厦门二中-三会一课记录

北
师
大
版
九
年
级
数
学
知
识
点
汇
总

第一章
一、平行四边形
特殊平行四边形
1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。
（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。
（4）平行四边形是中心对称图形。
3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、面积：S
平行四边形
=底ⅹ高
二、菱形
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。
（2）菱形的四条边都相等。
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并 且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四
个全等的直角三角形。
（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。
3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）四条边都相等的四边形是菱形。
4、面积：S
菱形
=底ⅹ高；S
菱形
=对角线乘积的一半
三、矩形
1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。
（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。
3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
4、面积：S
矩形
=底ⅹ高
四、正方形
1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。
（2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角
形。
（4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。
3、判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形=菱形+矩形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形。
（4）对角线相等的菱形是正方形。
4、面积：S
正方形
=边长的平方；S
正方形
=对角线乘积的一半
五、中点四边形
1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形
2、中点四边形：一般四边形→平行四边形；平行四边形→平行四边形；菱形→矩形；矩形→菱形；
正方形→正方形。

第二章 一元二次方程
一、定 义
：我们把形如
ax
2
bxco(a,b,c为常数，ao)
的方程，称为一元二次方程。其中
ax
2
，
bx
，
c分别称为二次项，一次项和常数项，
a
，
b
分别称为二次项系数和一次项 系数。
二、解一元二次方程的方法
1、配方法：移项→二次项系数化为1→配方（方程两边 同时加上一次项系数一半的平方）→开平方（有正
负两个结果）→求解→写根。
2、公式法： 化为一般形式（
ax
2
bxco
）→找出
a
，
b
，
c
（记得带上符号）→代入根的判别式
bb
2
 4ac
（
b4ac
）→代入求根公式
x
（
b
2
4ac0
）→求解→写根。
2a
2
3、因式分解法：当一元二 次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。
（1）提公因式法：
acbc0
→
c(ab)0

（2）公式法：①平方差公式：
a
2
b
2
(ab)(ab)

②完全平方公式：
a
2
2abb
2
(ab)
2
（3）十字相乘法：
x
2
(pq)xpq(xp)(xq)
< br>三、一元二次方程根的判别式
：对于一元二次方程
ax
2
bxc o(ao)

（1）当
b
2
4ac0
时，方程有两个不相等的实数根。
（2）当
b
2
4ac0
时，方程有两个相等的实数根。
（3）当
b
2
4ac0
时，方程没有实数根。
四、一元二次方程根与系数之间的关系（韦达定理）
如果方程
ax2
bxco(ao)
有两个实数根
x
1
，
x< br>2
，那么
x
1
x
2

bc
，< br>x
1
x
2


aa
五、应用一元二次方程（1、几何面积问题；2、销售问题）
审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→
检验→作答。

第三章 概率的进一步认识
一、列表法和化树状图法
1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可 能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能
的结果，通常采用列表法。
2、画树 状图法：当一次实验涉及3个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结
果，通常 采用画树状图法。
二、频率估计概率：
一般的，在大量重复实验时，如果事件A发成的频率< br>件A发生的概率
P

A

P























m
稳定于某个常数
P
，那么事
n

第四章 图形的相似
一、成比例线段
1、定义：四条线段
a,b,c,d
中，如果
a
与
b
的比等于
c
与
d
的比，即
做成比例线段，简称比例线段。
2、性质：（1）基本性质：如果
ac

， 那么这四条线段
a,b,c,d
叫
bd
ac

，那么
adbc
；
bd
如果
adbc
a,b,c,d都不等于0
，那么
（2）等比性质：如果
（3）合比性质：如果

ac


bd
ac
bd
ma


nb
ac

=
bd
=
m

bd
n
n
0

，那么
acabcdabcd
，

，那么

bdbdbd
二、平行线分线段成比例
1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例
三、相似多边形
1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比
2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
四、相似三角形
1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
（3）三边成比例的两个三角形相似
3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

