北师大版初中数学教材分析
中宣部-社区服务实践报告
北师大版初中数学教材分析
七年级上册教材分析
一、教材总体思路分析
1．本学期学习的主要内容有：有理数及其运算、字母表示数
、一元一次方程；丰富的图形世界、平面
图形及其位置关系；生活中的数据、可能性。
在数与代数领域中，通过数系的拓展形成“有理数”的概念。由于负数的引入，自然地将有理数的“运
算
”及“运算律”提升为关注和学习的对象。字母表示数是“代数”的重要特征，方程是数学的核心概念
之
一。通过学习，使学生意识到对数学问题的讨论是在有理数范围内进行的，为后面无理数的发现及实数
系
统的建立埋下伏笔。
初中阶段的几何知识学习以平面几何为主。在《丰富的图形世界》中，从
对三维空间实物的观察开始，
充分利用学生丰富的背景经验，在实物、几何体、直观图与平面图形的相互
表示与转换中提高对几何图形
的知觉水平，发展空间观念。通过观察、操作、思考、交流积累数学经验，
感受到学习平面图形的必要性
和简单图形的基础性，体会基本图形是刻画现实世界的重要工具，学习用数
学眼光观察世界，现实生活可
以带来无穷无尽的直觉源泉。在《平面图形及其位置关系》中，突出对几何
基本概念的理解及突出合情推
理的作用。
《生活中的数据》通过实际问题的讨论，使
学生体会数据的重要作用，理解数据的处理及其所表达的
信息，发展数感和统计观念。在《可能性》一章
中，初步认识不确定现象的特点，通过试验体会随机现象
中隐含着规律性，初步形成随机观念。
2．教材设计与内容的组织有如下考虑。
（1）借助生活中的实例，不难体
会到引入负数的必要性和形成有理数概念的合理性。数轴的建立给出
了有理数的一种直观解释和表示形式
，可以作为工具配合现实情境加深对有理数运算意义的理解。绝对值
概念将有理数与非负数之间建立起对
应关系，便于对正负数运算的规则作出清晰的表述，它的几何意义是
有理数对应的点到原点的距离。有理
数的运算，特别是乘、除法的规定，不属于因果性的解释，而是希望
“正数的性质负数也有，„„这是在
因袭数性”（付种孙），是一种合乎理性的选择。教材中作了细致的
处理，反映了认识的连续性和继承性
。运算的训练还采用了游戏的方式（24点），并注意在后继学习中不
断巩固与强化。
（2）在《丰富的图形世界中》中，学习几何对象不是从几何学的逻辑起点开始，而是顺应数学历史的
进程，经历从具体到抽象，再由抽象上升到具体的过程。从现实世界实物的考察开始，舍弃次要因素 ，分
解出简单几何体或基本图形，在分解与整合的过程中发展几何直觉和空间观念。不是提前学习立体几 何，
而是通过活动学习“数学化”。在第四章中，自然地陆续引入几何概念，通过操作发现简单平面图形 的位
置关系及基本性质，并采用符号语言进行表示。教材提供了大量动手的机会，再现由直观动作思维到 直观
表象思维的过程，为进一步向抽象（逻辑）思维阶段的发展作好必要的准备。
（ 3）统计学习的最终目标是发展学生的统计观念，而统计观念的形成不是自发的，也不是说教能解决
的， 需要让学生亲身参与到这样的活动过程中，在活动中感受到解决问题需要收集数据，需要表示数据、
分析 数据，并利用数据分析的结果做出恰当的判断。因此，整个教材中统计有关内容的设计，都力图让学
生从 实际问题出发，经历统计活动的全过程，如教科书提出“为了尽可能多的吸引学生参与，你会组织观
看什 么比赛”，“你们对学好数学有信心吗”等问题，以这些问题为驱动，带领学生从事统计活动，在活
动获 取相应的知识与方法，发展其能力。
概率学习的最终目标是发展学生的随机观念，随机观念有 多个层次，因此，发展学生的随机观念不能
一蹴而就的，需要经历一个漫长的过程。为此，本册仅仅定位 于让学生感受现实世界中随机现象的普遍性，
通过具体的实践活动感受到随机现象发生的可能性有大有小 ，至于具体如何刻画，则放到七年级下册研究。
此外，对于随机性大小，也仅关注在实践活动中的感受， 而不希望从理论上分析。不希望学生说，“这种
情况有3种可能，那种情况只有2种可能，因此，这种情 况发生的可能性大一些”，这样的描述，实际上
已经基于“每种可能发生的可能性是完全一样的”，这已 经是理论计算，也许你所举的案例中这样分析并
不错，但如果学习概率之处，学生都是如此感受的，可能 容易将这种（等可能）情况泛化，为后继学习增
添不必要的麻烦。
二、教学实施中应注意的几个问题
1．关注学生对数学知识的理解
（1） 关于有理数的运算，强调对运算意义的理解。对运算律的认识在自主探索的过程中获得。由于繁
难的数字 运算可以利用计算工具进行，运算技能的培养主要放在对运算律的理解和灵活运用上。鼓励算法
多样化， 因为不同的算法可能来自不同的理解或思维习惯，通过交流资源共享。
代数是表示、交流和 问题解决的工具，符号是其核心。通过《字母表示数》的学习，让学生感受到用
