月光下的肚肚狼-学校考察报告

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北师大版初中教材全解
第一部分：七年级上

第一章 丰富的图形世界
【知识点一】关于图形的概念
1、几何体包括圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱（直棱柱）、球等。
2、图形是由点、线、面构成的。
（1）点动成线，线动成面，面动成体。
（2）面面相交得到线，线线相交得到点。
3、（1）在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫 做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，（棱柱
的所有侧棱长都相等，上下地面的形状相同，侧面的形状都 是长方形）。
（2）根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…（长方体和正方体都是 四
棱柱）。
4、用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。
5、从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图。
6 、三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们是由一些不在同一条直线上的线段依次首
尾相连组成的封 闭平面图形。边和角都分别相等的多边形叫做正多边形。
7、圆上两点之间的部分叫做弧，由一条弧和 经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫
做扇形。

【知识点二】实际应用
1、熟悉常见的几何体是由什么图形旋转得到的。它们有什么相同之处和区别。
2、熟悉各种几何体的展开图。
3、熟悉各种几何体从不同方向去截得到的平面图形。
4、会看会画各种立体图形的主视图、左视图、俯视图，并能利用视图还原立体图形。



第二章 有理数及其运算
【知识点一】概念应用
1 、（1）像5、1.2、这样的数叫正数，在正数前面加上“－”的数叫做负数。（正数和负数表示
一些 意义相反的量。）
（2）0既不是正数也不是负数。
2、有理数包括整数和分数。
（1）整数包括正整数、0、负整数。
（2）分数包括正分数和负分数。
3、(1)数轴三要素:原点、单位长度和正方向（向右）。
（2）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
（3）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
（正数大于0，0大于负数，正数大于负数）
4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数
1

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互为相反数。
（1）0的相反数是0.
（2）在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。
5、在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
（1）正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
6、乘积为1的两个有理数互为倒数。
7、有理数的运算
（1）加法：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加，绝对值相等时和为0； 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较
大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得 这个数。
（2）减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘，积为0.
（4 ）除法：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数
都得0.（0不 能作除数。）
（5）乘方：求N个相同因数a的积的运算叫做乘方。
（6）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。
8、运算律：小学所学所有运算律都适用。
【知识点二】：常见题型
1、考学生对有理数分类和概念的掌握。
2、知道正数和负数在实际情形中的意义相反。
3、相反数，绝对值和倒数的概念。
4、有理数的混合运算及实际应用。


第三章 字母表示数
【知识点】：
1、字母可以表示数的运算律，还可以表示我计算一些图形的周长和面积。字母可以表示任何数。
2、代数式：单独一个数或是一个字母都是代数式。
3、同类项：所含的字母相同，并且字母的指数也相同的项。
把同类项合并成一项就叫做合并同类项。
在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
4、去括号（重点）：⑴括号前 是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号的各项的
符号都不改变。⑵括号前是“－”号， 把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号
都要改变。
5、用代数式去表达一些基本的规律。


2

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第四章 平面图形及其位置关系

【知识点一】：
1、 直线、射线、线段和角的概念及表示方法。
⑴有两个端点的 直线叫做线段。可以用两个大写字母表示（线段AB或BA）或是用一个小写字
母表示（线段a）。
⑵将线段向一个方向无限延长就形成了射线。（射线OM）
⑶将线段向两个方向无限延长就形 成了直线。可以用直线上任意两点的字母表示直线，也可以用
一个小写字母表示。
2、 线段有2个端点，射线有1个端点，直线有没有个端点。如手电筒的光线是射线。
3、
直线及线段的距离的性质：
（1）、过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线；
⑵两点之间所有连线中，线段最短；两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离
4、（1） 角是有公共端点的两条射线组成的图形,也可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的
图形.两条射线 的公共端点叫做角的顶点。
（2）1周角=360°,1平角=180°. 45°= 直角= 平角= 周角
5、角的符号是“∠”．（1）大写字母表示角：规定用 三个大写字母表示角，注意：顶点的字母
必须写在中间，（2）用一个大写字母表示角：要注意的是当两 个或两个以上的角有同一个顶点
时，不能用一个大写字母；（3）用一个希腊字母（或数字）表示角的方 法：在角的内部靠近角
的顶点处画一弧线，写上一个希腊字母，如α，β，γ（或1，2，3）等，记作 ∠α（或∠1），
读作角α（读作角1）．
6、角的平分线的定义：从一个角的顶点引出的一 条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射
线叫做这个角的平分线。
7、度分秒的换算及和、差、倍、分的计算。1°=60′；1′=60″
【知识点二】：
1、数线段和角的条数

2、线段和角的和、差、倍、分。
3、线段的中点和角平分线
4、 度分秒的换算及和、差、倍、分的计算。
5、概念在应用中的混淆。（全部是错误的）
(1)在∠AOB的边OA的延长线上取一点D 。(2)大于90°的角是钝角。（3）延长射线AB到C
（4）若AB=BC，则B是AC中点. (5)两个锐角的和一定小于平角。(6)直线MN是平角。
(7)互补的两个角的和一定等于平角。（8）两点之间，线段最短。
(9)经过三点一定可以画一条直线。


