初一周记怎么写-赣江职业技术学院

初中数学试卷

金戈铁骑整理制作
北师大版数学九年级上册第一章
第三节正方形的性质与判定课时练习
一、单选题（共15题）
1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
答案：C
解析：解答：解：
A.
不正确，菱形的对角线不相等；

B.
不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；

C.
正确，三者均具有此性质；

D.
不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；

故选
C
．

分析
:
对菱形对角线相互垂直平分，矩 形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等
的性质进行分析从而得到其共有的性质
< br>2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE=DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（ ）

A．AE=BF B．AE⊥BF
C．AO=OE D．S
△
AOB
=S
四边形
DEOF

答案：C
解析：解答
: A.
∵在正方形
ABCD
中，

∴
AB=BC=CD=AD
，

又∵
CE=DF
，

∴
AF=DE
，

∵∠
D=
∠
BAF=90
°，

∴△
BAF
≌△
ADE
，

∴
AE=BF
，

故此选项正确；

B.
∵△
BAF
≌△
ADE
，

∴∠
BFA=
∠
AED
，

∵∠
AED+
∠
EAD=90
°，

∴∠
BFA+
∠
EAD=90
°，

∴∠
AOF=90
°，

∴
AE
⊥
BF
，

故此选项正确；

C.
连接
BE
，

假设
AO=OE
，

∵
BF
⊥
AE
，

∴∠
AOB=
∠
BOE=90
°，

∵
BO=BO
，

∴△
ABO
≌△
EBO
，

∴
AB=BE
，

又∵
AB=BC
，

BC
＜
BE
，

∴
AB
不可能等于
BE
，

∴假设
AO= OE
，不成立，即
AO
≠
OE
，

故此选项错误；

D.
∵△
BAF
≌△
ADE
，

∴
S
△
BAF
=S
△
ADE
，

∴
S
△
BAF
-S
△
AOF
=S
△
ADE
-S
△
AOF
，

∴
S
△
AOB
=S
四边形
DEOF
，故此选项正确．

故选
C
．

分析
:
首先利用全等三角形的判定方 法利用
SAS
证明△
BAF
≌△
ADE
，即可得出
AE=BF
，进
而得出∠
BFA+
∠
EAD=90
°，即< br>AE
⊥
BF
，用反证法证明
AO
≠
EO
，利 用三角形全等即面积
相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出
D
正确

3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）

A．四条边相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
答案：D
解析：解答
:
正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂 直平分
且相等，并且每一条对角线平分一组对角；


菱形的性质：菱形的四 条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
因此正方形具有而菱形不一定具有的 性质是：对角线相等；

故选：
D
．

分析
:
根据正方形和菱形的性质容易得出结论

4.如图，正方形ABCD的对角线BD长为 2
2
，若直线l满足：（1）点D到直线l的距离
为1，（2）A、C两点到直线l的 距离相等，则符合题意的直线l的条数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
答案:D
解析：解答
:
连接
AC
与
BD
相交于
O
，

∵正方形
ABCD
的对角线
BD长为
2
2
∴
OD=
2

∴直线
l∥
AC
并且到
D
的距离为
1
，

同理，在点
D
的另一侧还有直线满足条件，

故共有
4
条直线
l
．

故选：
D
．

分析
:
连接
AC
与
BD
相交于
O
，根据正方形的性质求出
OD=
2
，然后根据点到直线的距
离和平行线间的距离相等解答

5.若正方形的周长为40，则其对角线长为（ ）
A．100 B．20
2
C．10
2
D．10
答案:C
解析：解答: ∵正方形的周长为40，
∴正方形的边长为10，
∴对角线长为10
2

故选C．
分析: 根据正方形的周长，可将正方形的边长求出，进而可将正方形对角线的长求出．

6.已 知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，
则 OE的长为（ ）

A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
答案:B
解析：解答
:
∵四边形
ABCD
是正方形，

