教育经历-入学教育总结

北师大版数学七年级下册教案
1．1 同底数幂的乘法

1．理解并掌握同底数幂的乘法法则；(重点)
2．运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．(难点)

一、情境导入

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北师大版数学七年级下册教案

问 题：2015年9月24日，美国国家航空航天局(下简称：NASA)对外宣称将有重大发
现宣布，可 能发现除地球外适合人类居住的星球，一时间引起了人们的广泛关注．早在2014
年，NASA就发现 一颗行星，这颗行星是第一颗在太阳系外恒星旁发现的适居带内、半径与
地球相若的系外行星，这颗行星 环绕红矮星开普勒186，距离地球492光年.1光年是光经过
一年所行的距离，光的速度大约是3× 10
5
kms.问：这颗行星距离地球多远(1年＝
3.1536×10
7< br>s)?
3×10
5
×3.1536×10
7
×492＝3× 3.1536×4.92×10
5
×10
7
×10
2
＝4. 6547136×10×10
5
×
10
7
×10
2
.
问题：“10×10
5
×10
7
×10
2
”等 于多少呢？
二、合作探究
探究点：同底数幂的乘法
【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法
计算：(1)2
3
×2
4
×2；
(2)－a
3
·(－a)
2
·(－a)
3
； ＋
(3)m
n
1
·m
n
·m
2
·m.

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北师大版数学七年级下册教案
解析：(1)根据同底数 幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘
法法则进行计算即可；(3)根据同 底数幂的乘法法则进行计算即可．
＋＋
解：(1)原式＝2
341
＝2
8
；
(2) 原式＝－a
3
·a
2
·(－a
3
)＝a
3
·a
2
·a
3
＝a
8
；
＋＋＋＋＋
(3 )原式＝m
n
1
n
21
＝a
2
n
4
.
方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指
数 为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法
计算：
(1)(2a＋b)
2
n
1
·(2a＋b)3
·(2a＋b)
n
4
；
(2)(x－y)
2
·(y－x)
5
.
解析：将底数看成一个整体进行计算．
＋＋＋－
解：(1)原式＝(2a＋b)(2
n
1)3(
n
4)
＝(2a＋b)
3
n< br>；
(2)原式＝－(x－y)
2
·(x－y)
5
＝－(x－ y)
7
.
方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a －b)
n
＝
n


（b－a）（n为偶数），
< br>

－（b－a）
n
（n为奇数）.

＋－
【类型三】 运用同底数幂的乘法求代数式的值

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北师大版数学七年级下册教案
若8
2
a
3
·8
b
2
＝8
10
，求2a＋b的值．
解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a、b的关系 ，根据a、b
的关系求解．
＋－＋＋－
解：∵8
2
a
3< br>·8
b
2
＝8
2
a
3
b
2
＝8
10
，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．
【类型四】 同底数幂的乘法法则的逆用
＋－
已知a
m
＝3，a
n
＝ 21，求a
m
解析：把a
mn
变成a
m
·a
n，代入求值即可．
＋
解：∵a
m
＝3，a
n
＝21， ∴a
mn
＝a
m
·a
n
＝3×21＝63.
＋< br>方法总结：逆用同底数幂的乘法法则把a
mn
变成a
m
·a
n
.
三、板书设计
1．同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
＋
即a
m
·a
n< br>＝a
mn
(m，n都是正整数)．
2．同底数幂的乘法法则的运用

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＋
＋
n
的值．

北师大版数学七年级下册教案

在同 底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观
察某个单独的式子，把 它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有的学生则既观察入微，
又统揽全局，表现出了较强的观察 力．教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培
养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质 ．对于公式使用的条件既要把握好“度”，
又要把握好“方向”

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北师大版数学七年级下册教案
1．2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方

1．理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；(重点)
2．掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活应用．(难点)

一、情境导入
1．填空：
(1)同底数幂相乘，________不变，指数________；
(2)a
2
×a
3
＝________；10
m
×10
n
＝_ _______；
(3)(－3)
7
×(－3)
6
＝________；
(4)a·a
2
·a
3
＝________；

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北师大版数学七年级下册教案
(5)(2
3
)
2
＝23
·2
3
＝________；
(x
4
)
5
＝x
4
·x
4
·x
4
·x
4
·x
4
＝________．
2．计算(2
2
)
3
； (2
4
)
3
；(10
2
)
3
.
问题：(1)上述几道题目有什么共同特点？
(2)观察计算结果，你能发现什么规律？
(3)你能推导一下(a
m
)
n
的结果吗？请试一试．
二、合作探究
探究点一：幂的乘方
计算：
(1)(a
3
)
4;
(2)(x
m
1
)
2
；
(3)[(2
4
)
3
]
3;
(4)[(m－n)
3
]
4
.
解析：直接运用(a
m
)
n
＝a
mn
计算即可．
×
解：(1)(a
3
)
4
＝a
34
＝a< br>12
；
－－－
(2)(x
m
1
)
2
＝x
2(
m
1)
＝x
2
m
2
；
××
(3)[(2
4
)
3
]
3
＝2
43 3
＝2
36
；
(4)[(m－n)
3
]
4
＝(m－n)
12
.
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，
在幂的 乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
探究点二：幂的乘方的逆用
【类型一】 逆用幂的乘方比较数的大小
－

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北师大版数学七年级下册教案
请看下面的解题过程：比较2
100
与3
75
的大小．
解：∵2< br>100
＝(2
4
)
25
，3
75
＝(33
)
25
，又∵2
4
＝16，3
3
＝27，1 6＜27，∴2
100
＜3
75
.
请你根据上面的解题过程，比较 3
100
与5
60
的大小，并总结本题的解题方法．
解析：首先理 解题意，然后可得3
100
＝(3
5
)
20
，5
6 0
＝(5
3
)
20
，再比较3
5
与5
3< br>的大小，即可
求得答案．
解：∵3
100
＝(3
5
)
20
，5
60
＝(5
3
)
20
，又∵3
5
＝243，5
3
＝125，243＞125，即3
5
＞5
3
，∴3
100
＞5
60
.
方法总结：此题考查 了幂的乘方的性质的应用．注意理解题意，根据题意得到3
100
＝
(3
5< br>)
20
，5
60
＝(5
3
)
20
是 解此题的关键．
【类型二】 逆用幂的乘方求代数式的值
已知2x＋5y－3＝0，求4
x
·32
y
的值．
解析：由2x＋ 5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4
x
·32
y
统一为底数为2的乘方的 形式，最
后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．
＋
解：∵2x＋5y－3＝0， ∴2x＋5y＝3，∴4
x
·32
y
＝2
2
x
·2
5
y
＝2
2
x
5
y
＝2
3
＝8.