五、黄金分割：点
C
把线段
AB
分成两条线段
AC
和
BC

ACBC

，如果
ACBC
，那么称线段

ABAC
AB

被点
C
黄金分割，点
C
叫做线段
AB
的黄金分割点，
AC
与
AB
的比叫做黄金比 ，

即
AC:AB0.618:1

六、位似图形
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点
P
,
P'
所在的直线都经过同一点
O
，且有
OP'
=
kOP

k0

，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点
O
叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描
出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同
一个数
k

k0

，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它
们的相似比为
k

第五章 投影与视图
一、投影
：物体在光线的照射 下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平
面叫做投影面
1、 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下
形成 的影子就是中心投影
2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形 成的影子（简称日影）
就是平行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影
二、三视图
1、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图
2、三视图概念：（1）主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高
（2）左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽
（3）俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽
3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正
（2）主视图和左视图的高平齐
（3）左视图和俯视图的宽相等

第六章 反比例函数
一、定义
：一般的，形如
y< br>k
k为常数，k0

的函数，叫做反比例函数。其中
x
是自 变量，
y
是函数。

x
自变量
x
的取值范围是不等于0的一切实数
二、表达式
：1、
y
三、图象与性质
k
； 2、
ykx
1
； 3、
xyk

x
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
函数
k

图象 所在象限
第一、 三象限
增减性
在同一象限内，
y
随
x
的增大而减小
k0

k

x

k为常数，k0


y


x,y同号


第二、 四象限
k0

在同一象限内，
y
随
x
的增大而增大

x,y异号



k
越大，函数图象越远离坐标原点
3、反比例 函数比例系数
k
的几何意义
如图，在反比例函数
y
k
上任取一点
P

x,y

，过这一点分别作
x
轴，
y
轴
x
的垂线
PE
，
PF
与坐标轴围成的矩形
PEOF
的面积
Sxyk

4、对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线
yx
和直线
yx

第七章 直角三角形的边角关系
一、锐角三角函数
在
RtABC
中，

C

90

，则
A
的三角函数为

正弦
余弦
正切
定 义
A的对边
斜边

A的邻边
cosA
斜边

sinA
tanA
A的对边
A的邻边

B
斜边
c
A
b
邻边
a
对
边

C
关 系

表达式
a
sinA
c

cosA
tanA
b
c

a
b

b
取值范围
0sinA1

(∠A为锐角)
0cosA1

(∠A为锐角)
sinAcosB

cosAsinB

sin
2
Acos
2
A1

tanA0

(∠A为锐角)
tanA
1

tanB
二、特殊角的三角函数值
三角函数

sin


cos


30°

1
2
45°

2
2
60°

3
2

1
2







tan


3
2
3
3
2
2
1

3

三、解直角三角形
1、直角三角形的边角关系：（1）两锐角关系：
AB90

（ 2）三边关系：
a
2
b
2
c
2
（勾股定理）
（3）边角关系：
sin
A
cos
B

tan
A
2、解直角三角形的类型和解法
已知条件
已知一直角边和一个锐角
图形
B
斜边
c
A
b

邻边
解法
ab
，
cosAsinB

cc
ab
，
tanB

ba

a,A


已知斜边和一个锐角
B9 0A,c
aa
,b或bc
2
a
2

sinAtanA



c,A


已知两直角边

a,b


已知斜边和一条直角边
22

B90A,acsinA,bc cosA或bca
a
对
边



C
b
ca
2
b
2
,由tanA
bc
2
a
2
,由sinA
a
求A,B90A

b
a
求A,B90A

c

c,a


第八章 二次函数
一、概念
：一般的，若两个变量
x
，
y
之间的对应关系可以 表示成
yax
2
bxc

a,b,c是常数,ao

的形式，则称
y
是
x
的二次函数，其中，
x
是自 变量，
a,b,c
分别是函数解析式的二次项系数、
一次项系数和常数项
二、二次函数图象及其性质
1、图像与性质
函数
ya
xh

k

a,h,k为常数,a0


2
yax
2
bxc

a,b,c是常数,ao


a0

a0

a0

图象
a0


开口
方向
对称轴
开口向上
直线
xh

开口向下

开口向上

开口向下

直线
x
b

2a
b时，
y
随
2a
当
xh
时，
y
随的< br>x
增大而减小；
当
xh
时，
y
随
x
增减性
的增大而增大
性
质
b
时，
y
随
当xh
时，
y
随
x
当
x
2a
的增 大而增大；
的
x
增大而减小；
当
xh
时，
y
随的
b
当
x
时，
y
随
x
增大 而减小；
2a