∴
AD=AB=8cm
，
OA=OC
，

∵
OE
∥
AB
，

∴
OE
是△
ABC
的中位线，

∴
OE=
1
AB=4cm
，

2
故选
B
．

分析
:
根据正方形的性质得 出
AD=AB=8
，
AO=OC
，由
OE
∥
AB< br>，得出
OE
是△
ABC
的中位线
解答即可

7. 如图，点E在正方形ABCD的边AD上，已知AE=7，CE=13，则阴影部分的面积是（ ）

A．114 B．124 C．134 D．144
答案:A
解析：解答：∵四边形
ABCD
是正方形，

∴∠
D=90
°，
AB=BC=AD
，

设
AB=BC=AD=x
，

则
DE=x-7
，

222
∵
CD+DE=CE
，

2
∴
x+
（
x-7
）
2=132
，

解得：
x=12
，或
x=-5
（不合题意，舍去），

∴
BC=AB=12
，

∴阴影部分的面积
=
故选：
A
．

分析
:
本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及梯形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，
并能进行 推理计算是解决问题的关键

8.如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为（ ）
11
（
AE+BC
）•
AB=
×（
7+12
）×
12=114
；

22

A．30° B．22.5° C．15° D．45°
答案:B
解析：解答
:
∵正方形
ABCD
，

∴
BC=CD
，∠
DBC=
∠
BDC=45
°，

∵
BE=BC
，

∴∠
BEC=
∠
BCE=67.5
°，

∴∠DCE=
∠
BCD-
∠
BCE=90
°
-67.5°
=22.5
°，

故选
B
．

分析
:
由正方形的性质得到
BC=CD
，∠
DBC=∠
BDC=45
°，根据
BE=BC
，根据三角形的内
角和定理 求出∠
BEC=
∠
BCE=67.5
°，根据∠
DCE=
∠
BCD-
∠
BCE
即可求出答案．

9.如图，在正方形A BCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE交AD于点F，则∠DFE的
度数为（ ）

A．45° B．55° C．60° D．75°
答案:D
解析：解答
:
∵四边形
ABCD
是正方形，

∴
AB=AD
，∠
BAS=90
°，

∵△
AED
是等边三角形，

∴∠
AED=
∠
EAD=60
°，
AE=AD
，

∴∠
BAE=150
°，
AB=AE
，

∴∠ABE=
∠
AEB=
1
（
180
°
-150< br>°）
=15
°，

2
∴∠
DFE=
∠
AFB=90
°
-15
°
=75
°，

故选
D
．

分析
:
根据正方形的性质得出
AB=AD
，∠
BAS=90
°，根据等边三角形的性质得出∠
AED=< br>∠
EAD=60
°，
AE=AD
，求出∠
BAE=150°，
AB=AE
，∠
ABE=
∠
AEB=15
°，求出 ∠
AFB
即
可

10.在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P 点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三
角形，那么这样的P点有（ ）
A．5个 B．12个 C．9个 D．15个
答案:B
解析：解答
:
在四条 边垂直平分线上的点，与相邻的两个点连成一个等边三角形，共有
8
个
点；

在两条对角线上的点，与相对的两个点连成一个等边三角形，共有
4
个点；

共有
8+4=12
个点满足条件．

故选：
B
．

分析
:
在四条边垂直平分线上，每 一条可以找到两个点，与相邻的两个点连成一个等边三角
形，共有
8
个点；在两条对角 线上，每一条可以找出
2
个点，与相对的两个点连成一个等边
三角形，共有
4
个点；由此得出共有
8+4=12
个点满足条件

11.如图，正方 形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结
论：
①GM⊥CM；
②CD=CM；
③四边形MFCG为等腰梯形；
④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

答案:A
解析：解答
:
∵由已知，
AG
∥
FC
且
AG=FC
，

故四边形
AGCF
为平行四边形，

∴∠
GAF=
∠
FCG
又
AE=BF
，
AD=AB
，且∠
DAE =
∠
ABF
，

可知∠
ADE=
∠
BAF
∴
DE
⊥
AF
，
DE
⊥
CG
．< br>
又∵
G
点为中点，∴
GN
为△
ADM
的中 位线，即
CG
为
DM
的垂直平分线，