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北师大版数学七年级下册教案
方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．
【类型三】 逆用幂的乘方结合方程思想求值
1
＋－
已知2
21
＝8
y
1
，9
y
＝3
x
9
，则代 数式x
3
1
＋y的值为________．
2
解析：由2
21
＝8
y
1
，9
y
＝3
x
＋－
9
得2
21
＝2
3(
y
＋
1)
，3
2
y
＝3
x
9
，则21＝3(y＋1)，2y＝x－9，解
－
11
得x＝21，y＝6，故代数式x＋y＝7＋3＝10.故答案为10.
3 2
方法总结：根据幂的乘方的逆运算进行转化得到x和y的方程组，求出x、y，再计算代
数式 ．
三、板书设计
1．幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
即(a
m
)
n
＝a
mn
(m，n都是正整数)．
2．幂的乘方的运用


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北师大版数学七年级下册教案
幂的乘方公式的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教学，在探究
过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，
获得幂的乘 方运算的感性认识，进而理解运算法则

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北师大版数学七年级下册教案
第2课时 积的乘方

1．掌握积的乘方的运算法则；(重点)
2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．(难点)

一、情境导入
1．教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？
学生积极举手回答：
同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．
二、合作探究
探究点一：积的乘方
【类型一】 直接运用积的乘方法则进行计算

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北师大版数学七年级下册教案
计算：(1)(－5ab)
3;
(2)－(3x
2
y)
2
；
4
(3)(－ab
2
c
3
)
3;
(4)(－x
m
y
3
m
)
2
.
3
解析：直接运用积的乘方法则计算即可．
解：(1)(－5ab)
3＝(－5)
3
a
3
b
3
＝－125a
3
b
3
；
(2)－(3x
2
y)
2
＝－3
2
x
4
y
2
＝－9x
4
y
2
；
4464
(3)(－ab
2
c
3
)
3
＝( －)
3
a
3
b
6
c
9
＝－a
3< br>b
6
c
9
；
3327
(4)(－x
my
3
m
)
2
＝(－1)
2
x
2
m
y
6
m
＝x
2
m
y
6
m.
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数
不要漏乘方．
【类型二】 含积的乘方的混合运算
计算：
(1)(－2a2
)
3
·a
3
＋(－4a)
2
·a
7
－(5a
3
)
3
；
(2)(－a
3
b< br>6
)
2
＋(－a
2
b
4
)
3
.

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北师大版数学七年级下册教案
解析：(1)先进行积的 乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和
幂的乘方，然后合并．
解 ：(1)原式＝－8a
6
·a
3
＋16a
2
·a
7
－125a
9
＝－8a
9
＋16a
9
－125a< br>9
＝－117a
9
；
(2)原式＝a
6
b
12
－a
6
b
12
＝0.
方法总结：先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项．
【类型三】 积的乘方的实际应用
太阳可以近似地看作是球体，如果用
4
V、R分别代表球的体 积和半径，那么V＝πR
3
，太阳的半径约为6×10
5
千米，它的体积大< br>3
约是多少立方千米(π取3)?
4
解析：将R＝6×10
5
千米代入V＝πR
3
，即可求得答案．
3
44
解：∵R＝6×1 0
5
千米，∴V＝πR
3
≈×3×(6×10
5
)
3
≈8.64×10
17
(立方千米)．
33
答：它的体积大约是8.64×10
17
立方千米．
方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．
探究点二：积的乘方的逆用
【类型一】 逆用积的乘方进行简便运算

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北师大版数学七年级下册教案
23
计算：()
2014
×()
2015
.
32
333
解析：将()
2015
转化为()
2014
×，再逆用积的乘方公式进行计 算．
222
2332333
解：原式＝()
2014
×()
2014
×＝(×)
2014
×＝.
3223222
方法总结： 对公式a
n
·b
n
＝(ab)
n
要灵活运用，对于不符合公 式的形式，要通过恒等变
形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算．
【类型二】 逆用积的乘方比较数的大小
试比较大小：2
13
×3
10
与2< br>10
×3
12
.
解：∵2
13
×3
10< br>＝2
3
×(2×3)
10
，2
10
×3
12
＝3
2
×(2×3)
10
，又∵2
3
＜3
2
，∴2
13
×3
10
＜2
10
×
312
.
方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数幂是解答此类问题的关键．
三、板书设计
1．积的乘方法则：
积的乘方等于各因式乘方的积．

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北师大版数学七年级下册教案
即(ab)
n
＝a
n
b
n
(n是正整数)．
2．积的乘方的运用

在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式 展开教学．教师在讲解积的乘方公
式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：a
n
·b
n
＝(ab)
n
，同时教师为了提高学生的
运算速度和应用能 力，也可以补充讲解：当n为奇数时，(－a)
n
＝－a
n
(n为正整数)； 当n为
偶数时，(－a)
n
＝a
n
(n为正整数)

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北师大版数学七年级下册教案
1．3 同底数幂的除法
第1课时 同底数幂的除法

1．理解并掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题；(重点)
2．理解并掌握零次幂和负指数幂的运算性质．(难点)

一、情境导入
一种液体每升含有10
12
个有害细菌，为了试验某种杀菌剂 的效果，科学家们进行了实
验，发现1滴杀菌剂可以杀死10
9
个此种细菌．要将1升 液体中的有害细菌全部杀死，需要
这种杀菌剂多少滴？
二、合作探究
探究点一：同底数幂的除法

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北师大版数学七年级下册教案
【类型一】 直接运用同底数幂的除法进行运算
计算：
(1)(－xy)
13
÷(－xy)
8
；
(2)(x－2y)
3
÷(2y－x)
2
；
(3)(a< br>2
＋1)
7
÷(a
2
＋1)
4
÷(a
2
＋1)
2
.
解析：利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中(1) 应把(－xy)看作一个整体；(2)
把(x－2y)看作一个整体，2y－x＝－(x－2y)；(3 )把(a
2
＋1)看作一个整体．
－
解：(1)(－xy)
13< br>÷(－xy)
8
＝(－xy)
138
＝(－xy)
5
＝－x
5
y
5
；
(2)(x－2y)
3
÷(2y －x)
2
＝(x－2y)
3
÷(x－2y)
2
＝x－2y；
－－
(3)(a
2
＋1)
7
÷(a
2
＋1 )
4
÷(a
2
＋1)
2
＝(a
2
＋1)< br>742
＝(a
2
＋1)
1
＝a
2
＋1.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或可变形为相同，再根据法则
计算．
【类型二】 逆用同底数幂的除法进行计算
已知a
m
＝4，a
n
＝2，a＝3，求a
m
的值．

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－
n
－
1

北师大版数学七年级下册教案
解析：先逆用同底数幂的除法，对a
m
解：∵ a
m
＝4，a
n
＝2，a＝3，∴a
m
－
n
－
1
进行变形，再代入数值进行计算．
－
n
－
1
2
＝a
m
÷a
n
÷a＝4÷2÷3＝.
3
－< br>n
－
1
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出a
m
＝a
m
÷a
n
÷a.
声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话< br>时的声音是50分贝，它表示声音的强度是10
5
，汽车的声音是100分贝，表示声音 的强度
是10
10
，喷气式飞机的声音是150分贝，求：
(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？
(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？
解析：(1)用汽车声音的强度除 以人声音的强度，再利用“同底数幂相除，底数不变，
指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝 数转化为声音的强度，再除以汽车声音的强
度即可得到答案．
－
解：(1)因为10
10
÷10
5
＝10
105
＝10
5
，所 以汽车声音的强度是人声音的强度的10
5
倍；
(2)因为人的声音是50分贝，其 声音的强度是10
5
，汽车的声音是100分贝，其声音的
强度为10
10< br>，所以喷气式飞机的声音是150分贝，其声音的强度为10
15
，所以10
1 5
÷10
10
＝
－
10
1510
＝10
5
，所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的10
5
倍．
方法总结：本题主要考查同底数幂除法的实际应用，熟练掌握其运算性质是解题的关键．
探究点二：零指数幂和负整数指数幂
【类型一】 零指数幂

