三角恒等变换公式大全
财科所-节日由来
三角函数
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ）（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=(tanα-tanβ）（1+tanα·tanβ）
二倍角
sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）[1-tan^2（α）]
cos
（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-
tan^2
（α）][1+tan^2（α）]
tan（2α）=2tanα[1-tan^2（α）]
三倍角
sin3α=3sinα-4sin^3（α）
cos3α=4cos^3（α）-3cosα
tan3α=（3tanα-
tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））
sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）
cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)
tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）
半角公式
sin^2（α2）=（1-cosα）2
cos^2（α2）=（1+cosα）2
tan^2（α2）=（1-cosα）（1+cosα）
tan（α2）=sinα（1+cosα）=（1-cosα）sinα
半角变形
sin^2（α2）=（1-cosα）2
sin(a2）=√[（1-cosα）2] a2在一、二象限
=-√[（1-cosα）2] a2在三、四象限
cos^2（α2）=（1+cosα）2
cos(a2）=√[（1+cosα）2]
a2在一、四象限
=-√[（1+cosα）2] a2在二、三象限
tan^2（α2）=（1-cosα）（1+cosα）
tan（α2）=sinα（1+
cosα）=（1-cosα）sinα=√[（1-cosα）（1+cosα）]
a2在一、三象限
=-√[（1-cosα）（1+cosα）] a2在二、四象限
恒等变形
tan(a+π4）=(tana+1）（1-tana)
tan(a-π4）=(tana-1）（1+tana)
asinx+bcosx=[√（
a^2+b^2）]{[a√（a^2+b^2）]sinx+[b√
（a^2+b^2）]cosx}
=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）
tan y=ba
万能代换
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sinα=2tan（α2）[1+tan^2（α2）]
cosα=[1-tan（α2）][1+tan^2（α2）]
tanα=2tan（α2）[1-tan^2（α2）]
积和化差
sinα·cosβ=（12）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·sinβ=（12）[sin（α+β）-sin（α-β）]
cosα·cosβ=（12）[cos（α+β）+cos（α-β）]
sinα·sinβ=
-（12）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负
号）
和差化积
sinα+sinβ=2sin[（α+β）2]cos[（α-β）2]
sinα-
sinβ=2cos[（α+β）2]sin[（α-β）2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β）2]cos[（α-β）2]
cosα-
cosβ=-2sin[（α+β）2]sin[（α-β）2]
内角公式
sinA+sinB+sinC=4cos（A2）cos（B2）cos（C2）
cosA+cosB+cosC=1+4sin（A2）sin（B2）sin（C2）
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cot（A2）+cot（B2）+cot（C2）=cot（A2）cot（B2）cot（C2）
tan(A2)tan(B2)+tan(B2)tan(C2)+tan(C2)tan(A2)=1
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
证明方法
首先，在
三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三
角形ABC中，过C
作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，
同理）可证明正弦定理
：asinA=bsinB=csinC于是有：AD+BD=c
AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin
（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可
证明正
弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性，可证明该公式对任意角成立。于
是有 c
os(A+B)=sin（90-A-B)=sin（90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（
-B）
=cosAcosB-sinAsinB
由此易得以上全部公式