可证
CD= CM
，∴∠
CDG=
∠
CMG
，即
GM
⊥
CM
．

又∠
MGN=
∠
DGC=
∠
DA F
（外角等于内对角），∴∠
FCG=
∠
MGC
．

故选
A
．

分析
:
要证以上问题，需证
C N
是
DN
是垂直平分线，即证
N
点是
DM
中点，利 用中位线定
理即可

12.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上 ，且BF=CE，连结BE、AF相交
于点G，则下列结论：①BE=AF；②∠DAF=∠BEC；③ ∠AFB+∠BEC=90°；④AF⊥BE中
正确的有（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④
答案:D
解析：解答
:
∵四边形
ABCD
是正方形，

∴∠
ABF=
∠< br>C=90
°，
AB=BC
，

∵
BF=CE
，

∴△
ABF
≌△
BCE
．

∴
AF=BE
．（①正确）

∠
BAF=
∠
CBE
，∠
BFA=
∠
BEC
，（③错误）

∵ ∠
BAF+
∠
DAF=90
°，∠
BAF+
∠
BF A=90
°，

∴∠
DAF=
∠
BEC
．（②正确）

∵∠
BAF=
∠
CBE
，∠
BAF+
∠
AFB=90
°，

∴∠
CBE+
∠
AFB=90
°，

∴
AF
⊥
BE
．（④正确）

所以正确的是①②④．

故选
D
．

分析
:
分析图形，根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解

13.如图，正方形ABCD的对角线BD长为2
2
，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为
3
②A、C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
答案:B
解析：如图，连接
AC
与
BD
相交于
O
，


∵正方形
ABCD
的对角线
BD
长为
2
2

∴
OD=
2

∴直线
l
∥
AC
并 且到
D
的距离为
3

同理，在点
D
的另一侧还有一条直线满足条件，

故共有
2
条直线
l
．

故选：
B
．

分析
:
连接
AC
与
BD
相交于
O
，根据正方形的性质求出
OD=
2
，然后根据点到直线的距
离和平行线间的距离相等解答．

14.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
答案:A
解析：解答：A.对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；
B.对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；

C.对角线相等是矩形和正方形具有的性质；
D.对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．
故选：A．
分析:本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断
15.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（ ）
A．35° B
．
45° C．55° D．60°

答案:B
解析：解答：∵四边形
ABCD
是正方形，

∴
AB=AD
，∠
BAD=90
°，

∵
AE=AB
，

∴
AE=AB=AD
，

∴∠
ABE=
∠
AEB
，∠
AED=
∠
A DE
，∠
ABE+
∠
AEB+
∠
BAE=180
° ，∠
AED+
∠
ADE+
∠
DAE=180
°，

∵∠
BAE+
∠
DAE=
∠
BAD=90
°，
∴∠
ABE+
∠
AEB+
∠
AED+
∠ADE=270
°，

∴∠
AEB+
∠
AED=135
°，

即∠
BED=135
°，

∴∠
BEF=180
°
-135
°
=45
°．

故选：
B
．

分析
:
由正方形的性质得出
AB=AD
，∠
BAD=90
°，再根据等腰三角形的性质得出∠
ABE=
∠
AEB
，∠
AED=
∠
ADE
，然后由三角形内 角和定理求出∠
AEB+
∠
AED=135
°，即可得出∠
BEF
二、填空题（共5题）
16.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：_________，可使它成为正方形

答案: AB=AD

解析：解答
:
∵四边形
ABCD
是矩形，

∴当
AB=AD
或< br>AC
⊥
BD
时，矩形
ABCD
是正方形．

故答案为：
AB=AD
．

分析
:
由四边形ABCD
是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正
方形，即可求 得答案

17.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°， ③AC=BD，④AC⊥
BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中 错误的是
_________（只填写序号）
答案: ②③或①④
解析：解答: 有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②
得有一个角是直角的平行四 边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四 边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形
是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误 ；
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形
是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形 是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四
边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确； （5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四
边形是菱 形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形 是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形
是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④；
故答案为：②③或①④．
分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形
18.如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，对角线AC与BD相交于点O．若
不增加任何字母与辅助线， 要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是______

答案: 答案不唯一如：AB=BC，或AC⊥BD等
解析：解答: 由题意可确定，ABCD为一四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，
若使AB=AC．可进一步确定其为正方形，
故答案为：AB=AC．

