17．（1）设
A

x4x2

，
Bxx2或x4
（2）设集合
M

x1x2

，
N

xxk3

，若
MN

．求
k
的 取值范围．

．求
AB
，
AB
，
(
C
R

B
)
A
．
二、 求函数值域
求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量
求 定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往
往需 要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们
在后续 的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。
一、 基本知识
1． 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2． 函数值域常见的求解思路：
⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵．反解函数，将 自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不
等式即可获解。
⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数
yf(x)
看作是关 于自变量
x
的方程，
y
0
，
y
0
对应的自 变量
x
0
一定为方程
yf(x)
在定义域中的一个解，即方程yf(x)
在定义域内有解；另一方面，若
y
取某值
y
0，方程
yf(x)
在定义域内有解
x
0
，则
y
0
一定为
x
0
对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x
的方程
yf(x)
在定义域内有
在值域中任取一个值
解的< br>y
得取值范围。
特别地，若函数可看成关于
x
的一元二次 方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，
利用判别式求出函数的值域。
⑷．可以用函数的单调性求值域。
⑸．其他。
3． 函数值域的求法
在以上求解思路的引导下，又要注意以下的常见求法和技巧：
⑴．观察法；⑵．最值法；⑶． 判别式法；⑷．反函数法；⑸．换元法；⑹．复合函数法；⑺．利用基
本不等式法；⑻．利用函数的单调 性；⑼．利用三角函数的有界性；⑽．图象法；⑾．配方法；⑿．构
造法。
二、 举例说明
⑴．观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
例1：求函数
例2：求函数
yx1x1,

x≥1

的值域。


2,
yx
2
6x10
的值域。

1,




⑵．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

1

y2
x
，
x

2,2

的值域。

,4



4

73

2
例4：求函数
y2x5x6
的值域。

,


8

例3：求函数
⑶．判别式法：通过二次方程的判别式求值域的方法。
例5：求函数
y
2x1

1

的值域。
,1,


2

x2x2
< br>2

2x3
3x2
的值
⑷．反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。
2

2

,,


3

3

axb

d

a

a

例7：求函数
y
，

c0,x

的值域。

,



,


cxd

c

c

c

例6：求函数
y
⑸．换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式来求值域 的方法。
例8：求函数
1

yx12x
的值域。

,


2


⑹．复合函数 法：对函数
而求出
yf(u),ug(x)
，先求
ug(x)
的值域充当
yf(u)
的定义域，从
yf(u)
的值域的方法。
例9：求函数

49

ylog
1
(2 x
2
5x3)
的值域。

,



8

2
yx
1
x
的值域。

,2



2,


⑺．利用基本不等式求值域：
例10：求函数
例11：求函数
y2x
1
(x0)
的值域。

3,


x
2
⑻．利用函数的单调性：
例12：求函数
提示：
y
yx1x1
的值域。
2
，
x≥1，∴
x1,
x1x1
x1
都是增函数，故
yx1 x1
1
时，
y
max
2
，又∵
y0，∴
y0,2

。

例13：求函数
yx12x
的值域。
是减函数，因此当
x
略解：易知定义域为

1

,


2

，而
yx12x
在
1

,
< br>
2

上均为增函数，∴
111
1

y≤ 12
，故
y


,


2 22
2

⑼．利用三角函数的有解性：
2cosx1
1

的值域。

,

3,



3cosx 2
5

2sinx

1

例15：求函数
y
的值域。
,3



2sinx

3

例14：求函数
y
⑽．图象法：如果可能做出函数的图象，可根据图象直观地得出函数的值域 （求某些分段函数的值域常
用此方法）。
例16：求函数
yx3x1
的值域。

4,4


求函数值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法 分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。
要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技 能技巧。
⑾．配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。
例17：求函数
解：由
x
2
yx
2
x2
的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
x2≥0
,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时
19

9

x
2
x2(x)
2

0,


24

4

3

3

2
∴
0≤xx2≤
,函数的值域是
0,
。

2

2

⑿．构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例18：求函数
yx4x5x4x8
的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为
22
f(x)(x2)
2
1(x2)
2
2
2

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK =
x
,则EK=2
x
,KF=2
x
,AK=
( x2)
2
2
2
,

KC=
(x2)
2
1
。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
三、 函数的单调性和奇偶性
f(x)x
2
2(a1)x2
在
(,4]
上是减函数，求a的取值范围。
3
[例2] 判断函数
f(x)xa
（
aR
）在R上的单调性
[例3 ] 已知函数
f(x)
，
g(x)
在R上是增函数，求证：
f[g( x)]
在R上也是增函数。
1
[例4] 求函数
yx
的单调区间
x
[例1] 如果函数
[例5] 判断下列函数是否具有奇偶性
（1）
（2）
（3）
（4）
f(x) (1x)
3
3(1x
2
)2

f(x)x
2
3

f(x)1xx1

f(x)x
2
11x
2

1x
（5）
f(x)(x1)