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北师大版数学七年级下册教案
若(x－6)
0
＝1成立，则x的取值范围是
( )
A．x≥6 B．x≤6
C．x≠6 D．x＝6
解析：∵(x－6)
0
＝1成立，∴x－6≠0，解得x≠6.故选C.
方 法总结：本题考查的是0指数幂成立的条件，非0的数的0次幂等于1，注意0指数
幂的底数不能为0.
【类型二】 比较数的大小
2
－
3
－
若a＝(－)2
，b＝(－1)
1
，c＝(－)
0
，
32
则 a、b、c的大小关系是( )
A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
2
－
393
－
解析：∵a＝(－)
2＝(－)
2
＝，b＝(－1)
1
＝－1，c＝(－)
0
＝1，∴a＞c＞b.故选B.
3242
方法总结：本题的关键是熟悉运算法则，利用计算结 果比较大小．当底数是分数，指数

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北师大版数学七年级下册教案
为负整数时，只要把底数的分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
【类型三】 零指数幂与负整数指数幂中底数的取值范围
若(x－3)
0
－2(3x－6)－
2
有意义，则x的
取值范围是( )
A．x＞3 B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2 D．x＜2
－
解析：根据题意，若( x－3)
0
有意义，则x－3≠0，即x≠3.(3x－6)
2
有意义，则3 x－6≠0，
即x≠2，所以x≠3且x≠2.故选B.
方法总结：任意非0的数的0次幂为1，底数不能为0，负整数指数幂的底数不能为0.
【类型四】 含整数指数幂、零指数幂与绝对值的混合运算
1
－
计算：－ 2
2
＋(－)
2
＋(2015－π)
0
－|2
2< br>π
－|.
2
解析：分别根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值 的性质计算出各数，
再根据实数的运算法则进行计算．

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πππ
1
－
解：－2
2＋(－)
2
＋(2015－π)
0
－|2－|＝－4＋4＋1－2＋＝－ 1.
2222
方法总结：熟练掌握有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质是 解答此
题的关键．
三、板书设计
1．同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
2．零次幂：
任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a
0
＝1(a≠0)．
3．负整数次幂：
1
－
任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂， 等于这个数p次幂的倒数．即a
p
＝
p
a
(a≠0，p是正整数)．

从计算具体问题中的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质．教学时 要
多举几个例子，让学生从中总结出规律，体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力，为以后的
学 习奠定基础

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北师大版数学七年级下册教案
第2课时 用科学记数法表示较小的数

1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；(重点)
2．能将用科学记数法表示的数还原为原数．

一、情境导入
－
同底数幂的除法公式为a
m
÷a
n
＝a
mn
，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于
除数的指数．当被除数的 指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？
二、合作探究
探究点：用科学记数法表示较小的数
【类型一】 用科学记数法表示绝对值小于1的数

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北师大版数学七年级下册教案
2014年6月18日 中商网报道，一种重
量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最 小的机器人，
0.000106用科学记数法可表示为( )
－－
A．1.06×10
4
B．1.06×10
5

－－
C．10.6×10
5
D．106×10
6

－
解析：0.000106＝1.06×10
4
.故选A.
－方法总结：绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10
n
，其中1≤a<10，n为正整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数
由原 数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．
【类型二】 将用科学记数法表示的数还原为原数
用小数表示下列各数：
(1)2×10
7;
(2)3.14×10
5
；
－－
(3)7.08×10
3;
(4)2.17×10
1
.
解析：小数点向左移动相应的位数即可． < br>－－
解：(1)2×10
7
＝0.0000002；(2)3.14×105
＝0.0000314；

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－－

－－
北师大版数学七年级下册教案
(3)7.08×10
3
＝0.00708； (4)2.17×10
1
＝0.217.
－
方法总结：将科学记数法表示的 数a×10
n
还原成通常表示的数，就是把a的小数点向
左移动n位所得到的数．
三、板书设计
用科学记数法表示绝对值小于1的数：
一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10
n
，其中1≤a<10，n是负整数．

从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又 有
学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学
生 学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量

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1．4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘

1．复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；(重点)
2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题．(难点)

一、情境导入
根据乘法的运算律计算：
(1)2x·3y；(2)5a
2
b·(－2ab
2
)．
解：(1)2x·3y＝(2×3)·(x·y)＝6xy；
(2)5a
2
b·(－2ab
2
)＝5×(－2)·(a
2
·a)·(b·b
2< br>)＝－10a
3
b
3
.
观察上述运算，你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？

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二、合作探究
探究点：单项式与单项式相乘
【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法则进行计算
计算：
25
(1)(－a
2
b)·ac
2
；
36
1
(2)(－x
2
y)
3
·3xy
2
·(2xy
2
)
2
；
2
1
(3)－6m
2
n·(x－y)
3
·mn
2
(y－x)
2
.
3
解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．
25255
解：(1)(－a
2
b)·ac
2
＝－×a
3
bc
2
＝－a
3
bc
2
；
36369
113
(2)(－x
2
y)
3
·3xy
2
·(2xy
2
)
2
＝－x
6
y
3
×3xy
2
× 4x
2
y
4
＝－x
9
y
9
；
2 82
11
(3)－6m
2
n·(x－y)
3
·mn
2
(y－x)
2
＝－6×m
3
n
3
(x－y)5
＝－2m
3
n
3
(x－y)
5
.
33
方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意
按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相
乘仍 然成立．
【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合

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已知－2x
3
m
1
y2
n
与7x
5
m
3
y
5
n
＋ －－
4
的积与
x
4
y是同类项，求m
2
＋n的值．
＋－－
解析：根据－2x
3
m
1
y
2
n< br>与7x
5
m
3
y
5
n
4
的积与x< br>4
y是同类项可得出关于m，n的方程组，
进而求出m，n的值，即可得出答案． 解：∵－2x
3
m
1
y
2
n
与7x
5
m
3
y
5
n
＋－－
4

3m＋1 ＋5m－3＝4，

的积与x
4
y是同类项，∴

解得
2n＋5n－4＝1，




3
m＝，< br>4
143
∴m
2
＋n＝.
112
5
n＝，
7
方法总结：掌握单项式乘以单项式的运算法则，再结合同类项，列出二元一次方程组是
解题关键．
【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用
有一块长为xm，宽为ym的长方形空

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33
地，现在要在这块地中规划一块长xm，宽ym的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩
54
下的面积．
解析：先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
3399< br>解：长方形的面积是xym
2
，绿化的面积是x×y＝xy(m
2
)， 则剩下的面积是xy－xy
542020
11
＝xy(m
2
)．
20
方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．
三、板书设计
1．单项式乘以单项式的运算法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂 分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里面含
有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2．单项式乘以单项式的应用

本课时的重点是让学生理解单项式的乘法法 则并能熟练应用．要求学生在乘法的运算律
以及幂的运算律的基础上进行探究．教师在课堂上应该处于引 导位置，鼓励学生“试一试”，
学生通过动手操作，能够更为直接的理解和应用该知识点

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第2课时 单项式与多项式相乘

1．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则；
2．掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用．(重点，难点)

一、情境导入
111
计算：(－12)×(－－)．我们可以根据有理数 乘法的分配律进行计算，那么怎样计算
234
2x·(3x
2
－2x＋1)呢 ？
二、合作探究
探究点：单项式乘以多项式
【类型一】 直接利用单项式乘以多项式法则进行计算