字母代替具体的数字使问 题得到一般性的解决。进一步领会便于形式运算（如合并同类项）和对规律的探
索与发现，对于方程的认 识产生直接的影响。
（2）在《丰富的图形世界》一章中，表面看出似乎没有太多具体的知识 点。事实上，一个空间图形可
以通过其表面的展开与折叠。用平面去切截和三种视图来实现三维与二维图 形相互转换。通过边做边想、
边想边做培养学生的空间观念。通过动手操作可以把抽象对
象简单化、直观化，同时还要启发与提示进行
理性思考。如用平面截一个立方体，截面能够是一个七边形
吗？在做中“想”，包括理性的分析和推理—
—为什么能够、或不能够。发展学生的空间观念和提高视觉
思维能力及水平是本章主要的学习目标。
2．教学中要有准确的定位，提高学习的实效性
（1）在《一元一次方程》的学习中，学生首次正式接触方程的概念。“方程”无疑是数学最重
要的概
念之一。通过学习领会方程的意义和作用，特别是学习“用方程的观点”来分析和处理问题。有些
问题可
以用“算术方法”求解，需要对所列算式的意义能做出清楚的解释，往往需要较多的智力投入。方
程的重
点不仅仅在于求解的程序，还需要达到通过建立方程达到求解未知量的目的，其中的关键步骤是把
未知量
（用字母表示数）与已知量平等看待，寻求它们之间的一种结构性的等量关系并表示出来。方程的
学习为
增强数学应用意识提供了机会。
（2）积累数学活动经验、发展空间观念是《
丰富的图形世界》这一章的教学目标。内容贴近学生的生
活经验，容易引起学习兴趣，感受到数学就在自
己身边，改善不良的数学印象。教学中应充分挖掘活动中
的数学内涵，把兴趣引向数学主题上来。活动过
程中，应引导学生思考一系列的数学问题，如在将一个正
方体的表面展成一个平面图形的过程中，学生们
可以遇到很多数学问题。
通常，数学问题或数学思考可以由生动有趣的情境引发出来，情境
可以为数学理解提供经验支持，但
应及时切入主题，避免长时间“打外围战”。我们应当首先抓准每节课
的基本定位，如从不同方向看，主
要目的是学习三种视图，学会空间图形与平面投影之间的相互表示，在
此基础之上，再应当学生思考避免
看问题的片面性。
借助信息技术制作的课件能对教学产生良好的效果，但应注意避免教学活动成为技术的展示课。
七年级下册教材分析
一、教材总体思路分析
1．本册涉及的主要内容有：
整式的运算、变量之间的关系；平行线与相交线之间、三角形、生活中的
轴对称；生活中的数据、概率。
整式是代数的基础性概念，代数式的运算（包括整式运算）属于代数的基本功，是解决问题和进
行推
理的需要，也构成进一步学习的基础。
把变量之间的关系列为单独一章，这是在
学习了代数式求值和探索规律等地方渗透了变化的思想基础
上引入的，为进一步学习函数概念进行铺垫，
因为函数是一种特殊的变量之间的“关系”。
两条直线被第三条直线所截，即所谓的“三线八
角”问题和对平行线的讨论是平面几何中重要的议题，
也是基础性的内容，有很大的教育价值。重点是通
过探索和简单的推理熟悉相关的性质与判定等几何事实，
并确信它们成立，成为本套教材
“公理化”的经验背景。在《平行线与相交线》一章的最后设置了“用尺
规作线段和角”一节，是理解和
运用相关几何知识的极好机会，只要求按步骤作图并保留作图的痕迹，暂
时只要求用自己的语言表述出作
法。
《生活中的轴对称》实际上是轴对称图形的认识和讨论，并通过轴对称图形来探索轴对称
图形的性质。
轴对称可以看成反射变换，也是一种几何变换。事实上，平移和旋转可以经过两次反射变换
得到，因此它
更基本。
《生活中的数据》包括“数”和“数据的表示”两部分内容。
在数的讨论中，使学生认识“很小”的
单位分数（百万分之一）和有效数字的概念，体会其意义和作用。
“数据的表示”则提供了“世界新生儿”
图，它是一种有别于条形、折线、扇形图的数据统计图，同样提
供了丰富的信息，同时暗示了统计图的多
样性。
《概率》一章，在七年级上册感受了
可能性有大有小的基础上，进一步刻画可能性的大小，因而十分
自然地给出了概率的概念，当然概率模型
仅仅定位于简单的 “古典概型”和可化为“古典概型”的“几何
概型”（“停留在黑砖上的概率”）。
2．教材设计与内容的组织，有如下考虑。
（1）在《整式的运算》中，对
整式、多项式的基本特征只进行了描述，主要突出代数式的表示功能（此
时，不必要求学生逐字逐句的记
忆它），重点放在对代数式运算意义的理解、实施和对算理的理解上。对
《变量之间的关系》的处理，依
托丰富的直观背景，重视变量之间的关系的三种数学表示，强调对变量关
系——特别是一个变量的变化，
引起另一个变量发生什么样的变化，的理解。侧重用图象法来表示变量之
间的关系，从“形”的侧面对函
数形成直观、整体性的认识。重视对图形所表达的相依关系的理解，培养
学生“读图”的能力。应注意“
变量之间的关系”与“函数”概念的重要差别，课本给出的例子都属于函