1x
[例6] 函 数
f(x)
在
(,)
上为奇函数，且当
x(,0]< br>时，
f(x)x(x1)
，则当
x(0,)
时，求
f(x)
的解析式。
2
[例7] 设
f(x)
为奇函数，且在定 义域
(1,1)
上为减函数，求满足
f(1a)f(1a)0
的实
数a的取值范围。
[例8] 设
式
f(x)
是定义在
(0 ,)
上的增函数，
f(2)1
且
f(xy)f(x)f(y)，求满足不等
f(x)f(x3)2
的
x
的取值范围。
四、 指数函数
1
x
－2
x
例1 求函数
y
＝()的单调增区间和单调减区间．
2
2
1
x< br>－2
x
1
解：令
y
＝
f
(
x
)＝()，则函数
f
(
x
)可以看作函数
y
＝()
t
与函数
t
＝
x
2
－2
x
的复合函数．
22
1
因为
y
＝()
t
在(－∞，＋∞)上是减函 数，
2
函数
t
＝
x
2
－2
x
＝ (
x
－1)
2
－1在(－∞，1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上单调增 函数，
2
1
x
－2
x
所以函数
f
(x
)＝()的单调增区间是(－∞，1]；单调减区间是[1，＋∞)．
2
注： (1)利用复合函数的方法确定函数单调性的关键是弄清已知函数是由哪几个基本函数的复合而成的．
(2)复合函数单调性的判定的结论：同增异减．当然这一结论解决填空题或选择题时，直接使用，如果
是解答题，必需使用函数单调性的定义进行证明．
2
1
x
－2
x< br>(3)本题可进一步研究：函数
f
(
x
)＝()的值域如何求？
2
由上面的结论可知：
t
＝
x
2
－2
x
＝(
x
－1)
2
－1≥－1，
所以0＜
f
(
x
)≤2，当且仅当
x
＝1时，
f
(
x
)＝2，
2
1
x
－2
x
因此，函数
f
(
x
)＝()的值域为(0，2]．
2
2
1
x
－ 2
x
注意：必须注意
f
(
x
)＝()＞0．
2
例2 判断函数
f
(
x
)＝
a
x＋
a
－
x
(
a
＞0，且
a
≠1)的奇 偶性，并证明之．
解 函数
f
(
x
)的定义域是R．
2

由于对定义域内任意
x
，都有
f
(－< br>x
)＝
a
－
x
＋
a
x
＝
f
(
x
)，
所以函数
f
(
x
)＝
a
x
＋
a
－
x
是偶函数．
解：(1)因为对人任意
x
∈R，3
x
＋1≠0，
所以函数
f
(
x
)的定义域是R．
3
x
－
12
(2)因为
y
＝
f
(
x
)＝
x
＝1－
x

3
+
13
+
1
2
设
t
＝3
x
，则
y
＝
g
(
t
)＝1－(
t
＞0)．
t+
1
设0＜
t
1
＜
t
2
，则
y
1
y＝g(t)(t＞0)
2
－
2
＝2(
t
1
－t
2
)
＜0，
(
t1
+
1)(
t
2
+
1)
y
1
－
y
2
＝
t
2
+
1
t
1
+
1
O
1
x
所以函数
y
＝
g
(
t
)是(0，＋∞)上的增函数．
2
所以
y
＞1－＝－1．
0
+
1
所以< br>f
(
x
)的值域是(－1，＋∞)．
注意：可画出函数
y< br>＝
g
(
t
)(
t
＞0)的图象，由图象得
y
＞－1．
3
x
－
12
(安排此问题是为了让学生通过x
，1－
x
这两个形式之间的转化，为下面两个函数的性质做铺垫)
3
+
13
+
1
x
3
－
12
(3) 提问：计算
f
(－
x
)应该用
x
，1－
x
哪一种形式计算更为方便呢？
3
+
13
+
1
对于任意x
∈R，都有