第五章 一元一次方程
【知识点】：
1、 含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫 做方程的解。在一
个方程中，只含有一个未知数X，并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元 一次方
程。
3

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2、 一元一次方程的解法步骤及每一个解题步骤。
⑴去分母：不漏乘加括号
⑵去括号：注意分配；括号前是负号时要变号
⑶移项： 注意要变号
3、列方程解应用题的步骤：
⑴审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；
⑵设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；
⑶列方程：根据相等关系列出方程；
⑷解方程：求出未知数的值；
⑸检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
关键：正确审清题意,找准“等量关系”


第六章 生活中的数据
【知识点】
1、学会收集数据、整理数据、分析数据作出决策或预测；
2、能联系身边熟悉的事物体验大数；
3、能用科学记数法表示大数；
4、能从条形统计图、折线统计图、扇形统计图中获取信息，能制作扇形统计图；
5、了解不同统计图的特征，能根据具体问题选择合适的统计图清晰、有效地表示数据。



第七章 可能性
【知识点】
1.通过实例进一步体验有些事 件的发生是确定的，有些则是不确定的.能准确地区分确定事件
与不确定事件.
2.知道事件 的发生的可能性是有大小的，能对一些简单事件发生的可能性做出描述，能列举
出简单试验所有可能的结 果，并能根据要求设计简单的不确定事件的游戏.





第二部分：七年级下
第一章 整式运算
【知识点一】概念应用
1：单项式和多项式统称为整式。
2.单项式有三种：单独的字母（a,-w等）；单独的数 字（125，-14562等）；数字与字母乘积的一
般形式（-2s,-32a,5xл等）。
3.多项式的特殊形式：a+b2等。
4. 单项式的系数是他的数字部分，如-23лabc的系数是-23л(注意系数部分应包含л）；单项
4

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式的次数是它所有字母的指数和（记住不包括数字和л的指数），如56л2x3y5次数是8。
5 .一个多项式次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。如13x2y+2y-1是3次3项式。
6.单独的一个非零数的次数是0。

【知识点二】公式应用
1 a
m
·a
n
= a
m+n
(m,n都是正整数）如- b
3
·b
2
=- b
5
。
<拓展运用>a
m+n
= a
m
·a
n
如已知a
m
=2, a
n
=8,求a
m+n
.
解：a
m+n
= a
m
·a
n
=2×8=16.
2 (a
m
)
n
=a
mn
(m,n都是正整数）
如2(a
2
)
6
-(a
3
)
4
=2 a
12
– a
12
= a
12
。
<拓展运用> a
mn
=(a
m
)
n
=(a< br>n
)
m
.如若a
n
=2,則a
2n
=（a< br>n
)2= 2
2
=4.
3 (ab)
n
= a
n
b
n
(n是正整数)
<拓展运用 > a
n
b
n
=(ab)
n

4 a
m
÷a
n
= a
m-n
(a不为0，m,n都为正整数，且m大于n)。
<拓展应用> a
m-n
= a
m
÷a
n
如若a
m
=9 a
n
=3 则a
m-n
=9÷3=3
5 a
0
=1(a≠0)；a
-p
=1 a
p
(a≠0,p是正整数).如(-2)
-3
=-8
6 平方差公式 （a＋b)(a－b)= a
2
－b
2
a为相同项，b为相反项。
2222
如 (-2m＋n)(-2m-n)=(-2m)-n=4m-n
222
7 完全平方公式（a＋b）=a＋b＋2ab
222
如 (2x-y)=4x＋y-4xy
222222
8 应用式：a＋b=(a＋b)－2ab a＋b=(a－b)＋2ab
222 2
(a＋b)=(a－b)＋4ab (a－b)=(a＋b)－4ab
两位数 10a＋b 三位数 100a＋10b＋c.

【知识点三】运算：
1 常见误区：
-5(x2－3)－2(3x2＋5)=-5x2＋15-6x2＋5.(－5)
2a－a=2 (a)
a2·a3=a6 (a5)
④b4·b4=2b4 (b8)
⑤x5＋x5=x10 (2x5)
⑥ (-3pq)2=-6p2q2 (9p2q2)
⑦ a6÷a3=a2 (a3) ,a5÷a5=0 (1)
⑧ (л-3.14)0=0 (1) -a-4=a4 (-1a4)
⑨ (2a＋b)(2a－b)=2a2－b2 (ab＋8)(ab－8)=ab2-64
⑩ (4x＋5y)2=16x2＋25y2
2 简便运算：
2005
公式类 0.04
×25= 0.04×25×25=1×25=25.
1100100
0.125×2= 0.125×(2)=0.125×8=1
2222
平方差公式123
－124×122=123－(123＋1)(123－1)=123－123+1=1
22
完全平方公式 999
=(1000-1)=1000000+1-2000=998001.