x
的增大而增大
当
x
x
的增大而增大；
b
当
x
时，
y
随
2a
的
x
增大而减小；

a 0
时，在对称轴左侧，
y
随
x
的增大而减小，在对称轴右侧，
y
随
x
的增大而增大；
a0
时，在对称轴左侧，
y< br>随
x
的增大而增大，在对称轴右侧，
y
随
x
的增大而 减小
顶点

h,k


抛物线有最低点，抛物线有最高 点，
当
xh
时，
y
有最
大值

b4acb
2


,


2a4a

抛物线有最低点，当抛物线有最高点，当
最值
当
xh
时，
y
有最
小值，
x
小值
b
时，
y
有最
2a
x
大值
b
时，
y
有最
2a
y
最小值
k


y
最大值
k

y
最小值
4acb
2


4a
y
最大值
4acb
2


4a

2、抛物线与
a,b,c
的关系
决定抛物线开口方向
决定抛物线开口大小
决定抛物线对称轴位置，
a0
，抛物线开口向上；
a0
，抛物线开口向下
a
越大，开口越小
b0
，对称轴为
y
轴；
ab0
，对称轴在
y
轴左侧； 同号在左，
a

a,b

对称轴为直线
x
b

2a
ab0
，对称轴在
y
轴右侧 异号在右
c0
，抛物线过原点；
c0
，抛物线与
y
轴交于正半轴；
c0
，抛物线与
y
轴交于负半轴
b
2
4ac0
时，与
x
轴有两个交点；
c

决定抛物线与
y
轴的交点位置
b
2
4ac

a,b,c

决定抛物线与
x
轴的交点
b
2
4ac0
时，与
x
轴有一个交点；
b
2
4ac0
时，与
x
轴没有交点

b4acb
2


,


决定顶点位置
4a

2a

b4acb
2< br>
,
顶点坐标为




4a

2a
三、二次函数表达式的确定。
确定二次函数表示的方法仍是待定系数法，有以下三 种方法：
1、一般式：若已知抛物线过三点，一般设函数表达式为
yax
2
bxc

ao


2、顶点式：若已知抛物线的顶点是
h,k

，可设函数表达式为
ya

xh

k

a0


2
3、交点式：若已知抛物 线与
x
轴两个交点

x
1
,0

，

x
2
,0

，可设函数表达式
ya

xx
1

xx
2

a0


四、二次函数的平移规律
移动方向
向左平移
m
个单位
向右平移
m
个单位
向上平移
m
个单位
向下平移
m
个单位
注意
平移前的表达式 平移后的表达式 简记
左加
右减
上加
下减
ya

xh

k

ya

xh

k

ya

xh

k

ya

xh

k

2
2
2
2
ya

xhm

k

ya

xhm

k

ya

xh

km

ya

xh

km

2
2
2
2
平移之前函数表达式必须先化为顶点式
五、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数
yax
2
bx c

ao

的图象与
x
轴的交点有三种情况：有两个交点 ；有一个交点；没有交
点，当图象与
x
轴有交点时，令
y0
，解方 程
ax
2
bxc0
就可以求出与
x
轴交点的横坐标
b
2
4ac

ax
2
bxc0
的根
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
抛物线
yax
2
bxc
与
x
轴的交点
两个交点
一个交点
没有交点
0

0

0

第九章 圆
一、圆的有关概念和性质
1、圆的基本概念：
（1）圆：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点是圆心，定长是半径
（2）弦、直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧
（4）等圆、等弧：能够重合的圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧
（5）圆心角：顶点在圆心，端点在圆上的角叫做圆心角
（6）圆周角：定点和端点都在圆上的角叫做圆周角
2、圆的性质
（1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心是
圆心
（2）把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得到的图形都与原图形重合
（3）过不在同一直线上的三个点确定一个圆
二、与圆有关的定理和推论