数关系，即对于给定的自变量，
对应的因变量有且只有一个。
（2）本册中有关“空间与图形”的几章内容，都强调通过探索
活动得出认识的结果，鼓励活动形式的
多样性，不要求演绎证明，主要用试验、操作并结合说理的形式进
行。重点放在培养几何直觉，发展合情
推理、形成猜想的能力，以及感受条件与结论之间的逻辑关系等方
面。
（3）概率的定义，教科书是按照经验概率（统计概率）的思路设计的，通过大量的试验
感受到随机现
象不确定性的同时，又有着相对的规律性（大量重复试验后，频率的稳定性），而将这个稳
定值确定为事
件发生的概率。当然，对于一些简单的古典概型，通过实验感受到一些基本事件发生的等可
能性后，也可
以从理论上进一步研究概率问题，也就是说首先从试验出发，得出统计规律性，得出概率，
接着又就这些
模型对统计规律性进行理论的分析，从而后续研究类似的不存在争议的问题时可以脱离试验
直接走向理论。
当然，从试验出发，得出概率的概念，再理论分析，后续用理论方法解决问题，这个顺序
也是对教学的建
议。试验可能会占用一定的教学时间，但这是值得的，因为只有通过试验
学生才能切实感受到频率的稳定
性，才能形成统计概率的观念（否则学生事事都理论分析，不知理论的依
据何在，后续学习发生各种错误
在所难免）。当然，可以设计让学生分组试验，然后汇总数据，获得较多
的试验次数，如果次数还嫌不够，
有条件的学校可以在计算机上进行模拟试验，让学生通过更多试验次数
更好地感受稳定性。
二、教学实施中应注意的几个问题
1．关注对数学知识的理解
（1）本套教材注意从知识源头开始的学习与思考，重视知识的发
展过程。从现实情境中提出问题、形
成解决问题的意向（原发性思想），在实践活动中得到强化或不断地
修正，丰富个人的直接经验，它将成
为学生理解知识的支持系统。背景经验越丰富，知识的解释力也越强
，适用范围也更广，有利于灵活的支
配和运用，利于广泛迁移。例如，可以直接告诉学生抛一枚均匀的硬
币，正面朝上的概率是二分之一，但
可能缺少对概率意义的深刻理解。
强调直接经验
的重要作用，并不意味着理性分析和理性思考不重要。例如，通过亲历“小车下滑的时间”
的试验，实测
出数据，若不进一步深入思考，很难发现变量之间的相依关系，数据也便失去了价值。教学
中在活动前应
让每位学生明确，将要进行的活动目的是什么？要解决的问题是什么？甚至应鼓励对活动的
结果形成预期
或猜想，增强活动中的智力投资。
（2）课本里的数学知识是被客观化了的知识，而每个人自
己积累的数学经验通常都带有个体的特征，
对同一事物的看法也会存在差别。因此，交流就不能停留在形
式上。例如，多数学生利用尺规作一条线段
等于已知线段展示给大家后，有同学有如下作法：平面内作出
一个点，以此点为圆心，已知线段为半径作
圆，此圆的任意一条半径都为所求，则可以对此展开讨论。
2．教学要有准确定位，提高实效性
《三角形》一章的学习活动，为三角形
性质的探索提供了广阔空间，如果仅定位在课本所呈现的现成知
识的重新发现，或落实在说理证明上，那
么合情推理能力的培养难免被淡化，问题意识与创新精神的培养
又将失去一次良好的机会。
八年级上册教材分析
一、教材总体思路分析
1．本册书的主要内容有：
实数、一次函数、二元一次方程组；勾股定理、图形的平移与旋转、四边形、
位置的确定；数据的代表。
其中无理数的发现、实数系统的建立和函数概念是本学段知识的重点也是和难点，实数是进一步
学习
的基础；而函数以及函数思想与其他知识的广泛联系也是重心之一。
勾股定理及
其逆定理是初等几何中最基本、最重要的定理之一。通过拼、摆或图形的割、补，使得这
一重要几何事实
得以确认。由于发现及证实它成立的方式非常多且富于变化，因此对学生有很大的吸引力。
《图形的平移
与旋转》是新增加的内容，通过学习，可以把静止的图形看成是基本图形经过位移而得到，
提供了对复杂
图形进行分析的新视角，还可以对“几何变换”有直观的感受。《位置的确定》从源头上突
出了坐标法产
生的思想，直角坐标系是实现坐标法的一种选择，建立坐标系把数轴拓展到平面，是数形结
合与转化的桥
梁。“变化的鱼”以直观生动的形式加强了几何变换与坐标表示及坐标变化联系起来，从数
与形两个方面
感受图形变化的数学内涵。
在统计与概率领域，本册提供了刻画数据平均水平的三种量度，力
图让学生掌握一定的数据分析的方
法，更好地处理数据。
2．教材设计与内容的组织有如下考虑。
（1）无理数的发现可以从理论的角度引发，出现在
勾股定理之前。教科书遵循了人类认识数学的历史
顺序，把勾股定理放在实数学习的前面
，成为发现无理数的直观背景，自然地表明无理数存在的客观性，
同时对无理数研究的必要性作出合理的
解释。实数集中的实数与数轴上的点一一对应并不像想像的那样容
易被学生接受，说服的办法也是借助几
何解释和理性思考。这样处理须注意在学习勾股定理时，边长的数