3
－
x
－
11－3
x
3
x
－
1
f
(－
x
)＝

－
x
＝＝－
x
＝－
f
(
x
)，
3
+
11＋3
x
3
+
1
x
3－
1
所以
f
(
x
)＝
x
是奇函数．
3
+
1
3
x
－
12
(4)提问：计算f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)应 该用
x
，1－
x
哪一种形式计算更为方便呢？
3
+13
+
1
对于R上任意两个值
x
1
，
x
2
，设
x
1
＜
x
2
，
22
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＝(1－ )－(1－)
3＋1
＝
2
x
1
3＋1
x
2
3＋13＋1(3＋1)(3＋1)
因为
x
1
＜
x
2
，
y
＝3
x
是单调增函数，
所以3＜3，所以3－3＜0．
又因为 3＋1＞0，3＋1＞0，
所以
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＜0，
即
f
(
x
1
)＜
f
(< br>x
2
)，
3
x
－
1
所以
f
(
x
)＝
x
是R上的单调增函数．
3
+
1a
x
－
1
总结对于
f
(
x
)＝
x
(
a
＞0，且
a
≠1)的单调性和奇偶性的研究，应该具体问题 具体分析．
a+
1
x
2
－
2
x
1
＝
2(3－3)
x
1
x
2
x
1
x
1
x
2
，
x
1
x
2
x
1x
2
x
2
第五讲 巧解y=f(ax+b)函数的解析式和定义域 有很多同学在求复合函数的解析式和函数的定义域时，有时感觉步骤太多，不愿求，或很容易求错。现
在介绍一种简便的方法供同学们参考。
一、 求复合函数的解析式
1、 已知f(2x－1)=3x
2
-4x+3,求f(x+3)的解析式
一般的方法是先利用换元法求出f(x)的解析式，再利用f(x)的解析式求f(x+3)的解析式。
t1t1t13
2
17
,所以f(t)=3()-4·+3=
tt
,
424
222
3173
22
f(x+3)=< br>(x3)(x3)
=
x4x7

4244
解：设2x-1=t,则x=
2

巧解：令2x-1=t+3,则x=
所以f(x+3)=
2、 已知 f(
t4t4t43
2
,所以f(t+3)=3()-4·+3=
t 4t7

2224
2
3
2
x4x7

4
3
2
7
t

22
12x
)=5-3x,求f(x+1)的函数解析式
1t
2
1t
2
解：设
12x
=t,所以x=(t>0),f(t)= 5-3·
22
37
2
f(x+1)=
(x1)
(x>-1)
22
练习：(1)已知：f(3x+8)=3x
2
+6x+9 ,求f(1-3x)的函数解析式
（2）已知f(
3x4
)=9x+8,求f(3x-8)的函数解析式
二、求函数的定义域
1、已知函数y=f(
=
5x3
) 的定义域为（3，13），求y=f(3x－8)的定义域
2
5x314
x1 3
，所以函数f(3x-8)<31,所以6<3x-8<31,解得
23
学生对这样 的题，关键在定义域的定义理解错误，造成解题错误，很多同学以为定义域指的是3x－8的
取值范围， 根据函数的定义域的概念：是使函数有意义的x的值范围，所以这题正确解法如下：
一般解法：解：依 题意3的定义域为｛x|
14
x13
｝.
3
5x36t136t1314
t13
巧解：令=3t－8,
x< br>,因为32553
14
x13
｝ f(3x-8)的定义域为｛x|
3
62x
练习：（1）已知y=f()的定义域为 （3，8），求y=f(8x－3)的定义域。
3

，所以函数
六、 指数,对数函数
1．(2005广东)函数
1e
lg(4x)
2.（2 007上海理）函数
y
的定义域是
x3
3.（2007全国Ⅰ文、理）函数y=f(x)的图像与函数y=log
3< br>x(x>0)的图像关于直线y=x对称，
则f(x)=
4．(2005江西理、文)若函数
f(x)
1
x
的定义域是 ．
f(x)log
a
(xx
2
2a
2
)< br>是奇函数，则a= ．
x
2
2axa
5.（2007重庆理）若函数f(x) =
21
的定义域为R，则a的取值范围为
6．（2007江西理） 设函数y＝4＋log
2
(x－1)(x≥3)，则其反函数的定义域为
7．（2004湖南文科）若直线y=2a与函数y=|a
x
-1|(a>0,且a≠ 1)的图象有两个公共点，
则a的取值范围是

2
x
,x

-,1

1
8.（2001上海理科）设函数f(x)=

，则满足f(x)=
4

log
81
x,x(1,)
的x值为____________.