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计算：
21
(1)(ab
2
－2ab)·ab；
32
1
(2)－2x·(x
2
y＋3y－1)．
2
解析：利用单项式乘以多项式法则计算即可．
212111
解：(1)( ab
2
－2ab)·ab＝ab
2
·ab－2ab·ab＝a
2b
3
－a
2
b
2
；
323223
1 1
(2)－2x·(x
2
y＋3y－1)＝－2x·x
2
y＋(－2 x)·3y＋(－2x)·(－1)＝－x
3
y＋(－6xy)＋2x＝－
22
x
3
y－6xy＋2x.
方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多 项式相乘，就是用单项式去乘
多项式的每一项，再把所得的积相加．
【类型二】 单项式与多项式乘法的实际应用
一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底

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1
宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高a米．
2
(1)求防洪堤坝的横断面面积；
(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解析：(1)根据 梯形的面积公式，然后利用单项式乘以多项式的运算法则计算；(2)防洪
堤坝的体积＝梯形面积×坝长 ．
11111
解：(1)防洪堤坝的横断面面积S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a(2a＋ 2b)＝a
2
＋ab(平方
22422
11
米)．故防洪堤坝的横断 面面积为(a
2
＋ab)平方米；
22
11
(2)堤坝的体积V＝ Sl＝(a
2
＋ab)×100＝50a
2
＋50ab(立方米)．故这段防 洪堤坝的体积
22
是(50a
2
＋50ab)立方米．
方法总结： 本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计
算方法，同时掌握单项式乘 以多项式的运算法则是解题的关键．
【类型三】 利用单项式乘以多项式化简求值
先化简 ，再求值：5a(2a
2
－5a＋3)－
2a
2
(5a＋5)＋7a
2
，其中a＝2.
解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同 类项，最后代入已知
的数值计算即可．
解：5a(2a
2
－5a＋3)－2 a
2
(5a＋5)＋7a
2
＝10a
3
－25a
2
＋15a－10a
3
－10a
2
＋7a
2
＝－28 a
2
＋
15a，当a＝2时，原式＝－82.
方法总结：本题考查了整式的 化简求值．在计算时要注意先化简然后再代值计算．整式
的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．
三、板书设计
1．单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
2．单项式与多项式乘法的应用

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本节课在已学过的单项式乘以单项式的基础上，学习单项式乘以多项式．教学中注意 发
挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而提高解题水平

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第3课时 多项式与多项式相乘

1．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重
点)
2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．(难点)

一、情境导入
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加 n米
和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．
学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：
这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米． 另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平
方米，nb 平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．

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由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．
二、合作探究
探究点一：多项式与多项式相乘
【类型一】 直接利用多项式乘多项式法则进行计算
计算：
(1)(3x＋2)(x＋2)；
(2)(4y－1)(5－y)．
解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果．
解：(1)原式＝3x
2
＋6x＋2x＋4＝3x
2
＋8x＋4；
(2)原式＝20y－4y
2
－5＋y＝－4y
2
＋21y－5.
方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项
式相乘， 仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
【类型二】 多项式乘以多项式的混合运算

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计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．
解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
解：(3a＋ 1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a
2
－9a＋2a－3－6a
2＋24a＋5a－20＝22a－23.
方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．




探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用
【类型一】 多项式乘以多项式的化简求值
先化简，再求值：(a－2b)(a
2
＋2ab＋4 b
2
)
－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．
解：(a－2b)(a< br>2
＋2ab＋4b
2
)－a(a－5b)(a＋3b)＝a
3
－8b
3
－(a
2
－5ab)(a＋3b)＝a
3
－8b< br>3
－a
3
－3a
2
b＋5a
2
b＋15ab
2
＝－8b
3
＋2a
2
b＋15ab
2
. 当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.

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方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化 简，再求值，不能先代
值，再计算．
【类型二】 多项式乘以多项式与方程的综合
解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋
4.
解析：方程两边利用多项式乘 以多项式法则计算，移项、合并同类项，将x系数化为1，
即可求出解．
解：去括号后得x< br>2
－5x＋6＝x
2
＋10x＋9＋4，移项、合并同类项得－15x＝7，解 得x＝
7
－.
15
方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答．
【类型三】 多项式乘以多项式的实际应用
千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一
块 长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部
分 )，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求

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北师大版数学七年级下册教案
出当a＝3，b＝2时的绿化面积．

解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案．
解：由题 意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)
2
＝6a
2
＋5ab＋b2
－a
2
－2ab－b
2
＝5a
2
＋3ab( 平方
米)．当a＝3，b＝2时，5a
2
＋3ab＝5×3
2
＋3× 3×2＝63(平方米)，故绿化的面积是63平方
米．
方法总结：掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．
【类型四】 根据多项式乘以多项式求待定系数的值
已知ax
2
＋bx＋1(a≠0)与3x－ 2的积不
含x
2
项，也不含x项，求系数a、b的值．
解析：首先利用多项 式乘法法则计算出(ax
2
＋bx＋1)(3x－2)，再根据积不含x
2
项 ，也不
含x项，可得含x
2
项和含x项的系数等于零，即可求出a与b的值．
解：(ax
2
＋bx＋1)(3x－2)＝3ax
3
－2ax
2< br>＋3bx
2
－2bx＋3x－2.∵积不含x
2
项，也不含x项，3993
∴－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝，a＝，∴系数a、b的值分别是，.
2442
方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再

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根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．




三、板书设计
1．多项式与多项式的乘法法则：
多项式和多项式相乘， 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所
得的积相加．
2．多项式与多项式乘法的应用

本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌 握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与
多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多 项式相乘的法则，教学中一定要
精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础

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1．5 平方差公式

1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点)
2．掌握平方差公式的应用．(重点)

一、情境导入
1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．
学生积极举手回答．
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每 一项分别乘以
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．
二、合作探究
探究点：平方差公式
【类型一】 直接运用平方差公式进行计算

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利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x
2
＋4)．
解析：直接利用平方差公式进行计算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)
2
－5
2
＝9x
2
－25；
(2)(－2a－b )(b－2a)＝(－2a)
2
－b
2
＝4a
2
－b
2
；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)
2
－(8n )
2
＝49m
2
－64n
2
；
(4)(x－2) (x＋2)(x
2
＋4)＝(x
2
－4)(x
2
＋4)＝x
4
－16.
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是 两个二项式相乘，
并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方 减去相
反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
【类型二】 利用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式计算：

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12
(1)20×19； (2)13.2×12.8.
33
1211
解析：(1)把20×19写成(20＋ )×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把
3333
13.2×12.8写成( 13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
1211118
解：( 1)20×19＝(20＋)×(20－)＝20
2
－()
2
＝400－＝3 99；
3333399
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝ 13
2
－0.2
2
＝169－0.04＝168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．
【类型三】 化简求值
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y
＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．
解：( 2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x
2
－y
2
－(4 y
2
－x
2
)＝4x
2
－y
2
－4y2
＋x
2
＝5x
2
－5y
2
.
当x＝ 1，y＝2时，原式＝5×1
2
－5×2
2
＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
【类型四】 平方差公式的几何背景

第 41 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案
如图①，在 边长为a的正方形中剪去一
个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利 用这两幅图形的面积，
可以验证的乘法公式是______________．

1
解析：∵图①中阴影部分的面积是a
2
－b
2
，图②中梯形的面积是 (2a＋2b)(a－b)＝(a＋
2
b)(a－b)，∴a
2
－b
2
＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a
2
－b
2
.
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．
【类型五】 平方差公式的实际应用