文字语言 图形
E
F
O
D
A
C
几何语言


在同圆或等圆中，
1、圆心角相等：
AOBDOE

2、弧相等：
ABDE

3、弦相等：
ABDE
B
圆
心
角
︑
弧
︑
弦
之
间的
关
系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆
心角所对的弧相等，所对的弦也相等

推论：在同圆或等圆中，如果两个
圆心角，两条弧，两条弦中
有一组相等，那么它们所对
应的其余各组量都分别相等

以上条件知其中一个可得其二

定理：圆周角的度数等于它所对的
弧的圆心角度数的一半




推论1：同弧或等弧所对的圆周角
相等
B
D
B
O
C


AOB
是
AB
所对的圆心角，
A
C
是
AB
所对的圆周角，
1

CAOB

2



C
O
A
C
和
D
都是
AB
所对的圆周角

CD

圆
周
角
定
理



推论2：直径所对的圆周角是直
角，
90
的圆周角所对的
弦是直径




推论3：圆的内接四边形对角互补
B
A
E
C
AB
是
O
的直径
C
是
AB
所对的圆周角

C90

A
垂
径
定
理
三、与圆有关的位置关系
1、点与圆、直线与圆的位置关系

文字语言

图形 几何语言
设
O
的半径为
r
，点到圆心的距离为
d
，
A
r
B
d
C
点
与
圆
的
位
置
关
系


B
O

C
是
AB
所对的圆周角

C90


AB
是
O
的直径
D
C


四边形
ABCD
是
O
的内接四边形

BD180


BADC180


CDAE


定理：垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧

推论：平分弦（不是直径）的直径
垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧
< br>C
B
O
E
D
A
AB
是
O
的 直径，
ABCD


CEDE
，
BCBD
，
ACAD


AB
是
O
的直径，
CEDE


ABCD
于点
E


BCBD
，
ACAD

则有:
d
O
点在圆外
点在圆上
点在园内
点
A
在圆外
dr

点
B
在圆上
dr

点
C
在圆外
dr

相交：直线和圆有
设
O
的半径为
r
，圆心
O
到直线
l
的距离为
d

则有：


直线
l
和
O
相交
dr




直线
l
和
O
相切
dr

d =r
直
线
与
圆
的
位
置
关
系
两个公共点

相切：直线和圆只
有一个公共
点

相离：直线和圆没
有公共点
r
r
d

2、切线的性质与判定
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
（3）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（4）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
3、三角形和圆




三角形外接圆
定义
经过三角形的三
个顶点可以作一
个圆，这个圆叫
做三角形的外接



三角形内切圆
圆

与三角形各边都
相切的圆叫做三
角形的内切圆
外心、内心
外接圆 的圆心是
三角形三条边的
垂直平分线的交
点，叫做三角形
的外心
内 切圆的圆心是
三角形三个内角
的角平分线的交
点，叫做三角形
的内心

三角形的内心到
三角形三边的距
离相等

性质

三角形的外心到
三角形三个顶点
的距离相等

图形

d


直线
l
和
O
相离
dr

四、与圆有关的计算
1、弧长和扇形面积
圆的周长 圆的弧长 圆的面积 扇形面积
A
C2

r

l
n

r

180
S

r
2

S
n

r1
rl

3602
2
r

O
n

S
l
l

r
为圆的半径；
n
为弧所对的圆 心角的度数；
l
为扇形的弧长
2、正多边形和圆
（1）正多边形的有关计算
中心角 边心距 周长
2
B

面积
360

n

a

rR
2




2

lna

S
1
rl

2
A
O
B
n
为边数；
r
为边心距；
R
为半径；
a
为边长
（2）正多边形每个内角度数为
3、圆锥的有关计算
底面圆面积 地面圆周长 圆锥的高 侧面积 体积


n2

180
n
，每个 外角度数为
360

n
B1
S

r

2
C2

r

hl
2
r
2

n

l
2
1
S
侧
lC

3602
1
V

r
2
h

3< br>A
O
R
C
r
B
l
为母线长；
r为底面圆半径；
h
为圆锥的高；
n
为侧面展开后圆心角度数