七、 关于函数的对称性和周期性
函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函 数，首看定义域、值域，然后
就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察 函数的对称性、周期性以及它们
之间的联系，2005年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。 下面我们就一些常见的性质进行研究。
一、函数的对称性
1、函数
（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）
2、函数
ab
对称。
2
ab
证明：在函数
y f(x)
上任取一点（x
1
，y
1
），则
y
1< br>f(x
1
)
，点（x
1
，y
1
）关于直线
x
的
2
对称点（，），当时，
xabx
1
ab
1
x
y
1
，故点（，
f(a
1
b)x[f(a)b]
1
x[f()
1
b
y
]x(
a
b
bx
1
）也在函数
1
ab< br>对称。
yf(x)
图象上。由于点（x
1
，y
1
）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线
x
2
yf(x)
满足< br>f(ax)f(bx)
时，函数
yf(x)
的图象关于直线
x 
yf(x)
满足
f(ax)f(bx)c
时，函数
y f(x)
的图象关于点（
f)xy
ab
c
，）对称。
2
2
ab
c
证明：在函数
yf(x)
上任取一点（x1
，y
1
），则
y
1
f(x
1
)< br>，点（x
1
，y
1
）关于点 （，）
2
2的对称点（
ab
1
，
x
c－y
1
），当< br>xabx
1
时，
即点（
abx
1
，c－ y
1
）在函数
yf(x)
f(abx
1
)cf[ b(bx
1
)]cf(x
1
)cy
1
，
的图象上。由于点（x
1
，y
1
）为函数
yf(x)
图 象上的任意一点可知，函数
yf(x)
的图象关于点
ab
c
（， ）对称。
2
2
yf(ax)
的图象与
yf(bx)
的图象关于直线
x
（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）
3、函数
ba
对称。
2
ba
2
证明：在函数 ，则
y
1
f(ax
1
)
，点（x
1
， y
1
）关于直线
x
yf(ax)
上任取一点（x
1< br>，y
1
）
对称点（
bax
。由于
f[b(b ax
1
)]f[bbax
1
]f(ax
1
) y
1
，故点
1
，y
1
）
（
bax< br>1
，y
1
）在函数
yf(bx)
上。由点（x
1
，y
1
）是函数
yf(ax)
图象上任一点，因此
y f(ax)
与
yf(bx)
关于直线
x
二、周期性
1、一般地，对于函数
ba
对称。
2
f(x)
，如果存 在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(xT)f(x)
，那么函 数
f(x)
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
2、对于非零常数A ，若函数
yf(x)
满足
f(xA)f(x)
，则函数
y f(x)
必有一个周期为2A。
证明：
f(x2A)f[x(xA)] f(xA)[f(x)]f(x)

∴函数
yf(x)
的一个周期为2A。
1
3、对于非零常数A， 函数
yf(x)
满足
f(xA)
，则函数
yf(x)
的一个周期为2A。
f(x)
证明：略。
4、对于非零常数A，函数
y f(x)
满足
f(x)
1
，则函数
yf(x)
的一 个周期为2A。
f(x)
证明：略。
三、对称性和周期性之间的联系
1 、函数
yf(x)
有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间 距离的两倍必是函

数的一个周期。
已知：函数
yf(x)
满足
是周期函数。
证明：∵
f( ax)
，求证：函数
yf(x)f(ax)f(ax)
，
f(b x)f(bx)
（a≠b）
f(ax)
得
f(x)f(2ax)

f(bx)f(bx)
得
f(x)f(2bx)

∴
f(2ax)f(2bx)

∴
f(x)f(2b2ax)

∴函数
yf(x)
是周期函数，且
2b2a
是一个周期。 2、函数
yf(x)
满足
f(ax)f(ax)c
和
f(bx)f(bx)c
（a≠b）时，函数
yf(x)
是周期函数。 < br>（函数
yf(x)
图象有两个对称中心（a，
距离的两倍，是函数的一个周期 。）
证明：由
f(ax)f(ax)c

cc
）、（b， ）时，函数
yf(x)
是周期函数，且对称中心
22
f(x)f(2a x)c


f(bx)f(bx)

c
f(x)f(2bx)

c
得
f(2ax)f(2bx)

得
f(x)f(2b2ax)

∴函数
yf(x)
是以2b－2a为周期的函数。
3、函数
yf(x)
有一个对称中心（a，c）和一个对称轴
xb
）（a≠b）时，该函数也是周期函数 ，且一
个周期是
4(ba)
。
证明：略。
四、知识运用 2005高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的12题是一个错题。
现一并录陈如下，供大家参考。
1、（2005·福建理）
f(x)
是定义 在R上的以3为周期的奇函数，且
f(2)0
，则方程
f(x)0
在区间
（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：
f(x)
是R上的奇函数，则
f(0)0
，由
f(x3)f(x)
得
f(3)0
，
f(2)0f(5)0< br>
f(2)0
f(1)0f(1)0
∴
f(4)0

∴x=1，2，3，4，5时，
f(x)0

这是答案中的五个解。
但是
f(15
0f(15)f
)f(15f3

f(15)f
又
(
知
f(15)0
而
(153f)(4

x1.5,x4.5,f(x)0
也成立，可知：在（0，6）内的解的 知
个数的最小值为7。
2、（2005·广东 19）设函数
f(x)
在（

，

）上满足
f(2x)f(2x)
，
f(7x)f(7x)
，
且在闭区间[0，7]上，只有
f(1)f(3) 0
。
⑴试判断函数
yf(x)
的奇偶性；
⑵试求方程
f(x)0
在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。
解：⑴ 由
f(2x)f(2x)
，
f(7x)f(7x)
得函数
yf(x)
的对称轴为
x2
，
x7
。由
前面的知识 可知函数的一个周期为T=10。
yf(x)
在[0，7]上只有
f(1)f(3)0

0
可知
f(0)
，
f(7)0

又
f(3)0且,f(3)f(310f)

(
∴
f(7)0

0
而
f(7)
且
f(7)0
，则
f(7)f(7)
，
f(7)f (7)