第 42 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案
王大伯家把一块边长为a米的正方形
土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把 这块地一边减少4米，另外一边增
加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？
为什么？
解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大
小即可．
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a
2
，改变边长后面积为(a＋4) (a－4)
＝a
2
－16.∵a
2
＞a
2
－16， ∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
三、板书设计
1．平方差公式：
两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a ＋b)(a－b)＝a
2
－b
2
.
2．平方差公式的应用

学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正 确
性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练

第 43 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案
习可以让学生在课后完成

第 44 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案
1．6 完全平方公式

1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算；(重点)
2．灵活运用完全平方公式进行计算．(难点)

一、情境导入
计算：
(1)(x＋1)
2;
(2)(x－1)
2
；
(3)(a＋b)
2;
(4)(a－b)
2
.
由上述计算，你发现了什么结论？
二、合作探究
探究点：完全平方公式
【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算

第 45 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)
2
；
(2)(－3m－4n)
2
；
(3)(－3a＋b)
2
.
解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．
解：(1)(5－a)
2
＝25－10a＋a
2
；
(2) (－3m－4n)
2
＝9m
2
＋24mn＋16n
2
； < br>(3)(－3a＋b)
2
＝9a
2
－6ab＋b
2
.
方法总结：完全平方公式：(a±b)
2
＝a
2
±2ab＋b
2
.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍
中间放”．
【类型二】 利用完全平方公式求字母的值
如果36x
2
＋(m＋1)xy＋25y
2
是一个完
全平方式，求m的值．
解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：∵36x2
＋(m＋1)xy＋25y
2
＝(6x)
2
＋(m＋1)xy ＋(5y)
2
，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1

第 46 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案
＝±60，∴m＝59或－61.
方法总结：两数的 平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积
的2倍的符号，避免漏解．
【类型三】 灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值
若(x＋y)
2
＝9，且(x－y)
2
＝1.
11
(1)求
2
＋
2
的值；
xy
(2)求(x
2
＋1)(y
2
＋1)的值．
解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答
案． 解：(1)∵(x＋y)
2
＝9，(x－y)
2
＝1，∴x
2< br>＋2xy＋y
2
＝9，x
2
－2xy＋y
2
＝1，∴ 4xy＝9－1＝8，
11
x
2
＋y
2
（x＋y）
2
－2xy9－2×2
5
∴xy＝2，∴
2
＋
2
＝
22
＝＝＝；
xyxyx
2
y
2
2
2< br>4
(2)∵(x＋y)
2
＝9，xy＝2，∴(x
2
＋1)( y
2
＋1)＝x
2
y
2
＋y
2
＋x
2
＋1＝x
2
y
2
＋(x＋y)
2
－2xy＋1 ＝2
2
＋9－2×2＋1＝10.
方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时 ，我们可以把它们看作一个整体代入到
需要求值的代数式中，整体求解．
【类型四】 完全平方公式的几何背景

第 47 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案
我们已 经接触了很多代数恒等式，知道
可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以 用来解释(a＋b)
2
－(a－b)
2
＝4ab.那么通过图乙面积的计算， 验证了一个恒等式，此恒等式是( )

A．a
2
－b
2
＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a
2
＋ab－2b
2

C．(a－b)
2
＝a
2
－2ab＋b
2

D．(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2

解析：空白部分的面积为(a－b)
2
，还可以表示为a
2
－2ab＋b< br>2
，所以此等式是(a－b)
2
＝
a
2
－2ab＋b
2
.故选C.
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
【类型五】 与完全平方公式有关的探究问题

第 48 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案
下表为杨辉三角系数表，它的作用是指
导读者按规律写出形如(a＋b)
n
(n为正整 数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填
出(a＋b)
6
展开式中所缺的系 数．

(a＋b)
1
＝a＋b，
(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
，
(a＋b)
3
＝a
3
＋3a
2
b＋3ab
2
＋b
3
，
则(a＋b)
6
＝a
6
＋6a
5
b＋15a
4
b
2
＋________a
3
b
3
＋15a
2
b
4
＋6ab
5
＋b
6
.
解析：由(a＋b)
1
＝a＋b，(a＋b)
2
＝ a
2
＋2ab＋b
2
，(a＋b)
3
＝a
3
＋3a
2
b＋3ab
2
＋b
3
，可得(a
－＋b)
n
的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)
n
1
的相邻两个
系数的和，由此可得(a＋b)
4
的各项系数依次 为1、4、6、4、1；(a＋b)
5
的各项系数依次为1、
5、10、10、5、1 ，因此(a＋b)
6
的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.故填20.
方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．

三、板书设计
1．完全平方公式：

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北师大版数学七年级下册教案
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(a＋ b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
；(a－b)
2＝a
2
－2ab＋b
2
.
2．完全平方公式的应用

本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，
注意不要出现如下错误：(a＋b)
2
＝a
2
＋b
2
，(a －b)
2
＝a
2
－b
2
.为帮助学生记忆完全平方公式，< br>可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题
强化学 生对完全平方公式的理解记忆

第 50 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案
1．7 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式

1．复习单项式乘以单项式的运算，探究单项式除以单项式的运算规律；
2．能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题．(重点，难点)

一、情境导入
填空：
(1)a
m
·a
n＝________；(2)(a
m
)
n
＝________；
＋
(3)a
mn
÷a
n
＝________；(4)a
m n
÷a
n
＝________．
我们已经学习了单项式乘以单项式的运算，今天我们将要学习它的逆运算．
二、合作探究

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北师大版数学七年级下册教案
探究点：单项式除以单项式
【类型一】 直接用单项式除以单项式进行计算
计算：
(1)－x
5
y
13
÷(－xy
8
)；
5
(2)－48a
6
b
5
c÷(24ab
4
)·(－a
5
b
2
)．
6
解析：(1)可直接运用单项 式除以单项式的运算法则进行计算；(2)运算顺序与有理数的
运算顺序相同．
－－
解：(1)－x
5
y
13
÷(－xy
8
)＝x
51
·y
138
＝x
4
y
5
；
55
－＋
5
－＋
(2)－48a
6
b
5
c÷(24ab
4
)·(－a
5
b
2
)＝[(－48)÷24×(－)]a
615
·b
542
·c＝a
10
b
3
c.
663
方法总结：计算单项式除以单项式时应注意商的系数等于被除式的系数除以除式的系数，同时还要注意系数的符号；整式的运算顺序与有理数的运算顺序相同．
【类型二】 已知整式除法的恒等式，求字母的值
若a(x
m
y
4
)
3
÷(3x
2
y
n
)
2
＝4x
2
y
2
，求a、m、

第 52 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案
n的值．
解析：利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可．
解：∵a (x
m
y
4
)
3
÷(3x
2
y
n
)
2
＝4x
2
y
2
，∴ax
3
m
y
12
÷9x
4
y
2
n
＝4x
2
y
2
，∴a÷9＝4，3m－4＝2，12
－2n＝2，解得a＝36，m＝ 2，n＝5.
方法总结：熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键．
【类型三】 整式除法的实际应用
光的速度约为3×10
8
米秒，一颗人 造
地球卫星的速度是8×10
3
米秒，则光的速度是这颗人造地球卫星速度的多少倍？
解析：要求光速是人造地球卫星的速度的倍数，用光速除以人造地球卫星的速度，可转
化为单项 式相除问题．
解：(3×10
8
)÷(8×10
3
)＝(3÷8) ·(10
8
÷10
3
)＝3.75×10
4
.
答：光速是这颗人造地球卫星速度的3.75×10
4
倍．
方法总结：解整 式除法的实际应用题时，应分清何为除式，何为被除式，然后应当单项
式除以单项式法则计算．
三、板书设计
1．单项式除以单项式的运算法则：
单项式相除，把系数、同底数幂 分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数作为商的一个因式．
2．单项式除以单项式的应用

