20.(本小题13分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明： “活水围
网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度错误！未找到引用源。（单位：千 克年）
是养殖密度错误！未找到引用源。（单位：尾立方米）的函数．当错误！未找到引用源。不超过4 （尾
立方米）时，错误！未找到引用源。的值为错误！未找到引用源。（千克年）；当错误！未找到引用
源。时，错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。的一次函数；当错误！未找到引用源。达到错误！未找到引用源。（尾立方米）时，因缺氧等原因，错误！未找到引用源。的值为错误！未找到
引用源。（千克年）．
（I）当错误！未找到引用源。时，求函数错误！未找到引用源。的表达式；
（II）当养殖密度错误！未找到引用源。为多大时，鱼的年生长量（单位：千克立方米）错误！未找< br>到引用源。可以达到最大，并求出最大值．









21.(本小题14分）已知
f(x)log< br>a
x1
（
a0且a1
）.
x1
（I）判断函数
f(x)
的奇偶性，并证明；
（II）讨论
f

x

的单调性；
（III）是 否存在实数
a
，使得
f(x)
的定义域为

m,n

时，值域为

1log
a
n,1log
a
m

，若存在，求出实
数
a
的取值范围；若不存在，则说明理由.












第4页，总4页

参考答案
一、选择题（10×5=50分）
题号
答案
1
B
2
D
3
A
4
A
5
A
6
D
7
D
8
A
9
C
10
D
二、填空题（5×5=25分）
11. 6 12.

13.
(2,)(0,)
14.

ln2
15. ③
2

2

三、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤；共75分）
16.（本小题12分）已知集合A={x|a-1解：∵A∩B=Ø,当A=Ø时，有2a+1≤a-1∴a≤-2; < br>当A≠Ø时，有2a+1>a-1∴a>-2.又∵A∩B=Ø，则有2a+1≤0或a-1≥1∴a≤-
∴-21
1
1
或a≥2,
2
1
1
或a≥2,综上可知：a≤- 或a≥2.
2
2< br>
x
2
bxc,(x0)
17.（本小题12分）设函数
f(x)

，若
f(4)f(0),f(2)1,


x3,(x0)
（I）求函数
f(x)
的解析式； （II）画出函数
f(x)
的图象，并说出函数
f(x)
的单调区间.
164bc3
，
解：
（I）
f(4)f(0),f(2 )1,


x
2
4x3,x0
42bc 1
解得
b4,c3

f(x)


x3 ,x0

（II）图象略，由图象可知单调区间为：

,2

，

2,0

，

0,
,其中增区间为

2,0

，减区间为

,2

，

0,

.

18.(本小题1 2分）已知函数
f(x)
定义域为(0,+∞)且单调递增，满足
f
(4)= 1，
f(xy)f(x)f(y)

（I）求
f
(1)的值；探 究用
f(x)
和
n
表示
f
(
x
)的表达式 （n∈N）；
（II）若
f(x)
+
f
(
x
-3)≤1，求
x
的取值范围；
解：（I ）令
x
=1，
y
=4，则
f
(4)=
f
( 1×4)=
f
(1)+
f
(4)∴
f
(1)=0
*
n
∵
f(xy)f(x)f(y)
∴
f(x
n
)f(xxx
n个
x)nf(x)

（II）
f(x )
+
f
(
x
－3)=
f
［
x
(< br>x
－3)］≤1=
f
(4)，又
f(x)
在（0，+∞）上单 调递增

x(x3)4

1x4



3x4
∴
x
∈（3，4] ∴

x30< br>x3


x0

19.(本小题12分）设当
错 误！未找到引用源。
时，函数
错误！未找到引用源。
的值域为
错误！未找到< br>，且当
错误！未找到引用源。
时，恒有
错误！未找到引用源。
，求实数 k的取值范围．
引用源。
解：令t=2
错误！未找到引用源。
，由x错误！未找到引用源。
1，则t∈（0，2
错误！未找到引用源。
，