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第二章 平行线与相交线
【知识点一】理论
1 若∠1+∠2=90，则∠1与∠2互余。若∠3+∠4=180，则∠3与∠4互补。
2 同角的余角相等若∠1+∠2=90，∠2+∠4=90.则∠1=∠4
等角的余角相等若∠1+∠2=90，∠3+∠4=90.∠1=∠3 则 ∠2=∠4
同角的补角相等若∠1+∠2=180，∠2+∠4=180.则∠1=∠4
等角的补角相等若∠1+∠2=180，∠3+∠4=180.∠1=∠3 则 ∠2=∠4
3 对顶角相等。
4 同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
5 两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
6 两条直线被第三条直线所截，可形成4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。

【知识点二】1 方位问题
 若从A点看B是北偏东20，则从B看A是南偏西20.（南北相对；东西相对，数值不变）；
从甲 地到乙地，经过两次拐弯若方向不变，则两次拐向相反，角相等；若方向相反，则两次拐
N
向相同，角互补。
2 光反射问题
D
C
如图 若光线AO沿OB被镜面反射则
∠AOC=∠BOD ∠AON=∠BON.
B

A



第三章 生活中的数据
【知识点一】: 一个数的百万分之一 = 这个数×10-6。
2 单位换算 （小）纳米×10-3→微米×10-3→毫米×10-3→米 ×10-3→千米（大）
（大）千米×103→米×103→毫米×103→微米×103→纳米（小） 1米=109纳米。
3 科学计数法表示较小的数=a×10－n(n为小数点移动的数位)。如0.0000156=1. 56×10－5.
4 近似数及有效数字
近似数0.1256 精确到万分位 有效数字 1 2 5 6
近似数2.56亿 精确到百万位 有效数字 2 5 6
近似数2.00×105 精确到千位 有效数字 2 0 0
5 按要求取近似值
 1250000 保留两位有效数字得 1.3×106。
125.3456精确到10得 130或1.3×102。
6 精确数和近似数的判断。
7误区分析：1.近似数2.56亿 精确到百分位。
2. 近似数20.0有效数字是2。
会分析统计图统计表解决实际问题。



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第四章 概 率
【知识点一】事件的分类
☆1 确定事件 ①必然事件 →一定发生的事件。概率为1。如“太阳从东方升起”。
②不可能事件→一定不发生的事件。概率为0. 如“太阳从西方升起”
☆ 2 不确定事件→不一定发生事件。概率0到1之间。如“明天会下雨”

【知识点二】 概率的计算
☆①P（A事件）=A事件发生的总结果数÷事件所有可能出现的总结果数。
☆② P(A)=事件A可能组成的图形面积÷事件所有可能所组成的图形面积。




第五章 三 角 形
【知识点】 理论整理。
1 三角形→由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
☆2判断三条线段能否组成三角形。
①a+b>c（a b为最短的两条线段）②a-b☆3第三边取值范围：
a－b < c 4 对应周长取值范围
若两边分别为a,b则周长的取值范围是 2a如两边分别为5和7则周长的取值范围是 14☆5 三角形的角平分线、高、 中线都有三条，都是线段。其中角平分线、中线都交于一点且交点
在三角形内部，高所在直线交于一点。
6“三线”特征：
☆三角形的中线①平分底边。
②分得两三角形面积相等并等于原三角形面积的一半。
③分得两三角形的周长差等于邻边差。
☆7 直角三角形：①两锐角互余。② 30度所对的直角边是斜边的一半。③三条高交于三角形的
一个顶点。④ ∠A=12∠B=13∠C ⑤ ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3 ⑥ ∠A=∠B＋∠C ⑦ ∠A: ∠B:
∠C=1:1:2 ⑧ ∠A=90-∠B
☆8 相关命题：
→1 三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角。
→2 锐角三角形中最大的锐角的取值范围是60≤X<90 。最大锐角不小于60度。
→3 任意一个三角形两角平分线的夹角=90＋第三角的一半。
→4 钝角三角形有两条高在外部。
→5 全等图形的大小（面积、周长）、形状都相同。
→6 面积相等的两个三角形不一定是全等图形。
→7 能够完全重合的两个图形是全等图形。
→8 三角形具有稳定性。
→9 三条边分别对应相等的两个三角形全等。
→10 三个角对应相等的两个三角形不一定全等。
→11 两个等边三角形不一定全等。
7

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→12 两角及一边对应相等的两个三角形全等。
→13 两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等。
→14 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
→15 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
→16 一条斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等。
→17 一个锐角和一边（直角边或斜边）对应相等的两个三角形全等。
→18 一角和一边对应相等的两个直角三角形不一定全等。
→19 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。
☆9全等三角形证明方法：SSS AAS ASA SAS HL
☆10 会做三角形（3种做法）。
☆11会用三角形全等设计方案并解决实际问题。



第六章 变量之间的关系
【知识点一】 理论理解
☆1 若Y随X的变化而变化，则X是自变量 Y是因变量。
☆2 能确定变量之间的关系式：相关公式
 路程=速度×时间 长方形周长=2×（长＋宽）梯形面积=（上底＋下底）×高÷2 ④ 本
息和=本金＋利率×本金×时间。⑤总价=单价×总量。⑥平均速度=总路程÷总时间
3 若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.
☆4 会分析图中变量的相互变化情况。
 看图像的起点和终点的对应量。
 分阶段分析变量的变化趋势（增加或减少或不变）及阶段两端的对应量。
 会分析量的最大值和最小值及其差。