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北师大版数学七年级下册教案

在教学过程中，通过生活中的情景导入，引导学生根据单项式乘以单项式的乘法运算 推
导出其逆运算的规律，在探究的过程中经历数学概念的生成过程，从而加深印象

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北师大版数学七年级下册教案
第2课时 多项式除以单项式

1．复习单项式乘以多项式的运算，探究多项式除以单项式的运算规律；
2．能运用多项式除以单项式进行计算并解决问题．(重点，难点)

一、情境导入
1．计算：
2
(1)－6x
3
y
4
z
2
÷(－x
2
y
2
)；
3
1
(2)9mn÷(－6mn)
2
·(n
2
)；
3
3
(3)6(a－b)
3
c
5
÷[－(a－b)
2
c]·[－2(a－b)
3
c
4
]．
5
2．m(a＋b＋c)＝am＋bm＋cm，(am＋bm＋cm)÷m＝am÷m＋bm÷m＋cm÷m＝a ＋b＋c.
你能根据多项式乘以单项式的运算归纳出多项式除以单项式的运算法则吗？

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北师大版数学七年级下册教案
二、合作探究
探究点：多项式除以单项式
【类型一】 直接利用多项式除以单项式进行计算
计算：(72x
3
y< br>4
－36x
2
y
3
＋9xy
2
)÷(－9x y
2
)．
解析：根据多项式除以单项式，先用多项式的每一项分别除以这个单项式， 然后再把所
得的商相加．
解：原式＝72x
3
y
4
÷(－ 9xy
2
)＋(－36x
2
y
3
)÷(－9xy
2
)＋9xy
2
÷(－9xy
2
)＝－8x
2
y2
＋4xy－1.
方法总结：多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单 项式，然后再把
所得的商相加．
【类型二】 逆用多项式除以单项式求解
已知一 个多项式除以2x
2
，所得的商是
2x
2
＋1，余式是3x－2，请 求出这个多项式．
解析：根据被除式、除式、商式、余式之间的关系解答．
解：根据题意得 2x
2
(2x
2
＋1)＋3x－2＝4x
4
＋2x
2
＋3x－2，则这个多项式为4x
4
＋2x
2
＋3x
－2 .

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北师大版数学七年级下册教案
方法总结：“被除式＝商×除式＋余式”是解题的关键．
【类型三】 运用多项式除以单项式化简求值
先化简，后求值：[2x(x
2
y－xy
2
)＋xy(xy
－x
2
)]÷x
2
y，其中x＝2015 ，y＝2014.
解析：利用去括号法则先去括号，再合并同类项，然后根据除法法则进行化简，最后 把
x与y的值代入计算，即可求出答案．
解：[2x(x
2
y－xy
2
)＋xy(xy－x
2
)]÷x
2
y＝[2x
3
y－2x
2
y
2
＋x
2
y
2
－x
3
y]÷x
2
y＝x－y.当x＝2015，y
＝2014时，原式＝x－ y＝2015－2014＝1.
方法总结：熟练掌握去括号，合并同类项，整式的除法的法则．


三、板书设计
1．多项式除以单项式的运算法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
2．多项式除以单项式的应用


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北师大版数学七年级下册教案
在教学过程中，通过类比单项式除以单项式的学习，引 导学生归纳出多项式除以单项式
的运算法则，通过练习加深学生的理解，并及时反馈信息．教师可引导学 生解决问题，培养
学生的思维能力

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北师大版数学七年级下册教案
2．1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、补角和余角

1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．(重点，难点)

一、情境导入
如图，若把剪刀看成是两条相交的直线构成的，那么形成的角中小于 平角的角有几个，
你能发现它们之间的联系吗？

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北师大版数学七年级下册教案

二、合作探究
探究点一：对顶角及其性质
【类型一】 对顶角的概念
下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是
( )

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北师大版数学七年级下册教案

解析：选项A 中的两个角的顶点没有公共；选项B、D中的两个角的两边没有在互为
反向延长线的两条直线上，只有选 项C中的两个角符合对顶角的定义．故选C.
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
【类型二】 直接运用对顶角的性质求角度
如图，直线AB、CD，EF相交于点O，
∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．

第 61 页 共 241 页

北师大版数学七年级下册教案

解析：结合图 形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”可得∠2的
度数．
解：因为 ∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°
＝7 0°.因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．
方法总结：两条相交直 线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在
图形中正确找到对顶角，利用角的和差及 对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条
件进行转化．
探究点二：补角和余角
【类型一】 利用补角和余角计算求值
已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比
∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
解析：根 据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍
还多30°，从而得到 ∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．
解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B ＝90°.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，
∴设∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30°＝3 x＋30°，∴3x＋30°＋x＝90°，解得x＝15°，故∠B

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北师大版数学七年级下册教案
的度数为15°.
方法总结：此题把角的关系结合方 程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问
题，利用方程来解决．
【类型二】 补角、余角和角平分线的综合计算
如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠
BOC＝90° ，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON
的度数．

解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°.根据角的和差，可得∠AOB ＋
1
∠BOM＝90°.根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB.根据解方程，可得∠ AOB的度
2
数．根据角的和差，可得答案．
解：∵∠AOB与∠COM互补，∴∠ AOB＋∠COM＝180°，即∠AOB＋∠BOM＋∠COB
＝180°.∵∠COB＝90°，∴ ∠AOB＋∠BOM＝90°.∵OM是∠AOB的平分线，∴∠BOM
11
＝∠AOB，即∠ AOB＋∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝
22

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北师大版数学七年级下册教案
11
90°＋60°＝150°.∵ON平分∠AOC 得∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.由角的和差，∴∠
22
BON＝∠AON－∠A OB＝75°－60°＝15°.
方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补 角的性质，角的和
差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．
【类型三】 补角和余角的性质
如图，将一副直角三角尺的直角顶点C
叠放在一起．
(1)如图①，若CE是∠ACD的角平 分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？并简述理
由；
(2)如图②，若∠ECD＝α，C D在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？
并简述理由；
(3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由．

解 析：(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD＝90°，∠ECB＝90°.再根据角平分
线的定 义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可；(2)∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角

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相等”即可得到答案；(3)根据角的和差关系进行等量代换即可．
解：(1)CD是∠EC B的角平分线．理由如下：∵∠ACD＝90°，CE是∠ACD的角平分
线，∴∠ECD＝45°.∵ ∠ECB＝90°，∴∠DCB＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠DCB，
∴CD是∠ECB 的角平分线；
(2)∠ACE＝∠DCB.理由如下：∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠E CD＝α，∴∠ACE
＝90°－α，∠DCB＝90°－α，∴∠ACE＝∠DCB；
(3 )∠ECD＋∠ACB＝180°.理由如下：∠ECD＋∠ACB＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB＝
∠ACD＋∠ECB＝90°＋90°＝180°.
方法总结：此题主要查考了角的计算，关键是根据图形分清角之间的和差关系．
三、板书设计
1．对顶角相等；
2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．

本节课学习了对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角的
特征．对顶角的识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不断进
步