据应暂时在有理数范围内选取，在此两
章学完之后，可以回过头来在实数范围内重新讨论勾股定理及其应
用。在我们讨论一个平方等于2的数时
，发现它是一个无限不循环小数，进一步引出无理数的定义。无理
数概念的产生，同时也是对有理数概念
的强调，应重视在现实背景中对实数运算意义的理解和应用，加强
对估算的要求。
（
2）先研究图形的平移和旋转，再进行四边形性质的探索，这样几何变换就不仅仅是一个具体的知识
点，
而且作为一个工具去研究几何图形（如平行四边形）的性质，增加了一个考察问题的视角。在《图形
的平
移与旋转》一章中，通过观察和归纳，概括出变换的概念；通过操作和思考，探索出变换的相关性质；
通
过作图和图案设计体察复杂图形中部分与整体之间的关系；在下一章中通过探索四边形的性质加深对变
换
自身的理解，逐步形成结构性认识。教学中突出其方法特性，充分发挥其数学教育价值。
（
3）一次函数的学习放在二元一次方程组的前面，有两个好处：首先，可以使得学生有机会尝试借助
图象
研究函数特征的过程，以加深对函数意义的理解；其次，用函数的观点来认识和考察二元一次方程（方
程
组），给出方程的一种直观解释，而且从方法的角度更具有一般性和启发性，也体现了函数的运用。教
材
中介绍了二元一次方程组的图象解法，其主要价值不在于得到方程组的近似解，图象解法从整体上展示
了
方程组及其解的几何意义，揭示了图象方法的作用，这种思想方法对以后的高次方程、无理方程、超越
方
程及其解，求近似解以及求解不等式等方面有广泛应用。教学中在学完这两章后应组织学生认真思考与
总
结。
（4）教科书还是从学生熟悉的平均数入手，通过变式引入加权平均的概念，再通过实际
生活中的一个
现象，揭示出不同的场合，可能需要不同的数据代表，因而引出了中位数和众数的概念，接
着在实际运用
中比较各个数据的代表数。
二、教学实施中应注意的几个问题
1．关注学生对数学知识的理解
本学期中实数系统的建立和函数概念的形成，对于八年级学生都具有挑战性。
对实数的理解是
在学习了有理数的基础上进行的，首先应当清楚什么是有理数。由勾股定理引发出一
种新的数，这种新的
“数”是客观存在的，如面积为2的正方形的边长a究竟是多少？这种新的数是什么，
是怎样的？（提出
明确 的问题）；通过计算列表探索a和面积的范围，a可能是有限小数吗？结合教材的
“读一读”和“
做一做”（思考做出判断的依据）；通过开平方，开立方的学习感受到无理数（事实上是
“非有理数”）
有无穷多个；对实数的理解可以依托实数轴；反思总结（无理数的来源是直观的，而处理
是理性的、数学
化的）。教学中应充分体现知识的发生过程，关注在知识发生过程中对知识的理解。
2．教学中要有准确的定位
教材重视情境设计、重视学生的数学活动，通过学生外在的行为表
现关注他们在探索过程中思考什么，
是怎样想的，关注在“做”中的内化。只有了解和研究学生，才能切
中要害进行有效的指导。
对教材作整体性分析，要抓准每一单元、每一课时的核心内容，作出准确的定位。
如学习《勾
股定理》的目标，不仅是记住公式和结论，重点放在探索过程中对定理及其逆定理的理解，
在数学活动中
取得数学经验，积累探索问题的一般策略，在“拼图实验”中领悟方法的适用条件和方法的
可靠性，还应
感受方法的来源和原理。学生获得的不仅是定理的内容，还获得了数学思考的经验。知识是
客观的、容易
交流的，而经验是个人的，带有个性特征，后者也应纳入教学目标。
在《图形的平移与旋转》
一章中，平移和旋转不仅仅是知识点，它们还是探索活动的工具和观察思考
问题的视角。把教学关注点引
向觉察复杂图形、图案中部分（基本图形）与整体的结构关系上，提高视觉
思维的能力和水平。在《四边
形性质探索》中再次提供这种活动的机会。研究对象是直观的，但探索活动
是对图形的分析和解释（以变
换为工具），是理性的，蕴含着结论的正确性、合理性。
《数据的代表》的教
学中，和其他统计内容的教学一样，应关注学生的统计活动，只是本册在统计活
动中，最终的数学处理定
位于“数据的代表数”上。当然，这里的数，都是具体的数据，因此，教学中应
关注现实情境的挖掘，呈
现一些现实的、有一定教育价值的情境。对于几个不同的代表数，要求学生领会
其意义，了解各自的特点
，并能根据具体情况选择使用即可。
八年级下册教材分析
一、教材总体思路分析
1．本册书的主要内容有：一元一次不等式（组）、分解因式、分式；相似图形、证明（一）；数据的
收
集与处理。
《一元一次不等式（组）》是在学习过一次方程、一次函数的基础上进行的，因此
从不等式与函数、
方程之间的内在联系，从数与形两方面进行整体性、概括性的思考，对本章的研究和理
解提供了广阔空间。
分解因式是多项式乘法的逆运算，其主要作用是变换代数式的形式，而形
式的变化也构成一种恒等关
系和意义的解释，对二次方程及二次函数的研究也产生影响。
