开学第一课观后感作文-幼儿育儿知识

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三角恒等变换的常用方法
肖新勇
解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三
角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、
倍、半角公式 ”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种
类的差异，只有灵活有序地 整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决
问题，这是三角问题的特点，也是三角问 题“难得高分”的根本所在。本文从六个方面解读
三角恒等变换的常用技巧。
一、 角变换
角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成
“已知角 ”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。
sin2x2sin
2
x


3
3

7


例1 已知
cos

x


，，求的值。
x45
1tanx
44

【分析】考虑到“已知角”是
x< br>
4
，而“未知角”是
x
和
2x
，注意到




x

x


，可直接 运用相关公式求出
sinx
和
cosx
。
4

4

【解析】因为

x
又因为
cos

x
3
4
7


，所以

x2
，
44




3


4
3


x2

，
sin

x




0
，所以
4
54

5
24












72
，
sinxsin


x



sin

x

coscos

x
sin
44444410




22sinxcosx2sin
2
x28

. 从而
cosx
，
tanx7
. 原式=
10
1t anx75
【点评】（1）若先计算出
cosx
2
，则在计算
s inx
时，要注意符号的选取；（2）
10
本题的另一种自然的思路是，从已知出发， 用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元
二次方程组求出
sinx
和
c osx
. 但很繁琐，易出现计算错误。

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二、名变换
名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名 变换的问题常常有明
显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际 上，诱
导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。
例2 已知向量a(1tanx,1)
，
b(1sin2xcos2x,0)
，求f(x)ab
的定义
域和值域；
【分析】易知
f(x)(1t anx)(1sin2xcos2x)
，这是一个“切弦共存”且“单、
倍角共在”的式子 ，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使
函数式更简明。
【解析】
f(x)(1tanx)(1sin2xcos2x)




1


sinx

2
< br>12sinxcosx2cosx1

cosx



2

cosxsinx

cosxsinx


2cos2x

由
cosx 0
得，
xk



2
,kZ
，
2cos2x2



所以，
f(x)2cos2 x
.的定义域是

xxk




,k Z

，值域是

2,2

.
2
< br>【点评】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求
解.
三、常数变换
在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利 于完善
式子结构，运用相关公式求解，如
1sinxcosx
，
1t an45
，
3tan
22

3
等.
1sin
6
xcos
6
x3

； 例3 （1）求证:
44
1sinxcosx
2
（2）化简：
sin 2x3cos2x
.
【分析】第（1）小题运用
1sin
2
x cos
2
x
和
1sin
2
xcos
2
x
把分子、分母


3

2
22

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都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把 同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟
悉的
yAsin


x< br>

的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.
(sin
2xcos
2
x)
3
sin
6
xcos
6
x
【解析】（1）左边=
(sin
2
xcos
2
x)
2
sin
4
xcos
4
x
3sin2
xcos
2
x(sin
2
xcos
2
x) 3

.
2sin
2
xcos
2
x2
（ 2）原式=
sin2xtan

3
cos2x

sin< br>sin2x


3
cos2x
3
sin2x cos

3
cos2xsin



3
2sin


2x


3

cos cos

3
【点评】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利 用了
1sin
2
xcos
2
x
把整式化成分式后进行的 ，又如例4中，也是利用了
1tan45

，把分
式变成了整式.
四、 边角互化
解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边， 运用代数
运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.
例4 在
ABC中，
a、b、c
分别为角
A、B、C
的对边，且2
a
sin
A
= (2
b
+
c
) sin
B
+ (2
c
+
b
) sin
C
，
2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC

（1）求角
A
的大小；
（2）若
sinBsinC1
，证明
ABC
是等腰三角形.
【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个
角的正弦 的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。
【解析】（1）（角化边）由正弦定理
2
abc
得，

sinAsinBsinC
222

2a(2bc)b(2cb)c
，整理得，
abcbc
， < br>b
2
c
2
a
2
1
2


，因为
0A

，所以
A
所以
cosA
.
2bc2
3
（2）解法一 （边化角）由已知和正弦定理得，

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2sinA(2sinBsinC)sinB(2sinCsinB)sinC

22
2

即
2sinA2(sinBsinC) 2sinBsinC
，从而
sinBsinC
又
sin BsinC1
，所以
sinBsinC
所以
BC
，
ABC
是等腰三角形.
解法二 由（1）知
BC
1
，
4
1
.
2

3
，
C

3
B
，代入
sinBsinC1
得，
sinB
所以
B
31




cosBsinB1
，所以
sin

B

1
，
B，
22
32

3


6
，
C

6
，
ABC
是等腰三角形.
【点评】第（1）小 题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦
定理的结构，第（2）小题的解法一之 所以“化边为角”，是因为不易把条件
sinBsinC1
化为边的关系，而把条件
2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC
转化为边的关系却很容
易；解 法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.
五、 升降幂变换
当所给 条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常
xx

2
x
用“降幂”技巧，常见的公式有：
1sinx

sin cos

，
1cosx2cos
，
2
22

1cosx2sin
2
倍”.
例5 化简：
1sin61sin6

【分析】含有根号，需“升幂”去根号. 【解析】原式=
sin
2
3cos
2
32sin3cos3 
=
sin3cos3sin3cos3

2
x
，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变
2
sin
2
3cos
2
32sin3cos3

因为

3


3

，所以
sin3 cos32sin

3

0
，
sin3cos3 0
，
4

4

所以，原式
(sin2c os3)(sin3cos3)2cos3
.

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【点评】“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关 键步骤，只有有效地整合各种技巧
与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”。
六、公式变用
几乎所有公式都能变形用或逆向用，如
sin

< br>sin2

sin2

，
cos


，
2cos

2sin

tan

tan
tan





1tan

tan


等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”
技巧等也 是一种公式变用或逆用技巧.
例6 求值：（1）
cos20cos40cos60cos80
；
（2）
tan70tan103tan70tan10
。
【分 析】第（1）小题中，除
60
是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；
第（2）小题中两角差为
60
，而
3
是两角差的正切值，所以与两角差的正 切公式有关。
【解析】（1）原式＝
sin40sin80sin160sin1601
。
cos60
2sin202sin402sin8016sin2016
（2）原式＝
tan(7010)(1tan70tan10)3tan70tan 10
＝
3
。
n1
【点评】第（1）小题的一般性结论是： < br>cos

cos2

cos2
sin2
n



n
nN
*
.
2sin


最后还要指出，这里介绍的所谓技巧只是解决问题时关键步骤的一种特定的做法，每一
个 问题的解决常常伴随着几种技巧的综合运用，所以，只有准确理解三角公式的内在关系及
其基本功能，善 于发现问题中角、名、结构的差异，准确地选择转换策略，化异为同，才能
准确有效地运用三角恒等变换 的常用技巧解决问题.
（作者单位：江西省新余十六中）

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