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第2课时 垂 线

1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离；
2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．(重点，难点)

一、情境导入
如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两 条边所在的直线有
什么位置关系？

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二、合作探究
探究点一：垂 线
【类型一】 运用垂线的概念求角度
如图，直线BC与MN相交于点O，AO
⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20° ，求∠AOM和∠NOC的度数．

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解析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角∠COM.由已知∠EON＝20°，结合∠BOE
＝∠NOE，即可求得∠BON.再根据“对顶角相等”即可求得∠COM的度数；要求∠NOC的
度 数，根据邻补角的定义即可．
解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝4 0°，∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40° .∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝
∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
方法总结：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直 线相交所成的四个角中，每一个
角都等于90°；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相 等、余角、补角等知识．
【类型二】 运用垂线的概念判定两直线垂直
如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠
AOB＝∠COD.试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．

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解析：由于O A⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.
又∠AOB＝∠ COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°.再根据垂直的定义，得出
OB⊥OD.
解：OB⊥OD.理由如下：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90° .
因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以OB⊥O D.
方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直
线 相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说
明这两条直线的 夹角等于90°.
探究点二：垂线的性质(垂线段最短)
如图所示，修一条路将A，B两 村庄与
公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．

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解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可． 解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从
A到B， 线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．

方法总结：与垂线段 有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂
线段最短”．
探究点三：点到直线的距离

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如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB
＝5.
(1)试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
(2)点C到直线AB的距离是多少？

解析：(1)点A到直线BC的距离就是线 段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段
BC的长；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到 直线AB的距离就是线段CD的长，可利
用面积求得．
解：(1)点A到直线BC的距离是3；点B到直线AC的距离是4；
11
(2)过 点C作CD⊥AB，垂足为D.S
△
ABC
＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝ 3×4，所以
22
1212
CD＝.所以点C到直线AB的距离为.
55< br>方法总结：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到
直线的距离 ．


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三、板书设计
1．垂线的概念：
两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直 角，就说这两条直线互相垂直，其中
一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．垂线的作法
3．垂线的性质：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

本节课学习了 垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交
线的位置关系，一般都是垂直． 垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保
证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要 让学生理解记忆

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2．2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两条直线平行

1．理解并掌握同位角的概念，能够判定同位角并确定其个数；
2．能够运用同位角相等判定两直线平行；(重点，难点)
3．理解并掌握平行公理及其推论，能够运用其解决实际问题．

一、情境导入
数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？

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以上的图片中都有直线平行，这将是我们这节课学习的内容．
二、合作探究
探究点一：同位角
【类型一】 判断同位角

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下列图形中，∠1和∠2不是同位角的
是( )

解析：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方向，是同
位角，即在图中可找到形如“F”的模型；选项C中，∠1与∠2没有公共直线，不是同位角．故
选C .
方法总结：判断两个角是否是同位角的有效方法——描图法：①把两个角在图中“描画”
出 来；②找到两个角的公共直线；③观察所描的角，判断所属“字母”类型是否为“F”型．
【类型二】 数同位角的个数

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如图，直线 l
1
，l
2
被l
3
所截，则同位角
共有( )



A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：图中同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8共4对．故选D.
方法总结：数同位角的个数时，应从各个方向逐一观察，避免重复或漏数．
探究点二：利用同位角判定两直线平行

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如图，直线AB、CD分别与EF相交于
点G、H， 已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD.

解析：要说明AB∥CD，可转化为说明∠1与其同位角相等，这由∠2的对顶角容易证
出．
解：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，又因为∠2＝70°，所以∠EHD＝70°.因为∠1＝< br>70°，所以∠EHD＝∠1，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
方法总结：本题考查的是平行线的判定，熟知“同位角相等，两直线平行”是解答此题
的关键．
探究点三：平行公理及其推论
【类型一】 应用平行公理及其推论进行判断

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有下列四种说法：
(1)过直线外一点有且只有一 条直线与这条直线平行；(2)同一平面内，过一点能且只能
作一条直线与已知直线垂直；(3)直线外 一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
(4)平行于同一条直线的两条直线平行．其中正确 的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据平行 公理、垂线的性质进行判断．(1)过直线外一点有且只有一条直线与这
条直线平行，正确；(2)同一 平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；(3)
直线外一点与直线上各点连接的所有 线段中，垂线段最短，正确；(4)平行于同一条直线的
两条直线平行，正确．正确的有4个．故答案为 D.
方法总结：平行线公理和垂线的性质两者比较相近，特别注意，对于平行公理中，必须
是 过直线外一点可以作已知直线的平行线，过直线上一点不能做已知直线的平行线．但垂线
的性质中，无论 点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线．
【类型二】 应用平行公理进行推论论证
四条直线a，b，c，d互不重合，如果

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a∥b，b∥c，c∥d，那么直线a，d的位置关系为________．
解析：由于a∥ b，b∥c，根据平行公理的推论得到a∥c，而c∥d，所以a∥d.故答案
为a∥d.
方法总结：平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据．
【类型三】 平行公理推论的实际应用
将一张长方形的硬纸片ABCD对折后
打开，折痕为EF，把长方 形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有
CD∥AB存在，为什么？

解析：根据平行公理的推论得出答案即可．
解：∵CD∥EF，EF∥AB，∴CD∥AB.
方法总结：利用平行公理的推论进行证明时 ，关键是找到与要证两条直线都平行的第三
条直线进行说明．
三、板书设计
1．同位角的概念
2．运用同位角判定两条直线平行：

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两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
3．平行公理及其推论：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．

解决几何题时，重在分析，应结合图形熟识题目给出的已知条件．本节课的易错点是学
生对同位角的识别，对同位角个数的计算，应多加强练习，在不断纠错中提高

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第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行

1．理解并掌握内错角和同旁内角的概念，能够识别内错角和同旁内角；
2．能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．(重点，难点)

一、情境导入
观察下列图形：

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猜想其中任意两条直线的位置关系，想想如何证明你的猜想．
二、合作探究
探究点一：内错角与同旁内角
【类型一】 判断内错角、同旁内角
如图，下列说法错误的是( )



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A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角 < br>解析：根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断．A中∠A与∠B形成“U”型，
是同旁内 角；B中∠3与∠1形成“U”型，是同旁内角；C中∠2与∠3形成“Z”型，是内错
角；D中∠1与 ∠2是邻补角，该选项说法错误．故选D.
方法总结：在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入 手，具有上述关系的角必有
两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所 在的直线即为
被截的线．同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U” 型．
【类型二】 一个角的内错角、同旁内角不唯一的图形问题
如图所示，直线DE与∠ O的两边相交，
则∠O的内错角是________，∠8的同旁内角是________．

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解析：直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角 是∠4和∠7，∠8的同旁内角是∠1
和∠O.故答案为∠4和∠7，∠1和∠O.
易错点拨：找某角的内错角、同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏数．
探究点二：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
【类型一】 内错角相等，两直线平行
如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么
CE∥DF吗？

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解析：要判定CE∥DF，需满足∠ECB＝∠FD A，利用“内错角相等，两直线平行”即
可判定．
解：CE∥DF.理由如下：因为∠ACE ＝∠BDF，又因为∠ACE＋∠ECB＝180°，∠BDF
＋∠FDA＝180°，所以∠ECB＝ ∠FDA(等角的补角相等)，所以CE∥DF(内错角相等，两
直线平行)．
方法总结：综 合运用补角的性质及等量代换，将已知条件转换为内错角相等来判定两条
直线平行，充分运用转化思想．
【类型二】 同旁内角互补，两直线平行
如图，已知点E在AB上，且CE平分
∠ BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC＝90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．