《相似图形》是图形全等内容的深化与发展，提供了综合运用各种研究图形方法的机会。图形相似是
从现
实生活中大量存在的相似现象中抽象出来的一种直观表述，书中只给出了相似多边形的定义，它是最
为根
本的。就图形而言，三角形可以算作最基本图形，但相似三角形的定义则是特殊的。由于全等三角形
可以
看成相似三角形的特例，因此相似三角形的性质与判定可以与全等三角形相应内容进行类比。通过学
习，
可以感到对三角形的研究是认识与把握多边形特性的基础（一般的多边形可以通过“三角剖分”而视为
由
若干个三角形构成的），直角三角形比三角形更基本。至于位似，则更多地表现为“放大”与“缩小”，从
中可以引申出比例关系，或者说有利于学生理解比例的意义。
从《证明（一）》开始学习“
证明”。以往对证明的理解几乎成了“几何”的同义语，本套教科书把什么
是证明，怎样证明移向前台，
更好地体现了数学的两重性。数学有两个侧面，作为创造过程中的数学，看
起来像是一门试验性的归纳科
学，另一方面数学是欧几里得式的严谨科学，更像是一门系统的演绎科学。
这里，将学习的重心引向对数
学证明本身的学习，而不仅仅是几何证明，应当说提高了对数学证明的学习
要求。因此，本章关于证明的
必要性、公理的意义、证明的含义等应当成为学习的重点。
《数据的收集与处理》，在上一册
刻画数据平均水平的基础上，进一步提出刻画数据波动水平的几个
量度，从而让学生更全面地把握数据的
特征，同时提出数据收集的各种方法，感受样本估计总体的思想。
2．本册在教材设计与内容的组织上有如下考虑。
（1）在《一元一次不等式（组）》中，不
等式是不等关系的一种数学表示，现实生活中又存在大量不
等关系，让学生在丰富的实际背景中进行学习
，这时应关注数学的“表示”和数学的“应用”。在求解不等式
的活动中，关注不同知识
内在的实质性联系，加深对方程、函数、不等式等知识数学含义的理解，通过它
们之间的相互解释，形式
的转化，加深对数学知识结构性的理解。本章增设了“一元一次不等式与一次函数”
一节，第6节后设置
了“读一读”（不等式表示的平面区域）增加深度和弹性。
（2）分解因式是对多项式的进一
步认识。从运算角度，与多项式乘法互为逆运算；从恒等变形角度，
是同一个式子的不同形式；从学习的
角度，是一个从运算（过程）到对象（恒等关系）的转化。教材更关
注对分解因式的意义、作用的理解，
不在方法和技巧上过多耗费精力。不要求必须掌握“十字相乘法”，方
程的求解可以利用二次三项式求根
的办法得到一般性解决。
（3）《相似图形》是从现实世界中相似现象的观察与分析、概括与
抽象开始的，符合学生认知规律，
体现了数学化的进程。本章内容按“相似图形—相似多边形—相似三角
形—相似多边形的性质”的次序展开，
重要知识包括：线段的比、位似图形及位似中心与位似比。相似三
角形是本章的核心知识。本章内容不要
求严格的几何证明，重点放在对图形性质的探索、发现以及应用上
。由于几何中视觉思维占主导地位，应
特别关注几何直觉与合情推理能力的发展上。
（4）《证明（一）》
数学史家H•伊夫斯指出，历史上几何学的发现经历了三个阶段：无意
识的几何学、科学的几何学和论
证的几何学。通过对自然现象的观察、简单工艺劳作在无意中熟悉了大量
几何概念和事实（如圆、角、平
行线、三角形、距离以及两点间直线段最短）；随后归纳出一系列几何事
实，这些结论经反复实验或实践
的验证，成为一种经验几何；对这些经验进行理性思考，提出“为什么”
的质疑时，就出现了论证或演绎形
式的几何学。这个发展过程说明了几何知识的经验来源，同时还应当认
识到对于归纳得到的结果，不进行
严格论证很容易产生纰漏，无法保证不出现理论上的错误。本章中“你
能肯定吗？”就是为了理解证明的必
要性而设置的，其重要性在于形成科学的态度和理性精神。
按《标准》要求，教材构建了一个“局部的公理体系”，从给定的公理（作为推理的起点和依据
）及有
关概念出发，通过逻辑推演重新证明了平行线和三角形有关的结论。从本章开始，相关内容的证明
都应按
规范形式书写。公理化方法只要求体会其基本思想。
（5）《数据的收集与处
理》仍按照统计活动的顺序：数据的收集—表示—处理—决策，即按问题解决
的过程展开。相关概念是在
实际背景中自然地引申出来，利于理解也便于运用。教学中要充分利用正面和
反面的实例以澄清模糊认识
或误导。
二、教学中应注意的几个问题
1．关注学生对数学知识的理解
（1）注意一次方程、一次函数、一次不等式（组）概念上的差别，关注它们之间的内在联系和综合运
用
（如第一章第5节中的“做一做”和习题1.6中第2题）。
（2）在分式变
形和运算中，适当时机提出分解因式的作用。分式方程中应领会转化为整式方程的思想
方法，领会产生增
根的原因及验根的必要性。分式方程部分还提供了学习“建模”的机会。
（3）重视对图形的