第七章 生活中的轴对称
【知识点】
1 轴对称图形与轴对称的区别：轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形的关 系。联系：它们
都是图形沿某直线折叠可以相互重合。
2 成轴对称的两个图形一定全等。
3 全等的两个图形不一定成轴对称。
4 对称轴是直线。
☆5 角平分线所在直线是角的对称轴。
6 线段的对称轴是它的中垂线。
☆7 轴对称图形有： 等腰三角形（1条或3条）、等腰梯形（1条）、长方形（2条）、菱形（2条）、
正方形（4条）、圆 （无数条）、线段（1条）、角（1条）、正五角星。
☆8 等腰三角形性质：两个底角相等。两 个条边相等。“三线合一”④底边上的高、中线、
顶角的平分线所在直线是它的对称轴。
C
A
E
☆9 “等角对等边” ∵∠B=∠C ∴AB=AC
“等边对等角” ∵ AB =AC ∴∠B=∠C
O
A
☆10 角平分线性质：
8

B
F
D
C

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角平分线上的点到角两边的距离相等。
∵OA平分∠CAD OE⊥AC,OF⊥AD ∴OE=OF
☆11 垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 。 ∵OC垂直平分AB ∴
AC=BC

12 关于某直线对称的两个图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相
C
等。
13 会分析镜面反射的情况。
14 作图 找到两点距离和最短的点的方法。

A
A

A
'

O

M
所以M为所求作的点。
 会作轴对称的图形。

B




B
第三部分：八年级上
第一章 勾股定理
【知识点】
1、 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题，
发展合情推理 能力，体会形数结合的思想；
2、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，能运用它解决一些实际问题；
3、了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值．
2 2
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么，a
2

+b

=c

，即直
角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。
2 2
如果三角形三边长为a、b、c，c为最长边，只要符合a
2

+b

=c

，这个三角形是直角三角
形。（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）。




第二章 实数
【知识点】
1、有理数总可以用有限循环小数或无限不循环小数表示。
2、无限不循环小数叫无理数。

3、一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x
2

=a，那么这个正数x就叫做a的算术
9

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方根，记为“
开方数
a
”，读作“根号a”。 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被
⑴ 0的算术平方根是0，即
0
=0
⑵一个正数有2个平方根，0只有一个平方根，它是0本身，负数没有平方根。
格式： 因为1的平方=1，所以1的算术平方根是1，即
1
=1。

因为（±8）
2

=64，所以64的平方根是±8，即±
64
=±8。

4、一般地，如果一个数x的立方等于a，即x
3

=a，那么这个数x就叫 做a的立方根（也
叫做三次方根）。求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。
⑴一个数只有一个立方根，即为
3
a
，读作3次根号a。
⑵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
球的体积公式：V=
3

πr
3

，r为求得半径。
4
5、有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。
⑴实数也可分为正实数、0、负实数。
⑵每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来 ，数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
⑶在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
；
a
³
b
=
ab
（a≥0，b≥0）



第三章 图形的平移与旋转

【知识点】基本概念
1、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变
图形的形 状和大小。
经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。
2、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，
这个定点 称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。
经过旋转，图形上的每一点都绕 旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与
旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点 到旋转中心的距离相等。





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a
a
= (a≥0，b＞0)。
b
b

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第四章 四边形性质探索

【知识点】基本概念
1、凸四边形和凹四边形的定义
2、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
性质：平行四边形对边相等。
平行四边形对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
若两条直线互相平行，则其 中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为
平行线之间的距离。
判定；两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：⑴具有平行四边形的所有性质。⑵菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直
平分，每 一条对角线平分一组对角。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
4、有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质：⑴具有平行四边形所有性质。⑵矩形对角线相等，四个角都是直角。
判定：对角线相等的平行四边形是矩形。
三个角都是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5、一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形具有一切平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
6、特殊的梯形：直角梯形，等腰梯形
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。
两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
等腰梯形的性质：同一底上的两个内角相等，对角线相等。
判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
7、在平面内，由若干条不在同一条直线 上的线段首位顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。在
多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形 的对角线。
多边形的边、顶点、内角和的含义与三角形相同。
同一个顶点引出对角线（n-3）条
同一个顶点引出三角形（n-2）个
在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形。
n变形的内角和等于（n-2）²180º
正n边形的内角（n-2）²180ºn
n边形有12n(n-3)条对角线。
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多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边 形的外角。在每个顶点处
取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的外角和。
多边形的外角和等于360º
8、一般的，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行 拼接，彼此之间不留空隙、不重
叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形地镶嵌。
三角形、四边形和正六边形都可以密铺。
9、在平面内，一个图形绕某个顶点旋转180º， 如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
当n为大于或等于3的偶数时，正n边形为中心对称图形。