因此，函数
yf(x)
既不是奇函数，也不是偶函数。
⑵由
f(3)f(1)0
，可得
f(11)f(13)f(7)f(9 )0

故函数
yf(x)
在[0，10]和[－10，0]上均有两个解 ，满足
f(x)0
；从而可知函数
yf(x)
在[0，2005]
上有402个解，在[－2005，0]上有400个解。所以，函数
yf(x)
在[－2 005，2005]上共有802个解。
因为函数

八、 函数问题中的易错点

函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题，就是“数学建模”，它是解决数学 应用题的重
要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事实不符”和“时 间间隔计算出错”
四种解题误区，下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行分析：
一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错
例1、某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面 积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，
长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为 每米400元，中间两条隔壁建造
单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽 略不计，且池
无盖）（1）、写出总造价
y
（元）与污水处理池长
x
（米）的函数关系式，并指
出其定义域.
（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
错解：（1）污水处理池的长为
x
米，则宽为

200
米，总造价
x
y400(2x2
=
800( x
200200
)248280200

xx
324
)16000(0x16)

x
3243 24
)1600080023241600044800
，当且仅当
x< br>（2）
y800(x
，即
xx
x32418


最低造价为44800元.
错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列 的式子也正确，但是定义域
0x16
是不严
格的，应由已知条件进一步缩小范围：
12.5x16
.第（2）问中应用不等式解最值时忽视等号成立的
条件为
x18
，但在定义域内取不到18，所以应根据函数的单调性进行分析求解.
32420 0
)16000,16,x12.5
，则定义域为

12.5,1 6

正解：（1）
y800(x
xx
（2）长和宽分别为16 米，
12.5
米时，总造价最低且为45000元.
二、由于对实际问题理解不全面而致错
例2、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交 通部门规定，在此路段内的车速
v
（单
位：
km小时
）的平方和车身 长（单位：
m
）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.
假定车身长为
l
（单位：
m
），且当车速为
50(km小时)
时，车距恰 为车身长，问交通繁忙时应规定怎
样的车速，才能在此路段的车流量
Q
最大？
车速

车流量=


车距+车身长

错解：
dkv
2
l
，将
v50,dl
代入得
k
11
2
vl
，
d
25002500
，又 将
d
1
l
代入得
2
v252
，由题意得
d
1
2
vl(v252)
，
2500
1000v1 000v
1
(v252)


将
Q
，1v
v
2
dl
l
l()
l2
1

v
l(1)
v2500
2500
v2500
25000
当且仅当v50时,Q
max


l
综上所知：
v50(kmh)时,车流量Q取
取最大值.
< br>错因分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求不低于
252< br>
kmh

，所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数.


1
l (v252)


2
正解：依题意，得
d

，
1

v
2
l (v252)


2500

1000v

3l
(v252)

1 000v

2
则
Q
，显然，当
v252
时，< br>Q
是
v
的增函数，


dl

1 000v
(v252)

v
2
l(1)

25 00

1000v500002
，
v252
时，
Q< br>max

3
3l
l
2
1
当
v2 52
时，

，当且仅当
v50
时，

1vl
l()
l2
1

v
v2500
v250 0
25000
Q
max

，综上所述，当
v50(kmh )
时车流量Q取到最大值.
l
三、结果与事实不符而致错
例3、WAP手 机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟），按30元计费；超过500分钟的部
分按0. 15分钟计费。假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包
括1分钟）按0.5元分钟计费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。
（1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式；
（2）12月小王WAP上网使用量为20小时，要付多少钱？
（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
错解：1）设上 网时间为
x
分钟，由已知条件所付费用
y
关于
x
的函数关系 式为
（2）当
x20601200
分钟，
x500
，应付
y0.151200180
元，
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为600分钟。 < br>错解分析：此题错解主要是对“超过500分钟的部分按0.15分钟计费”中的“超过部分”理解出错，
产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了1200分钟的网，要180元，是30元包月用500 分钟的6
倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第（3）小题，用了90元，几乎是30元的3倍， 而可上网时间
才多了100分钟，与事实不符.
正解：（1）设上网时间为
x
分钟，由已知条件所付费用
y
关于
x
的函数关系式为


0,0x1

0.5x,1x60

y

30,60x500


300.15(x500),x5 00
（2）当
x20601200
分钟，
x500
，应付< br>y300.15(1200500)135
元，
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为900分钟。
四、时间间隔计算出错
例4、某工厂转换机制，在两年内生产值的月增长率都是
a< br>，则这两年内第二年某月的产值比第一年
相应月产值的增长率是多少？
错解：设第一年 某月的产值为
b
，则第二年相应月的产值是
b(1a)
，依题意所求增长率 是
11
b(1a)
11
b
(1a)
11
 1
.
b
错解分析：对于增长率问题，主要是应用公式
时间的间隔数. yN(1p)
x
，对于
x
往往指基数所在时间后跨过