分析: 要使四边形ABCD是正方形，由题意可知其四个角都是直角，所以还有可能是 矩形，
使AB=AC，即可满足题意
19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的 垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，
且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为 正方形的是________
①BC=AC； ②CF⊥BF； ③BD=DF； ④AC=BF．

答案：①②③
解析：解答：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
当①BC=AC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项①正确；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；
当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；
当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．
故答案为：①②③．
分析: 根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析
得出即 可
20.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥B A．下

列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有_________（只填写序号）

答案：①②③④
解析：解答：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，故②正确；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵若AD平分∠BAC，则平行四边形AEDF是菱形，
∴若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确．
故答案为：①②③④．
分析: 分别根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理及正方形的判定
定 理对四个小题进行逐一判断即可
三、解答题（共5题）
21.如图，在△ABC中，∠AC B=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，
点F在DE的延长线上，且AF=C E．
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
答案：（
1
）四边形
ACEF
是平行四边形；

∵
DE
垂直平分
BC
，

∴
D
为
BC
的中点，
ED
⊥
BC
，

又∵
AC
⊥
BC
，

∴
ED
∥
AC
，

∴
E
为
AB
中点，

∴
ED
是△
ABC
的中位线．

∴
BE=AE
，
FD
∥
AC
．

∴
BD=CD
，

∴
Rt
△
ABC
中，
CE
是斜边
AB
的中线，

∴
CE=AE=AF
．

∴∠
F=
∠
5=
∠
1=
∠
2
．

∴∠
FAE=
∠
AEC
．

∴
AF
∥
EC
．

又∵
AF=EC
，

∴四边形
ACEF
是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
答案：（< br>2
）当∠
B=30
°时，四边形
ACEF
为菱形；

理由：∵∠
ACB=90
°，∠
B=30
°，

∴
AC=
1
AB
，

2
1
AB
，∴
AC=CE
2
由（
1）知
CE=
又四边形
ACEF
为平行四边形

∴四边形
ACEF
为菱形；

（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

答案：解答：（
3
）四边形
ACEF
不可能是正方形，

∵∠
ACB=90
°，

∴∠
ACE
＜∠
ACB
，

即∠
ACE
＜
90
°，不能为直角，

所以四边形ACEF不可能是正方形

解析：

分析
:
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，垂直平分线的性质，本题中根据 特殊角
的正弦函数值求∠
B
的度数是解题的关键

22. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AO=CO，BO=DO，∠ABC=∠DCB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
答案: 解答：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）要使四边形ABCD是正方形，请写出AC、BD还需要满足的条件

答案: （2） AC⊥BD
解析：
（2）要使四边形ABCD是正方形，AC、BD还需要满足的条件是：AC⊥BD
分析：（ 1）利用平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出∠ABC=90
°，即可得 出答案；
（2）利用正方形的判定得出矩形的对角线互相垂直进而得出答案
23.如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足
分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形

答案：见解答
解析：解答：（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；
（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，
∴ME=MF，
∴矩形AEMF是正方形．
分析:本题考查正方形的判定，线段的 垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，
综合性较强
24.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1） 求证：BE=CE．
答案：解答：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
∵三角形ADE为正三角形
∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
在△BAE和△CDE中
AB＝CD
∠BAE＝∠CDE
AE＝DE
∴△BAE≌△CDE
∴BE=CE；
（2）求∠BEC的度数

答案：∠BEC=30°
解析： 解答：
（2）∵AB=AD，AD=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAE=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°-15°×2=30°
分析: 本题考查了正方形的性质，（1）利用了 正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三
角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质， 角的和差．
25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD ，将线段CD绕
点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求证：AB⊥AE．

答案：解答：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
CB＝CA
∠BCD＝∠ACE
CD＝CE
∴△CBD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠CAE，
∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，∴AB⊥AE；
（2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形
答案：解答: （2）证明：∵点D为AB中点，
∴∠ADC=90°，
∵∠DCE=90°，∠BAE=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴CD=CE，∴四边形ADCE是正方形
解析：
分析: 此题主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出∠BCD=∠
ACE是解题关键