第5页，总5页

则原函数y=t
错误！未找到引 用源。
-2t+2=（t-1）
错误！未找到引用源。
+1∈[1，2]，即D=[1 ，2]，
由题意：f（x）=x+kx+5
错误！未找到引用源。
4x，
法1：则x+（k-4）x+5
错误！未找到引用源。
0当x∈D时恒成立

错误！未找到引用源。
∴ k
错误！未找到引用源。
-2.
2< br>2
错误！未找到引用源。
法2：则在
错误！未找到引用源。
时恒有成立 ，故
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
20. (本小题13分）“活水 围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围
网”养鱼时，某种鱼在一定的 条件下，每尾鱼的平均生长速度错误！未找到引用源。（单位：千克年）
是养殖密度错误！未找到引用源 。（单位：尾立方米）的函数．当错误！未找到引用源。不超过4（尾
立方米）时，错误！未找到引用源 。的值为错误！未找到引用源。（千克年）；当错误！未找到引用
源。时，错误！未找到引用源。是错误 ！未找到引用源。的一次函数；当错误！未找到引用源。达到
错误！未找到引用源。（尾立方米）时，因 缺氧等原因，错误！未找到引用源。的值为错误！未找到
引用源。（千克年）．
（I）当错误！未找到引用源。时，求函数错误！未找到引用源。的表达式；
（II）当养殖 密度错误！未找到引用源。为多大时，鱼的年生长量（单位：千克立方米）错误！未找
到引用源。可以达 到最大，并求出最大值．
解：（I）由题意：当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；当 错误！未找到引用源。时，
设错误！未找到引用源。，显然错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源 。是减函数，由已知得错
误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。
故函数错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
（II）依题意并由（I）可得错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
当错误！ 未找到引用源。时，错误！未找到引用源。为增函数，故错误！未找到引用源。错误！未找
到引用源。；
当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。． 所以，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。的最大值为错
误！未找到引用源。． 21.(本小题14分）已知
f(x)log
a
x1
（
a 0且a1
）.
x1
（I）判断函数
f(x)
的奇偶性，并证明；
（II）讨论
f

x

的单调性；
（III）是 否存在实数
a
，使得
f(x)
的定义域为

m,n

时，值域为

1log
a
n,1log
a
m

，若存在，求
出实数
a
的取值范围；若不存在，则说明理由. < br>解：（I）由
又
x1
0
得：
x1
或
x1
.所以，函数
f(x)
的定义域为
(,1)(1,)
.
x1
x1x1x1
f(x)log
a
log
alog
a
f(x)
f(x)
为奇函数.
x1x 1x1
（II）任取
x
1
,x
2
(1,)
，且
x
1
x
2
，则
x
1
x
2
0
.因为

x
1
1x
2
12(x
2
x
1
)
0

x
1
1 x
2
1(x
1
1)(x
2
1)
第6页，总6页

所以
x
1
1x
2
1x 1x1
，当
a1
时，所以
log
a
1
，故< br>f(x
1
)f(x
2
)
,所以，函数
f

x

在
log
a
2
x
1
1 x
2
1x
1
1x
2
1
区间
(1, )
上单调递减.，同理可证：当
0a1
时，
函数
f

x

在区间
(,1)
上单调递增.
（III）假设 存在实数
a
满足题目条件.由题意得：
m0,n0
，又

m,n

(,1)(1,)
，
1mn
又
1log
a
n1log
a
m
，
log
a
mlog
a
n
，
a1
.故由（II）得：函数
f

x

在区
间
(1,)
上单调递减.所以 ，函数
f

x

在区间

m,n

上单调递减.
m1

loglog


f(m) 1log
a
m

a
m1
故

，所以< br>
f(n)1logn
a


log
n1log
a

n1

a
a
a
m
2
(1a)ma0
m
，所以

2
，
a

n(1a)na0
n
m,n
是方程
x
2
(1a)xa0
的两个不同的实根.故方程
x
2
(1a)xa0
在区间
(1,)
上有两

(1 a)
2
4a0

1a

1
个不同的实根 .则

，解得：
a322
.又
a1
，
2< br>
f(1)0


所以，
a322
所以，满足 题目条件的实数
a
存在，实数
a
的取值范围是
(322,)< br>.



第7页，总7页