第五章 位置的确定

【知识点】
1、确定位置的几种方法：①极坐标思想方法；②平面直角坐标系的思想方法；
③区域定位法；④方位定位法。
2、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组 成平面直角坐标系。通常，
水平的数轴叫称为横轴或X轴，竖直的数轴称为纵轴或Y轴。
3、 平面直角坐标系中的点是用一对有序数对来表示的，所以平面上的点和有序实数对是一一对
应的关系。点 （
a,b
）与点（
b,a
）是不同的两个点。
4、 各象限内点的 横、纵坐标的特点：横轴上所有的点的纵坐标均为0，可表示为（
x,0
），纵轴
上所 有点的横坐标均为0，可表示为（
0,y
）。第一象限横、纵坐标均为正；第二象限的横坐标为
负，纵坐标为正；第三象限的横、纵坐标均为负；第四象限的横坐标为正，纵坐标为负。
5、 对称点坐标特征：①与X轴对称的点的特征为：横纵坐标不变，纵坐标互为相反数。即点P
（
a ,b
）关于X轴的对称点是（
a,b
）；
②与Y轴对称的点的特征：横坐 标互为相反数，纵坐标不变。即点P（
a,b
）关于Y轴的对称点
是（
a, b
）；与原点对称的点的特征：横坐标与纵坐标均互为相反数。即点P（
a,b
）关于 原点的
对称点是（
a,b
）。
6、 图形上点的纵坐标变化与图形变化之间的关系
（1） 纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的
k
倍。
① 当
k1
时，原图形被横向拉长为原来的
k
倍。
② 当
0k1
时，原图形被横向缩短为原来的K倍。
（2） 横坐标保持不变，纵坐标分别变成原来的K倍
① 当
k1
时，原图形被纵向拉长为原来的
k
倍。
② 当
0k1
时，原图形被纵向压缩为原来的K倍。
（3） 纵坐标保持不变，横坐标分别加K
① 当K为正数时，原图形形状、大小不变，向右平移K个单位长度。
② 当K为负数时，原图形形状、大小不变，向左平移
k
个单位长度。
（4） 横坐标保持不变，横坐标分别加K
① 当K为正数时，原图形形状、大小不变，向上平移K个单位长度。
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② 当K为负数时，原图形形状、大小不变，向下平移
k
个单位长度。
（5） 横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于横轴成轴对称。
（6） 纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于纵轴成轴对称。
（7） 横、纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于原点成中心对称。
（8） 横、纵坐标分别变成原来的K倍
① 当K＞1时，所得图形与原图形相比，形状不变，大小扩大了K倍。
② 当0＜K＜1时，所得图形与原图形相比，形状不变，大小缩小了K倍。




第六章 一次函数

【知识点】
1、函数：（1）一般地， 在某个变化过程中，有两个变量X和Y，如果给定一个X值，相应地就
确定了一个Y值，那么我们就称Y 是X的函数，其中X是自变量，Y是因变量。
（2）函数的三种表示方法：①列表法②图象法③解析法 用数学式子表示函数的方法叫做
解析法。
（3）确定函数关系的方法
判断变量之间 是否构成函数关系，就是看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定
好哪个是自变量，哪个是因变 量，自变量在变化过程中处于主动地位，因变量在变化过程
中处于被动地位，自变量每变一个值，因变量 都必须有值与它对应，这样才能构成函数关
系。
2、一次函数：若两个变量X、Y间的关系可 以表示成
ykxb
（
k、b为常数，k0
）的形
式，则称Y是 X的一次函数（X为自变量，Y为因变量）特别地，当
b0
时，称Y是X的正
比例函 数。
3、 一次函数的图象
a) 画函数图象的步骤：①列表；②描点；③连线。
b) 由于一次函数
ykxb
的图象是一条直线，所以一次函数
ykx b
的图象也称为直线
ykxb
。
b
由于两点确定一条直线， 因此在画一次函数
ykxb
的图象时，只要描出点（
(0,b),(,0)k
两点即可，画正比例函数
ykx
的图象时，只要描出点（0，0），（1，K ）即可。
（3）
k
的正负决定直线的倾斜方向，
k
的大小决定直线 的倾斜程度，即
k
越大，直线与
x
轴相交的锐角度数越大（直线陡），
k
越小，直线与
x
轴的相交的锐角度数越小（直线
缓）。
（4）
b
的正负决定直线与
y
轴交点的位置。
①
13

当
b0
时，直线与Y轴的交于正半轴上。

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②
③
当
b0
时，直线与Y轴交于负半轴上。
当
b0
时，直线经过原点，是正比例函数。

4、 一次函数、正比例函数的图象和性质。
函数
一次函数
图象

y

b0

b0

b0

性质
（1）当
k0
时，
y
随
x
的增大
而增大，图象必经过一三象限。
①
b0
时，过一二三象限
②
b0
时，只过一三象限
③
b0
时，过一三四象限时
（2）当
k0
时，
y
随
x
的增大
而减小 ，图象必过二四象限。
①
b0
时，过一二四象限
②
b0
时，只过二四象限
③
b0
时，过二三四象限
图象过原点
⑴当
k0
时，
y
随
x
的增 大而
增大，图象必过一三象限
⑵当
k0
时，
y
随的增小而减
小，图象必过二四象限。
ykxb

x

ykxb(k0)
正比例函
数

ykx


5、 确定一次函数表达式
（1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件
i. 由于正比例函数
ykx(k0)
中只有一个待定系数
k
， 故只需一个条件（如一对
x,y
的值或一个点）就可求得
k
的值。
ii.由于一次函数
ykxb(k0)
中有两个待定系数
k,b
，需要 两个独立的条件确定两个关于
k,b
的
方程，求得
k,b
的值，这两 个条件通常是两个点或两对
x,y
的值。
b) 待定系数法
先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
i. 设函数表达式为
ykxb
。
c)
ii.将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。
iii.求出
k与b
的值，得函数表达式。