探索活动，不仅可以发现几何事实，而且还能提示证明的线索和产生证明的方法（如
添加辅助线、部分进
行位移），直观猜测与证明相辅相成。
几何证明的必要性不仅是避免判断失误，还在于对知识
之间逻辑关系的把握。逻辑论证是由数学的本
质与特性所决定的。学习证明不局限于学会证明具体的命题
，体现了一种科学理性精神。
2．教学中注意数学思想的渗透
（1）欧式
几何诞生前的几百年间，人们已经发现了大量的几何事实，其中也不乏采用三段论或证明的
命题。欧几里
得的功绩不在于发现了新的重要的几何事实，而在于对这些几何事实进行逻辑重组。当时希
腊人形成了一
种观念：一个合乎逻辑的学科，是由一组在学科研究开始时由公认的原始命题出发，通过演
绎推理而得到
一系列命题。由演绎法进行论证时，任何命题必须由前面的一个或几个命题推导出来，前面
的命题必须由
更前面的一个或几个命题推导出来。由于不可能无限地追溯下去，同时又不能造成逻辑上的
循环，所以必
须确定一组可被公认的原始命题（公理），然后完全由演绎推理导出该系统的所有命题。原
始命题及导出
命题需要使用明确规定的专门术语，而术语也需要由另外一些术语来定义，由此必须确定一
组基本术语（
原始概念），并对它们的用法做出解释。“几何不只是数学的一个分支，而且是一种思维方式，
它渗透到
数学的所有分支……”（阿蒂亚）。
（2）通过统计活动使学生感受到：统计学更多是以归纳
的方法对数据进行整理、分析和判断；数据既
是真实的又带有随机性；数据处理可采用不同的方法，所选
用的方法本身并无对错之分，重要的是能否依
据实际情况来选择更加科学合理的办法；抽样是通过样本所
提供的信息去推断总体的某些性质，抽样最关
心的是能否客观地反映实际（总体）的状况。
九年级上册教材分析
一、教材总体思路分析
1．本册书的主要内容有：一
元二次方程、反比例函数；《证明（二）》、《证明（三）》、视图与投
影；频率与概率。
一元二次方程式刻画现实世界的一个重要数学模型，是第三学段的核心内容之一。通过该内容的学习，
让
学生进一步领会“方程”的数学意义。在具体情境中寻求方程的近似解，以及求根公式的导出和对其形
成
的认知，可以帮助学生认识解方程的思想、方法，同时，也加深对“实数”的再认识，重视对估算意识
和
能力的培养。这对二次函数的研究也做了必要的铺垫。
反比例函数的建立过程，可以使学生再
次体验“函数”的形成过程——概括原型的本质属性、抽象出
函数的表达式，以及讨论图
象的性质，进一步加深对函数概念的理解。
《证明（二）》、《证明（三）》的学习，可以使
学生在原有基础上加强逻辑推理的训练，了解相关
几何结论之间的逻辑关系，进一步感受公理化思想和演
绎推理的意义与价值，增强科学理性精神，提高准
确表达论证过程的技能。
《视图与
投影》内容贴近生活经验，可以使学生在了解有关几何体的不同视图、以及学习投影有关知
识的过程中，
直接感受到“数学化”的主要历程，提高把握空间的能力，发展空间观念。
《频率与概率》进
一步通过有趣的实例、操作活动考察事件发生的频率与概率的关系，让学生进一步
领会随机性中隐含着一
定的规律性，切实感受这些不确定现象背后存在的规律性和随机性，加深学生对概
率的理解。
2．教材设计与内容组织的考虑
（1）“一元二次方程”是在问题解决过程中概括抽象得到的
，利用“夹逼”的方法估算问题的近似解，
所用方法体现了近似计算的重要思想。这种方法在研究无理数
时曾使用过，不难意识到二次方程的讨论是
在实数范围内进行的。
一元二次方程的
解法从不含一次项的简单方程入手，容易发现方程有解的条件。通过还原以递进的方
式引发配方法，进一
步得到方程解得一般共识，直观展示了问题解决的基本思路。把因式分解法作为方程
的一种特殊解法，重
点放在理解方程解的意义和处理一般方程的“降次思想”。
（2）《反比例函数》则通过建模
过程抽象出一类重要函数，这个函数迫使学生关注函数的定义域，首
次接触图象有间断点的函数。对反比
例函数性质的认识是在观察不同情形函数图象的共同特征，经过归纳
和理性分析后得到的，经历“数学化
”的过程，使学生对数学思考有了直观体验。
（3）《证明（二）》、《证明（三）》在熟
悉大量几何事实的基础上，帮助学生进一步体验几何证明
的基本要求和范式，以提高其准确表达论证过程
的技能；同时，还让他们感受探究几何事实的过程对证明
思路的启发与影响，使活动经验真正成为发现证
明思路的支持系统。教材设置了一些学生未曾思考过的新
命题，让学生经历发现、探索、证明的全过程。
教材提供大量机会引导学生对命题进行拓展、引申，进一
步思考和证明更具一般性的命题和规律，感受到
“抽象与推广”是数学的重要特征和思维方式。
（4）《投影与视图》用数学的眼光看待世界
，调动生活经验对影子现象的观察，发现不同光源对物体
影子的影响。将实物抽象为几何体，由点光源、