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解析：先根据三角形内角和定理得出∠EDC＋∠E CD＋∠DEC＝180°.再由∠DEC＝
90°得出∠EDC＋∠ECD＝90°.由CE平分∠B CD，DE平分∠ADC，可知∠ADC＋∠BCD
＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，由此可得 出结论．
解：AD∥BC.理由如下：∵∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°，∠DEC＝90 °，∴∠EDC
＋∠ECD＝90°.∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴∠ADC＋∠BCD ＝2(∠EDC＋∠ECD)
＝180°，∴AD∥BC.
方法总结：本题考查的是平行线的 判定，熟知“同旁内角互补，两直线平行”是解答此
题的关键．
【类型三】 灵活运用判定方法判定平行
如图，有以下四个条件：①∠B＋
∠BCD＝180°，②∠1 ＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝5.其中能判定AB∥CD的条件有( )

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A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
①∵∠B＋∠BCD＝180 °，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5 ，∴AB∥CD.∴能得到AB∥CD的条件是①③④.故选C.
方法总结：要判定两直线是否平行， 首先要将题目给出的角转化为这两条直线被第三条
直线所截得的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角 是否满足平行线的判定方法．
【类型四】 平行线的判定的应用
一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，
仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为( )
A．第一次右拐60°，第二次右拐120°
B．第一次右拐60°，第二次右拐60°
C．第一次右拐60°，第二次左拐120°
D．第一次右拐60°，第二次左拐60°
解析：汽车两次拐弯后，行驶的路线与原路线一定不在同一直线上，但方向相同，说明

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这前后路线应该是平行的．如图，如果第一次向右拐，那么第二 次应左拐，两次拐的方向是
相反且角度相等的，两次拐的角度是同位角，所以前后路线平行且行驶方向不 变．故选D.

方法总结：利用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题正确地转化为数学 问题，即
画出示意图或列式表示等，然后再解决数学问题，最后回归实际．
三、板书设计
1．内错角和同旁内角的概念
2．利用内错角、同旁内角判定两直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

平行线的判定是平行线内容的进一步拓展，是进一步学习平行线的有力工具，为学习平
行线的性质、三角 形、四边形等知识打下坚实的基础，在整个初中几何中占有非常重要的作
用，是本章的重难点之一，更在 整个初中教学的数学学习中占有举足轻重的作用．学生已经
学了平行线的定义、平行公理，具备了探究直 线平行的条件的基础，但学生在文字语言、符
号语言和图形语言之间的转换能力比较薄弱，在逻辑思维和 合作交流的意识方面发展不够均
衡

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2．3 平行线的性质

1．理解平行线的性质；(重点)
2．能运用平行线的性质进行推理证明．(重点、难点)

一、情境导入


窗户的内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的
两个角∠1、∠2有什么数量关系？

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二、合作探究
探究点：平行线的性质
【类型一】 两直线平行，同位角相等
如图，直线a，b与直线c，d相交，若
∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是( )

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A．35° B．70° C．90° D．110°
解析：由∠1＝∠2，可根据“同位角相等，两直线平行 ”判断出a∥b，可得∠3＝∠5.
再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．∵∠1＝∠2，∴a∥b ，∴∠3＝∠5.∵∠3＝70°，
∴∠5＝70°，∴∠4＝180°－70°＝110°.故选D.
方法总结：此题主要考查了平行线的判定方法与性质1，关键是掌握平行线的判定定理
与性质定 理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平
行关系来寻找角的数量 关系．
【类型二】 两直线平行，内错角相等
如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那
么∠C为( )

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A．40° B．20° C．60° D．70°
解析：∵∠A＝∠D，∴AB∥CD.∵AB∥CD，∠B＝20°，∴∠C＝∠B＝20°.故选B.
【类型三】 两直线平行，同旁内角互补
如图，已知∠1＝85°，∠2＝95°，∠
4＝125°，则∠3的度数为( )

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A．95° B．85° C．70° D．55°
解析：根据“对顶角相等”得到∠5＝∠1＝85°，再由“同旁内角互补，两直线平行”
得到a∥b，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到结论．如图，∵∠5＝∠1＝
8 5°，∴∠5＋∠2＝85°＋95°＝180°，∴a∥b，∴∠3＋∠4＝180°.∵∠4＝125°，∴ ∠3＝55°.
故选D.
【类型四】 平行线性质的实际应用
一大门的栏杆如图 所示，BA垂直于地
面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度．

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解析：过B作 BF∥AE，则CD∥BF∥AE.根据平行线的性质即可求解．过B作BF∥AE，
则CD∥BF∥A E，∴∠BCD＋∠1＝180°.又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∴∠
ABC ＋∠BCD＝90°＋180°＝270°.故答案为270.
【类型五】 平行线性质与判定中的探究型问题
如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD
之间的两点 ，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；
(2)求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．

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解析：平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．
解：(1)∠AED＝∠BAE＋∠C DE.理由如下：过点E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG
∥CD，∴∠AEG＝∠BAE， ∠DEG＝∠CDE.∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，∴∠AED＝∠BAE
＋∠CDE；
(2)同(1)可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF.∵∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF，∴∠ BAE
333
＋∠CDE＝∠BAF＋∠CDF，∴∠AED＝∠AFD.
222< br>方法总结：无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分
解到简单模 型中，问题便迎刃而解．

三、板书设计
平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．


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平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推 理格式的书写，培养学生的逻辑
思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把 课堂交给学生，让
学生在动口、动手、动脑中学数学

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2．4 用尺规作角

1．理解并掌握尺规作图的相关概念及作法；(重点)
2．能够运用尺规作角，并运用其解决问题．(难点)

一、情境导入
怎样用尺规作一个角等于已知角？
二、合作探究
探究点：用尺规作角
【类型一】 尺规作图的判断

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下列作图属于尺规作图的是( )
A．画线段MN＝3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D．已知∠
α
，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
解析：A.画线段MN＝3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；
B.用量角 器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；C.用三角尺作过点
A垂直于直线l的 直线，三角尺也不在作图工具里，错误；D.正确．故选D.
方法总结：尺规作图的判断方法：看作图 时所使用的作图工具是否为没有刻度的直尺和
圆规，如果作图工具是没有刻度的直尺和圆规，那么就属于 尺规作图，否则就不是尺规作图．
【类型二】 用尺规作一个角等于已知角
如图，已知∠ AOB和射线O′B′，用尺
规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB(要求保留作图痕迹)．

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解析：①以O为圆心，任意长为半径作弧交OA于D ，交OB于C；②以O′为圆心，以
同样长(OC长)为半径作弧，交O′B′于C′；③以C′为圆心 ，CD长为半径作弧交前弧于D′；
④过D′作射线O′A′，∠A′O′B′为所求．
解：如下图所示．

【类型三】 利用尺规作角的和或差

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已知∠AOB，用尺规作图法作
∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB.

解析：先作一个角等于∠AOB，再以这个角的一边为边在其外部作一个角等于∠AOB，
那么图中最 大的角就是所求的角．
解：作法：①作∠DO′B′＝∠AOB；②在∠DO′B′的外部作∠A′O ′D＝∠AOB，∠A′O′
B′就是所求的角(如下图)．

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