第七章 二元一次方程组

【知识点】
1、了解二元一次方程 的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数
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的形式；
2、了解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；
3、会解二元一次方程组；
4、根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解简单的应用题；
5、了解解二元一次方程组的基本思想是“消元”．
6、二元一次方程组的解法：⑴代入法 ⑵加减法






第八章 数据的代表

【知识点】
1、算术平均数：一般地，对于
n
个数
x< br>1
,x
2
,

,x
n
，我们把
平均 数，简称平均数，记为
x
。
2、加权平均数：如果
n
个数中，x
1
出现
f
1
次，
x
2
出现
f
2
次，„，
x
k
出现
f
k
次
（
f
1
f
2
f
k
n
），那么这< br>n
个的平均数可表示为
x
权平均数，其中
f
1
,f
2
,f
k
叫做权。
3、中位数：一般地，
n
个 数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数
据的平均数）叫做这组数据的中位数 。
4、 众数：一组数据中出现次数最多的那个数叫做这组数据的众数。





xfxf

xf
1122kk
n
1
n
(x
1
x
2
x
n
)
叫做这
n
个数的算术
，这样的平均数
x
叫加
第四 部分：八年级下
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组

【知识点一】基本概念
1、用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
2、不等式的基本性质：
⑴不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
⑵不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
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⑶不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
3、关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
一元一次不等式组中的各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
求不等式组解 集的过程，叫做解不等式组。
解一元一次不等式组求公共部分时要记住：
“同大取大，同小取小，
大于小数小于大数居中间，
大于大数小于小数无解”
4、一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用。
①审题，设未知数；
②找不等关系；
③列不等式；
④解不等式；
⑤写出答案.
【知识点二】容易混淆的概念
1、同时乘以或除以负数，不等号改变；同时乘以或除以0，要变成等号。
2、不等式的解和解集的区别。




第二章 分解因式

【知识点一】基本概念
1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式。
学习因式分解的概念应注意以下几点:
（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.
（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止
⑶分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形
2、分解因式的一般步骤为:
（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.




第三章 分式
1、整式A除以整式B，可表示成
分母中不含字母.）
2、分式的基本性质
：
（1）
AAMAM
；


BBMBM
AA
的形式，如果除式B中含有字母，则称是分式.（而整式BB
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（2）分式的变号法则：
aaaa

；
bbbb
确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
3、分式的乘除
主要步骤：把分子和 分母中能分解因式的先分解，再把能分子和分母中的公因式约分，最后根据
分式的乘除法则运算
⑴分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分
母。
⑵分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
4、分式的加减
⑴同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
⑵异分母的分 式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计
算。
确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
5、分式的性质及其有关运算与分数的异同，我们组列表如下：
式子 分数
A、B是两个整数，B≠0
M是不等于零的数，分数基
本性质，分数通分
M是不等于零的数，分数基
本性质，分数约分
分数乘法法则
分数除法法则
同分母分数加减法法则
分式
A、B是两个整式，B含有字
母，字母的取值应保证B≠0
M是不等于零的整式，分式
基本性质
M是不等于零的整式，分式
基本性质，分式约分
分式的乘法法则
分式除法法则
同分母分式加减法法则
异分母分式加减法法则
A

B
A
AM
=
B
BM
A
AM
=
B
BM
a
c
ac
²=
b
d
bd
a
c
ad
÷=
b
d
bc
a
c
ac
±=
b
d
b
a
d
±=
b
c
bdacbd
=
bcbc
ac
bc
±
异分母分数加减法法则
6、解分式方 程分三步：第一步，去分母，把分式方程转化为整式方程；第二步，解这个整式方
程；第三步，将整式方 程的根代入最简公分母，如果使最简公分母为零，则此根为原方程的增根，
若最简公分母不为零，则此根 是原方程的解.




第四章 相似图形

【知识点】
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1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别 是m、n，那么就说这两条线段的
比AB：CD=m:n，其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的 前项和后项。
2、四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条a、b、 c、d叫做成
比例线段，简称比例线段。
3、如果
4、如果
acac
，那么

。

，那么ad=bc；如果ad=bc（abcd都不等于0）
bdbd
ac

，那么a＋bb=c+dd.
bd
如果ab=cd=……mn(b+d+……+n≠0),那么（a+c+……m）(b+d+……+n)=ab。
6、 黄金分割：若点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么称线段A B被
点C黄金分割点。
7、 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做
相似比。
8、 三角形相似的条件
⑴两角对应相等的两个三角形相似。
⑵三边对应成比例的两个三角形相似。
⑶两边对应成比例且家教相等的两个三角形相似。 < br>8、相似三角的性质：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。
相似对变形的周长等于相似比，面积比等于相似比的平方。
9、如果两个图形不仅是相似图形，而且每 组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两
个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的 相似比又称为位似比。
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。