正解：不妨设第一年2月份的产值为
b
，则3月份的产值为
b(1a)，4月份的产值为
b(1a)
，
依次类推，到第二年2月份是第一年2月份后的 第12个月，即一个时间间隔是一个月，这里跨过了12个
月，故第二年2月份产值是
b(1 a)
，又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相
12
2
b(1a)
12
b
应月的增长率为：
(1a)
12
1
.
b
函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤，注意避免进入 以上两个误区.具体的解题
步骤一般有“审题”、“建模”、“求模”、“还原”四步，审题：弄清题意 ，分清条件结论，理顺数量关系；
建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 求模：求解数学模型，得到数学结
论；还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
变式练习题
1、已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米小时的速度从A到达 B地，在B地停留1小
时后再以50千米小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离
x
表示为时间
t
的函数，表达式为
解析 ：由A到B共用时
150602.5
，停留1小时距离不变，由B返回时距离逐渐减小，< br>
60t (0t2.5)

x

150 (2.5

15050(t3.5) (3.5
2、某种产品每件80元可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件， 如果售出件数是定
价的一次函数，则这个函数解析式为

x80

x120
或

，设一次函数为
yk xm
，

y30

y20
1

1< br>
k
则有
30k80m;20120km,

4
，因此一次函数为
yx50
.另因
y0
，则
4< br>
m50

1
x200
，又
x0
，因 此可得
0x200
，即有
yx50
，
x
0,200

.
4
解析：设售出件数为
y
件，定价为
x
元，则有

3、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间， 又原路返回b千米(0再前进c千米，则此人离起点的距离y与时间x的关系示意图是( )．


解析：观察排除法.因“前进了a千米后休息了一段时间”， 排除A；接着“又原路返回b千米(0再排除B，D，应选C
4、开始时水桶 甲中有
16
升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，
t
分钟后剩余的水 符合指数衰
减曲线，假设经过
2
分钟时水桶甲和水桶乙的水量相等，那么经过多少分钟
y16e
kt
（
k
是正常数）
时水桶甲的水剩余2升 ？
解析：由题意，当
t2
时，
y8
，即
816e
k2
，故
e
k

kt
1
2
，
t
1
t
1
1
1
1
)
，< br>()
2
()
3
，
t6
设经过
t
分钟时水桶甲的水剩余2升，则
216e
，
(
28
23
答：经过6分钟时水桶甲的水剩余2升

习题答案
一、集合
1、12 2、
m5
或
m7
或
m(26,26)

3、126 4、[1,3] 5、[0,1] 6、14
7.a≤1 解析：因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。
81U{
则
A{1,2,3,4,5,6,7,8}
，
1,3,5,7} ,

2,4,8

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法 ：
{3,6,9},B
所以
AB{1,3,5,7,9}
，所以
ð
U
(AB){2,4,8}

9.（0，3）解析：因为
A 

x|3x3

,B

x|x0
< br>,
所以
AIB(0,3)

10. a≤1 解析：因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。
11.6 解析：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题
的能力. 属于创新题型. 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与
k
相邻的元素，因而无“ 孤立
元”是指在集合中有与
k
相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合 题意的集合是：
6个.
,2,3,

4

,3,4,6, 5,

6,7,8

1,2,3

5

,4,5,

7,6,

共
AB{1,2,3,4,5 ,6,7,8,9}
AC
U
B{1,3,5,7,9}
B{2,4,6 ,8}

13． 解：（1）当
a
＝2时，
A
＝（2，7） ，
B
＝（4，5）∴
A

B
＝（4，5）．
12.{2，4，6，8} 解析：
U
（2）∵
B
＝（2
a
，
a
2
＋1），
1
时，
A
＝（3
a
＋1，2）
3
< br>2a3a1
要使
B

A
，必须

2，此时
a
＝－1；
a12

1
当
a< br>＝时，
A
＝

，使
B

A
的
a
不存在；
3
1
当
a
＞时，
A
＝（ 2，3
a
＋1）
3

2a2
要使
B

A
，必须

2
，此时1≤
a
≤3．

a13a1
当
a
＜
14．（1）因为
综上可知，使< br>B

A
的实数
a
的取值范围为[1，3]∪{－1} ABAB
，此时当且仅当
AB
，又因为
B{2,3}
，由韦达定理可得
a5
和
a
2
196
同时成立，即< br>a5
；
（2）由于
B{2,3}
，
C{4，2}< br>，因为
AB

，且
AC

，故只可能3A
，所以
a
2
3a100
，也即
a5
或
a2
，由（1）可得
a2
；
2
（3）因为
ABAC

，此时只可能2
A
，有
a2a150
，也即
a5
或
a3
，
由（1）可得
a3
．
15.
由题意:A={1,3}
，
ABABA< br>，又因为
B{x|(x1)(x(a1))0}