太阳光源抽象出“中心投影”、“平行投影”等数学概念。
通过数学化，使知识成为处理生活中和数学中
一些问题的工具，通过三维与二维图形的表示与转换发展空
间观念，构成进一步学习“几何学”的基础。
（5）《频率与概率》在已有知识和活动经验基础上，以涉及两步试验的问题为切入口，继续以
实验概
率为认识的主线，动态地考察频率随试验次数变化所表现出来的规律性，得到概率的估算值。在此
基础上，
在等可能性条件下利用树状图或列表法，统计“所有可能出现的种数”及“事件
发生情况的种数”，用古
典概型计算出概率，进一步感受“频率与概率之间的关系”，以此为基础可以理
论地研究相对复杂一些的
“两步或两步以上试验发生的概率”，也可以利用频率的稳定性估计一些随机事
件发生的概率。而第4节，
更是通过试验频率与理论概率之间关系的分析，力图揭示统计推断的一些理论
依据，加强统计与概率的联
系。
二、教学实施中应注意的几个问题
1．关注对数学知识的理解
（1）在学习求解一元二次方程方法（包括求近似解）的过程中，
应使学生感受到由简到繁进行思考和
处置问题的思路，领会推导过程的原理和依据，不宜只进行程序性运
算训练。第2节中的“读一读”表明不
排斥对其他思想方法的探索。在处理应用问题时，要留有审题和独
立思考的时间，不要急于代替学生对数
量关系做出分析。鼓励不同的解题思路，必要时进行交流。
（2）研究反比例函数性质时，注意提高学生从图象中获取信息和清晰表达的能力。本章后面的
课题学
习有一定挑战性，体现了“做数学”的活动。
（3）学习几何证明，一是形成
证明思路；二是书面表达。前者应充分利用背景经验，体察其中几何证
明的基本策略，必要时进行思想策
略的交流和评议。“证明”是基于对问题自身和图形的分析，发现不同知
识之间的内在逻辑关系，有助于
形成知识结构。不是对“解题术”中所罗列的各类方法的检索和匹配。对于
后者，证明的表述要严谨、縝
密、简洁、规范，要经得起推敲和质问，对此，需要做相应的训练。
学习命题的拓展、引申、
推广，意图是养成主动思考的习惯（如，逆命题成立吗？图形变化时结论能保
持吗？极端情形呢？变换某
些条件后情形怎样？考虑更一般的情形，……）。突出体现了数学思维方式。
2．教学中要准确定位，提高有效性
（1）《证明（二）》与《证明（三）》的差别不仅仅是
对象的变化，由研究三角形到平行四边形。四
边形中很多问题可以通过作辅助线或三角剖分（类似于拼、
摆的活动），通过发现全等三角形获得解决的。
要训练识别复杂图形中基本图形（或要素）之间的结构关
系（如三角型中位线定理的证明）。《证明（三）》
开始时不妨讨论问题：以前的探索已经知道了很多有
关平行四边形的命题，其中哪些可以直接进行证明，
哪些命题还需要先“补证”相关的定理，做出一个清
理。有两种选择：其一是由教师按证明的逻辑顺序排列
出来交给学生；另一种是让学生分析思考充分讨论
，整理出证明的逻辑顺序，形成对知识体系的一种认识，
这是一个知识重组的过程。不妨作为“试一试”
由学生自己去完成，利于对公理化方法的解释。
（2）《频率与概率》中，有些比较复杂的问
题可以计算出理论概率，当超过学生接受能力时（如“生日
问题”），可以采用实物进行操作试验或用模
拟试验的方法得出概率的估计值。在进行试验前一定要求每位
学生明确要解决问题的数学意义，清楚解决
方法的思路和原理，甚至允许对试验结果猜测其大致范围，做
出预期，增强对活动全过程的关切程度，避
免部分学生参与试验的盲目性。试验完成后进行反思和交流。
九年级下册教材分析
一、教材总体思路分析
1．本册书的主要内容主要有：二次函数；直角三角形的边角关系、圆；统计与概率。
二次函
数的学习是在学习一次函数、反比例函数基础上进行的，学生对于函数概念的认识、研究函数
的方法已积
累了一定的经验。通过学习，在丰富的现实背景中领会研究二次函数的重要性和必要性，经过
探究认识二
次函数的基本特性的过程，进一步积累研究函数的基本方法，为以后的学习打下必要的基础，
同时，也感
受数学与数学的其他内容、以及与其他学科的联系。关注用从函数的角度考察问题，在问题求
解过程中领
悟函数的应用价值。二次函数是一个重要的初等函数，对二次函数的讨论为进一步学习函数，
体会函数思想奠定基础。
在研究直角三角形的边角关系过程中，在锐角函数值与边的比值
之间建立联系，形成概念，并用数学
符号做出表示，便于说明和解决许多涉及三角形计算与测量的实际问
题。教材把解三角形的知识融入到现
实背景中，可以结合比、比例、图形相似等知识的综合运用和说理证
明，加深理解，为进一步学习“三角
函数”作好理论准备。
对于圆的学习，则充分利
用圆的对称性，用对称的观点观察图形，以“变换”为工具深入探索，获得
一批几何事实。关注圆与直线
形之间的内在联系，形成对圆和几何图形的整体性认识。探索活动中关注识
别复杂图形中几何要素和基本
