两点的
线中，线段最短”可得三角形三边关系的 一个性质定理，即三角形任意两
边之和大于第三边。
三角形三边关系的 另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。
对于这两个性质，要全面理解，掌握其实质，应用时才不会出错。
设三角形三边的
长分别为a、b、c则：
①一般地，对于三角形的 某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c
成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成
立，a、b、c三条线段才能构成三角形；
②特
殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果
已知
线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。
3．关于三角形的 内角和
三角形三个内角的 和为180°
①直角三角形的 两个锐角互余；
②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；
③一个三角中至少有两个内角是锐角。
4．关于三角形的 中线、高和中线
①三角形的
角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；
②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
③任意一个三角形的
三条角平分线、三条中线都在三角形的 内部。但三角形的 高却有不同的 位
置：锐角三角形的
三条高都在三角形的 内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的
内部，另
两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的 内部，另两条高在三角形的
外部，
如图3。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的
直线交于一点。
A
C
B
F
A
F
E
C
B
D
C
A
D
B
E
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
D
鹏翔教图1
二．图形的 全等
¤能够完全重合的 图形称为全等形。全等图形的
形状和大小都相同。只是形状相同而大小不同，或者说
只是满足面积相同但形状不同的
两个图形都不是全等的 图形。
四．全等三角形
¤1．关于全等三角形的 概念
能够完全重合的 两个三角形叫做全等三角形。互相重合的 顶点叫做对应点，互相重合的
边叫做对应边，
互相重合的 角叫做对应角
所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角
也对应相等。因此也可以这样说，各条边对应相等，各
个角也对应相等的 两个三角形叫做全等三角形。
★2．全等三角形的 对应边相等，对应角相等。
¤3．全等三角形的
性质经常用来证明两条线段相等和两个角相等。
五．探三角形全等的 条件
★1．三边对应相等的 两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
★2．有两边和它们的 夹角对应相等的 两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”
★3．两角和它们的 夹边对应相等的 两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
★4．两角和其中一个角的 对边对应相等的 两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
六．作三角形
1．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图的
。
2．已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图的
。
3．已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的 。
八．探索直三角形全等的 条件
★1．斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等。简称为“斜边、直角边”或“HL”。这
只对直角三角形成立。
★2．直角三角形是三角形中的 一类，它具有一般三角形的
性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、
“SSS”来判定。
直角三角形的
其他判定方法可以归纳如下：
①两条直角边对应相等的 两个直角三角形全等；
②有一个锐角和一条边对应相等的 两个直角三角形全等。
③三条边对应相等的
两个直角三角形全等。
第七章 生活中的 轴对称
★1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的
部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；
这条直线叫做对称轴。
★2．角平分线上的 点到角两边距离相等。
★3．线段垂直平分线上的
任意一点到线段两个端点的 距离相等。
★4．角、线段和等腰三角形是轴对称图形。
★5．等腰三角形的 顶角平分线、底边上的 高、底边上的 中线互相重合，简称为“三线合一”。
★6．轴对称图形上对应点所连的 线段被对称轴垂直平分。
★7．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。