B{1,a1}或B{1}.(a2时)

1,a1

时，有
a13
，即
a4
；
B

1
时，
a2
； 当
B


ACCCA

2
当
C

时,C中方程无根，即
m402m2
;
1
，有
1m10
即
m2
； 当
C

时，若
C

1010

1

3< br>
，有
93m10
即
m
；检验当
m
时，
C

3,

，不 若
C

33

3

10
满足
ACC
，故
m舍去
3



1,3

时，
m
无解
由上述得：
a4
或
a2
；
2m2
．
16. (Ⅰ)⑴
A


xx2k1,kN,k5



1,3,5,7,9,11
1


若< br>C
⑵
⑶
⑷
A
2


xx2k,k N,k5



0,2,4,6,8,10

； A
4


(x,y)xy6,xN,yN



(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)

A
3
xx4k1,或x4k1,kN,k3

1,1 ,3,5,7,9,11,13

；

（Ⅱ）对集合
A
1
，
A
2
，
A
3
，如果使k

Z ,那么
A
1
、
A
3
所表示的集合都是奇数集；
A
2
所表示的集合都是偶数集；
A
1
A
3
． 17．（1）画数轴可知
因为
C
R
B

x2x 4

，所以
(C
R
B)

A

x2x2


（2）要使
MN

，则有< br>k31
，即
k4
．
二、函数的单调性和奇偶性
[例1] 解：对称轴
x1a
，由
1a4
得
a3

AB

x4x2

，
ABxx2或x4
，
0
4
[例2]解：设
x
1
、
x
2
x
2
0(1)

3322

f(x
2
)f(x
1
)(x
2
a)(x1
a)(x
1
x
2
)(x
1
x
1
x
2
x
2
)
22
当
x
1< br>x
2
0
时，
x
1
x
1
x
2
x
2
0

当
x
1
x
2< br>0
时，
x
1
和
x
2
中必有之一不为0（∵
x
1
x
2
）
22
∴
x
1< br>x
1
x
2
x
2
0

222< br>当
x
1
x
2
0
时，
x
1
x
1
x
2
x
2
(x
1
x
2
)x
1
x
2
0

在上面讨论结合（1）和（ 2）有
f(x
2
)f(x
1
)0

∴ 函数在R上是减函数
R
且
x
1


x
2
则
x
1
(2)

[例3 ] 证：任 取
x
1
，
x
2
R
且
x
1
x
2
则因为
g(x)
在R上是增函数
所以
g(x
1
)g(x
2
)
又 ∵
f(x)
在R上是增函数
∴
f[g(x
1
)]f[g(x
2
)]
∴
f[g(x)]
在R上是增函数
结论：同增异减：
yf(u)
与
ug(x)
增减性相同（反），函数
yf[g(x)]
是增（减）函数。
[例4] 解：首先确定义域：
任取
x
1
、
x
2< br>则

xx0

∴ 在
(,0)
和
(0,)
两个区间上分别讨论

(0,)
且
x
1
x
2

xx< br>2
11
f(x
2
)f(x
1
)x
2x
1
(x
2
x
1
)
1
x
2
x
1
x
1
x
2
1
(x
2
x
1
)(1)

x
1
x
2

要确定此式的正负只要确定
1
1
x
1
x
的正负即可
2
这样，又需判断
1
x
大于1还是小于1，由于
x
1
x
2
的任意性。
1
x
2
考虑到要 将
(0,)
分为
(0,1)
与
(1,)

（1）当
x,x
1
12
(0,1)
时，
1
x< br>0
∴
f(x
2
)f(x
1
)0
为减函数
1
x
2
（2）当
x
,
x)
时，1
1
12
(1,
x
0
∴
f(x
2
)f(x)0
为增函数
1
x
2
同理（3）当
x
1
,x
2
(1,0)
时，为减 函数
（4）当
x
1
,x
2
(,1)
时， 为增函数
[例5] 注：对于定义域内的任意一个
x
，都有
f(x)f (x)
成立，则称
yf(x)
为偶函数。
对于定义域内的任意一 个
x
，都有
f(x)f(x)
成立，则称
yf(x)
为奇函数。
解：（1）函数与定义域为R

f(x)(1 x)
3
3(1x
2
)2x
3
3x


f(x)x
3
3xf(x)
∴
f(x)
为奇函数
（2）函数的定义域为R
22
又 ∵
f(x)(x)
3
x
3
f(x)
∴
f(x)
为偶函数
（3）函数的定义域为

1
∴
f(x)
为非奇非偶函数
（4）函数的定义域为

1,1< br>
，此时
f(x)0
∴
f(x)
既是奇函数又是偶函数
（5）由
1x
1x
 0
得
1x1
，知定义域关于原点不对称
∴
f(x)
既不是奇函数也不是偶函数
[例6] 解：设
x(0,)
则
x(,0)
∴
f(x)(x)(x1)x(x1)