图形（特别是直角三角形）之间的关系，关注图形的整体结构和运动变化（图
形的位置关系），用已有的
知识进行说理，确认有关结论。
《统计与概率》一章中，主要目的是对前面学过的内容进行回
顾与整理，进一步运用已有知识对现实
问题和现象进行观察与思考，重新认识知识之间的联系，关注试验
操作与理论计算之间的关系和概率与统
计之间的内在联系。
2．教材设计与内容组织的考虑
（1）二次函数是一个重要的初等函数，对它的讨论是从最简
单的二次幂函数开始的，研究它的图象和
性质。一般的二次函数可通过配方变形做出解释，对图象的研究
则是从最简情形的图象出发，经平移或轴
对称变换（a﹤0时）得到（以顶点坐标为标志）一般情形下的
函数图象。
明确函数的三种表示形式，体现了“数学多重表示和多种意义”的特征，便于从不
同侧面对函数性质
的觉察和从不同角度的整合中对二次函数形成整体性认识。用图象法研究一元二次方程
的近似解，主要目
的是渗透数形结合思想、让学生了解研究一般方程解的基本方法，发展估算能力，帮助
他们进一步从函数
的角度认识方程的解的含义，这些都有重要教育价值。
教材引入具有挑战性
的应用性问题，目的是开阔视野，培养“用数学眼光观察事物”的习惯，提高对问题
深入分析并进行数学
表示的能力，提高“用数学”意识和水平。
（2）为了能够准确刻画物体的倾斜程度及对坐标
平面中直线“斜率”几何意义的理解，在直角三角形
中先引入“锐角的正切”更容易为学生所接受。接下
来讨论正弦、余弦及“锐角三角函数”的概念，这是
一个数学化的过程。此时的“三角函数”实际上是“
三角比”。知识的发生是为了适应测量和计算的需要，
教材通过三角函数的简单应用，巩固知识和加深理
解，再现了“三角学”源起的历史进程。
（3）教材把《圆》放在几何学习的最后，不仅仅是
图形比较复杂。由于对圆的研究需要借助直线形的
有关知识，希望从图形性质的研究和图形位置关系的讨
论为载体，对整个初中阶段中的几何知识，特别是
研究方法进行回顾与提升。
几何
学习有两条主线，有关图形性质的知识和研究图形的方法。知识的展开是由简单到复杂；研究方
法可以是
实验—论证，或从公理出发进行逻辑推演即演绎法。本套教材倾向于在实践探索的基础上进行归
纳和论证
，采取合情推理与逻辑推理相结合的方式，融几何方法于数学活动过程之中，关注学生创新能力
的发展。
在《圆》的学习过程中，充分利用圆的最本质特性——对称，用变换的方法进行探索与发现，
将通过
观察、试验、归纳、概括、说理、证明等活动积累的数学经验也纳入教学目标之中。
（4）在初中阶段，概率的学习从实验概率为主线，并在体验随机性和统计规律性的基础上，用列表法
或
树状图进行理论计算。统计的学习定位于在统计活动的学习，形成统计的意识（用数据说话）和随机观
念
。因此对知识的回顾与整理不是采用罗列性的表述，而是在探究一些有趣的问题中加深体验，学会独立
思
考和质疑，学会理性的判断和决策。教材中还通过实例让学生感受平均收益的含义，渗透“数学期望”
的
概念。
二、教学中应注意的几个问题
1．关注对数学知识的理解
（1）对函数的认识是从七年级下学期开始的，引导学生关注变量之间的相依关系，八年级给出了函数
的概念，介绍了一次函数和正比例函数，九年级学习了反比例函数和二次函数。重视对函数实质的理 解和
用函数的观点进行观察分析与运用。初中阶段对函数的定义（变量——对应）在二次函数最后的“读 一读”
中出现，明确的将函数从“关系”中分离出来。领悟函数的实质是教学的重点。
（2）在学习《圆》的过程中，应加深对图形性质内在联系的理解，关注图形的位置关系和结构性关系
的 认识。在探究的基础之上，可以让学生进行适当的几何证明，但不作统一的要求。
（3）在《 统计与概率》一章中，讨论了生活中出现的一些现象和问题，也包括某些广告宣传中的误导。
要学会理性 的看待问题，用数据说话，学会用数学的眼光进行合理质疑和进行科学判断。体会随机现象背
后的规律性 和规律性中存在的随机性，体会概率与统计的内在联系。
2．重视反思与知识的重组
义务教育阶段所学的数学知识更贴近学生的生活经验。通过任务或问题驱动，教材提供了数学活 动的
线索，学生经历知识的发生和发展过程，个人的素质得到更为全面的发展。
这种 教材内容的呈现方式与系统的知识传授相比，显得知识的系统性不强。其实这正如数学历史上所
发生的情 形，知识的系统化是在知识产生之后进行的（如欧式几何、微积分）；更重要的，知识的系统性
不应当简 单地由老师（教材）告之学生，而应当让学生自己经历“系统化”的过程。因此，在初中阶段的
最后学习 过程中，尤其应重视反思与总结，对知识进行再组，形成符合逻辑的系统知识。这个活动要在教
师指导下 进行，力图使得客观的知识结构成为学生自己头脑中的主观结构，而重组的活动经历成为学生重
要的学习 经验，使得学生由“学会”发展到“会学”。