第五章 数据的收集与整理

【知识点】
1、收集数据的方式有两种类型：普查和抽样调查.
⑴为了一定的目的而对考察对象进行的全 面调查，称为普查。其中所要考察对象的全体称为总体，
而组成总体的每一个考察对象称为个体。 ⑵从通体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫
做总 体的一个样本。
⑶用普查的方式可以直接获得总体情况.但有时总体中个体数目太多，普查的工作量较 大；有时
受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；有时调查具有破坏性，不允许普查，此时可用抽
样调查.
2、每个对象出现的次数称为频数，每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
3、极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均
数，而标准差就是方差的算术平方根。




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第六章 证明（一）

【知识点】
1、命题呢，就是判断一件事情的句子.正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
公理：是人们在长期的实践中总结出来的，正确的命题.即公认的真命题.
定理是经过推理的过程得到的真命题.
2、关于平行线
⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
两条直线被第三条折现所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
⑵两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、三角形内角与外角
2
⑴三角形的三个内角和等于180。
⑵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。






第五部分：九年级上

第一章 证明（二）

【知识点】
1、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）
两角及其中一角的对应边对应相等的两个三角形全等。（AAS）
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2、等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
0
推论：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。
0
3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的一半。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)
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4、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。





第二章 一元二次方程

【知识点】

二次项，一次项，

整式方程 一元二次方程
常数项及二次项

系数，一次项系数

直接开平方法


配方法

一
一元二次方程的解法

元
公式法 根的判别式
二

次
方

程
因式分解法

二次三项式分解
根与系数的关系



一元二次方程的应






第三章 证明（三）

【知识点】
1． 基本概念的复习：
（1）有 的四边形叫做平行四边形；
（2）有 的平行四边形叫做矩形；有 的平行四边形叫做菱形；有
的平行四边形叫做正方形；
（3）有 的矩形叫做正方形；有 的菱形叫做正方形；
（4）有 的四边形叫做梯形；
（5）连接三角形两边中点的线段叫做 ；它的性质是：
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2． 有关对角线问题的知识点：
（1）对角线 的四边形是平行四边形；对角线 的四边形是矩形；对角线
的四边形是菱形；对角线 的四边形是正方形；
（2）对角线 的平行四边形是矩形；对角线 的平行四边形是菱形；对角线
的平行四边形是正方形；
（3）对角线 的矩形是正方形；对角线 的菱形是正方形；
3． 有关中点四边形问题的知识点：
（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是 ；
（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是 ；
（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是 ；
（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是 ；
（5）顺次连接对角线相等的四边中点所得的四边形是 ；
（6）顺次连接对角线相等的四边中点所得的四边形是 ；
（7）顺次连接对角线垂直的四边中点所得的四边形是 ；
（8）顺次连接对角线垂直且相等的四边中点所得的四边形是




第四章 视图与投影
【知识点】
1、三视图
主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图
画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等.
虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线
2、投影
物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象.
太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
在同一时刻,物体高度与影子长度成比例.
物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影.
探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的
投影称为中 心投影
皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。
3、视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。
眼睛所在的位置称为视点，由视点发出的光线称为视线，眼睛看不到的地方称为盲区。




第五章 反比例函数

【知识点】
1、定义：形如y=
21

k
（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。
x

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2、反比例函数图象的性质有：
⑴反比例函数的 图象是两支双曲线，当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图
象分别位于第二、四象限 .
⑵当k>0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随 x的增
大而增大.
⑶因为在y=
k
(k≠0)中，x不能为0， y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴
x
相交，也不可能与y轴相交.
⑷ 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐
标轴围成 的矩形面积为S
1
，S
2
则S
1
＝S
2

⑸ 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐
标原点.
3、反比例函数的具体应用。



第六章 频率与概率

【知识点】







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第六部分：九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系

【知识点】
1．锐角三角函数的概念
如图，在ABC中，∠C为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下：


(1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，

即sinA＝

(2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，

即cosA＝

(3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA，

即tgA＝

(4)角A的余弦：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctgA，

即ctgA＝








2．三角函数的关系
(1)同角的三角函数的关系
1)平方关系：sinA＋cosA＝1
2)倒数关系：tgA·ctgA＝1
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3)商的关系：tgA＝，ctgA＝
(2)互为余角的函数之间的关系

sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA
tg(90°－A)＝ctgA，Ctg(90°－A)＝tgA
3．直角三角形中的边角关系
(1)三边之间的关系：a＋b＝c
(2)锐角之间的关系 ：A＋B＝90°
222
(3)边角之间的关系 ：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝

tgA＝ctgB＝，CtgA＝tgB＝

4．一些特殊角的三角函数值

Sinα
0°
0
30° 45° 60° 90°
1


Cosα 1

1



0
tgα 0


-----
ctgα -----
1

0








5．锐角α的三角函数值 的符号及变化规律。
(1)锐角α的三角函数值都是正值
(2)若0≤α≤90° 则Sinα，tgα随α的增大而增大，Cosα，Ctgα随
α的增大而减小。
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6．解直角三角形
(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角。
(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未
知的元素的过程叫做解直角三角形。
7．解直角三角形的应用
解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，
常用到下面几个概念：
(1)仰角、俯角
视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平
线下方的叫做俯角
(2)坡度．
坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，
即i＝