又 ∵
f(x)
在R上为奇函数 ∴
f(x)f(x)x(x1)

∴ 当
x(0,)
时，
f(x)x(x1)
∴
f(x)x(x1)

[例7] 解：由
f(x)
为奇函数知 ：
f(1a)f(1a
2
)f[(1a
2
)]f( a
2
1)

由
f(x)
是减函数知：
1aa
2
1


11a
∴

1

11a
2
1
解得
0a1



1aa
2
1
[例8] 解：
f(x)f(x3)f(x
2
3x)

又
22f(2)f(2)f(2)f(4)

∴
f(x)f(x3)2
化为
f(x
2
3x)f(4)


x
2
∴

3x4

x0
解得
3x4



x30
六、指数,对数函数
1．

,0

2．

,3

(3,4)
3．
3
x
4．
2
2
5．

1,0

6．

5,

7．


1


0,
2

 8． 3

高一数学必修一总复习北师大版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
必修一总复习
［本讲的主要内容］
1、集合及其基本运算
2、函数的概念及其基本性质
3、二次函数与幂、指、对数函数
4、函数的应用

二、学习目标 1、了解集合语言是现代数学语言的重要组成部分，可以简洁、准确地表述数学对象和结
构；学会运 用集合等数学语言来刻画世界和运用数学语言学习数学、进行交流的能力；
2、加深对函数概念本质的 认识和理解；加强对变量数学的认识，认识到函数是描述客观
世界变化规律的重要数学模型；并能结合实 际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方
法，了解指数函数、对数函数和幂函数是三类不同的函数 增长模型；通过收集函数的应用实
例，了解函数模型的广泛应用。

三、知识要点
1、集合的概念与基本运算
①一组对象的全体形成一个集合；常用大写拉丁字母来标记，如集合M，集合A„„
②集合中 的元素有三大特征，即无序性、确定性和互异性，这是判断集合形成和区分集
合的重要依据；
③集合的表示：穷举法、描述法和图示法
④集合的运算：指的是子、交、并、补四种运算，其结果仍然是一个集合；
ABxA ,都有xB
CA

BC{x|xA且xB}
CA
< br>BC{x|xA或xB}
MC
U
AM{x|xU且xA}< br>
⑤以下题型的结果要用集合表述：求定义域、求值域、求不等式的解集、求方程（组）
的解集以及集合运算的结果等。
2、函数的概念与基本性质
①函数概念的三种表述：运动的观念，集合的观念，映射的观念；
②函数的两大要素：定义域和对应法则；
③函数的三种表示方法：解析法，列表法和图像法；
④函数的两大重要性质：奇偶性和单调性；
⑤对分段函数、复合函数的认识。
3、二次函数与幂、指、对数函数
①二次函数学习中的几个要点：二次函数解析式的三种形式 ；二次函数的图像的开口方
向、位置、零点及最值与系数的关系；含参数的二次函数的研究（参数分别在 函数式中和定
义区间中）；三个二次的关系；
②幂函数学习中的要点：幂函数的定义；幂函数 的图像与性质；在同一坐标系中不同指

数的幂函数的图像的位置关系；
③指数 函数学习中的要点：指数式的运算；指数函数的定义；指数函数的图像与性质；
在同一坐标系中不同底的 指数函数图像的位置关系；
④对数函数学习中的要点：对数式的运算；对数函数的定义；对数函数的图 像与性质；
在同一坐标系中不同底的对数函数图像的位置关系；对数函数与指数函数互为反函数的关系。
4、函数的应用：函数的应用主要包括两种类型，其一是函数与方程思想在解题中的综合应用；其二是函数模型在解决实际问题中的应用，常见的有效益最大化和成本最低问题。

四、考点解析与典型例题
考点一 对集合概念的考查
例1. 试写出如图阴影部分所表示的集合

① ②
解：各阴影部分的表示方法均不唯一。
② [C
∪
（A∩B∩C）]∩（A∪B∪C）
③A∪（B∩C）

考点二 对集合运算的考查
例2. 试写出下列集合运算的结果

 
①.A{x|6x6},B

x|k

xk

,kZ

,A

B?
44
②.A{x|1x6},B

x|x5或x0

,A
B?
③
① [（A∩B）∩C
∪
C]∪[（A∩C ）∩C
∪
B]∪[（B∩C）∩C
∪
A]
③.A{x|4x6或x3},C
R
A?
解：


3

5

5

3

7< br>
7


①.A

B

x| x或x或x或6x或x6

44444444

②.A

BR
③.C
R
A{x|x3或3x4或x 6}

考点三 对函数概念的考查

ax
2
bxc
2
,ad
2
0
的函数值域时，可以先将该函数式变形为一例3. 求形如
y
2
dxexf
个关于x的一元二次方程，然后再令判别式0
即可求出该函数的值域。试说明为什么会
有
0
？