(3)坡角

坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示












25

则tgα＝i＝
(4)方向角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角。
(5)方位角
从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角。

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第二章 二次函数
【知识点】
1、二次函 数的概念：形如
yax
2
bxc(a0)
的函数.
bb4acb
2
,
2、抛物线
yaxbxc(a0)
的 顶点坐标是（

）；对称轴是直线
x
.
2a
2a4a
2
3、当a＞0时抛物线的开口向上；当a＜0时抛物线的开口向下.
a
越大 ，抛物线的开口越小；
a
越小，抛物线的开口越大.
a
相同的抛物线，通过平 移（或旋转、轴对称）一定能够重合.
4、a、b同号时抛物线的对称轴在y轴的左侧；a、b异号时 抛物线的对称轴在y轴的右侧.抛物
线与y轴的交点坐标是（0，C）.
5、二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：
yax
2
bxc(a0)

（2）顶点式：
ya(xh)
2
k

（3）交点式：
ya(xx
1
)(xx
2
)
，抛物线与x轴的交点坐 标是（
x
1
,0
）和（
x
2
,0
）. < br>6、抛物线的平移规律：从
yax
2
到
ya(xh)
2
k
，抓住顶点从（0，0）到（h，k）.
7、（1）当
b4ac＞0时，一元二次方程
ax
2
bxc0(a0)
有两个实数根< br>x
1
,x
2
，抛物线
。
yax
2
bxc(a0)
与x轴的交点坐标是A（
x
1
,0
）和B（
x
2
,0
）
2
（2）当
b4ac
=0时 ，一元二次方程
axbxc0(a0)
有两个相等的实数根（或说一个
22
根）
x
1
x
2

2
b
b
2
,0
）. ，抛物线
yaxbxc(a0)
的顶点在x 轴上，其坐标是（

2a
2a
2
（3）当
b4ac
＜0时，一元二次方程
axbxc0(a0)
没有实数根，抛物线
yax
2
bxc(a0)
与x轴没有交点.
8、二次函数的最值问题和增减性：

系数a的
符号

a＞0

a＜0

增减性
b
4acb
2
x
时， 最值
2a
4a

最小值

最大值
x
b
b
时，y随x的增大而增大；
x
时
2a
2a
y 随x的增大而减小.
x
b
b
时，y随x的增大而减小；
x
时
2a
2a
y随x的增大而增大.
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第三章 圆

【知识点】 1、圆的定义：几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆
心， 定长称为半径。
2、圆的相关量
圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周 率，值是3.979323846…，通
常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的
弧称为劣弧。 连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的 角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另
一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和
三角形三边都 相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围 成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这
个扇形的半径成为圆锥的母线。
3、圆和其他图形的位置关系
⑴圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），
P在⊙O外，PO＞r；
P在⊙O上，PO＝r；
P在⊙O内，PO＜r。

⑵直线与圆有3种位置关系：
无公共点为相离；
有两个公共点为相交；
圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：
AB与⊙O相离，PO＞r；
AB与⊙O相切，PO＝r；
AB与⊙O相交，PO＜r。

⑶两圆之间有5种位置关系：
无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；
有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；
有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：
外离P＞R+r；
外切P=R+r；
相交R-r＜P＜R+r；
内切P=R-r；
内含P＜R-r。
4、有关圆的基本性质与定理
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圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴 是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，
其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
5、有关圆周角和圆心角的性质和定理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周 角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他
们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
6、有关外接圆和内切圆的性质和定理〗
一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
7、有关切线的性质和定理
圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的
切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的 性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的
直线必经过圆心 。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理：从圆外同一点到圆的两条切线的长相等。
8、有关圆的计算公式
圆的周长C=2πr=πd 圆的面积S=πr² 扇形弧长l=nπr180
扇形面积S=nπr²360=rl2 圆锥侧面积S=πrl



第四章 统计与概率

【知识点】
1、三种统计图的特点
条形统计图：能够清楚地表示出每个项目的具体数目
折线统计图：能够清楚地反映事物的变化情况
扇形统计图：能够清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比
2、统计图中的错觉r
1） 两个统计图，纵轴上同一单位长度所表示的意义不同，造成图像的倾斜程度不同，所以给人
不同的感觉。因此，在作统计图时，应注意两者纵横轴的单位长度表示意义的一致性，从而
避免造成“ 误导”，引起“错觉”；
2） 在绘制条形统计图时，为了使所绘统计图更为直观、清晰，应注意纵轴 上的起始值从“0”
开始，最好标明具体数据，以及写完整横纵坐标所表示的意义，图表名称等，从而避 免造成
“误导”、引起“错觉”；
3） 扇形统计图只能显示各部分在总体中所占的百分比， 两个扇形统计图中的相同研究对象无法
直接比较大小；
2、会利用概率的知识判断游戏是否公平，会根据题意自己设计游戏。
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