乡镇卫生院招聘-四年级评语

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辅助角公式
asin

bcos
a
2
b
2
sin(



)

在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化
asin

bcos

为一个角
的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、 单调区间等.为了帮助学
生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式
asin

bcos

=
a
2
b
2
sin(



)
或
asin

bcos

=
a
2
b
2
·
cos(



)
,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个
学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘
记,教师还得重推!本 文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决
问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同 时说明“辅助角”的范围和常见的取
角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵 活应用,优化
解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助
角 与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.
一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下
1.引例
例1 求证：
3
s in

+cos

=2sin（

+

）=2cos（

-）.
63
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右 “凑”,使等式得到证明,并得出
结论:
可见,
3
sin

+cos

可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin

+bcos

是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
2.辅助角公式的推导
例2 化
asin

bcos

为一个角的一个三角函数的形式.
解: asin

+bcos

=
a
2
b
2
(
b
a
ab
2
22
sin
+
b
ab
22
cos

),
① 令
a
ab
22
=cos

,
ab
2< br>=sin

,
则asin

+bcos

=
=
a
2
b
2
(sin

cos

+cos

sin

)
a
2
b< br>2
sin(

+

),(其中tan

=< br>b
)
a
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② 令
a
ab
22
=sin

,
b
ab
2 2
=cos

,则
asin

+bcos

=
a
2
b
2
(sin

sin
+cos

cos

)=
a
2
b
2
cos(

-

),(其中tan

=
a
)
b
其中

的大小可以由sin

、cos
的符号确定

的象限,再由tan

的值求
出.或由 tan

=
b
和(a,b)所在的象限来确定.
a
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:一是为什 么要令
a
ab
22
=cos

,
b
a b
22
=sin

?让学生费解.二是这种 “规定”式的推
导,学生难记易忘、易错!
二.让辅助角公式
asin
< br>bcos

=
a
2
b
2
sin(



)
来得更自然
能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我 多少年来一直思考的问题.2009
年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定 义衔接又通俗易
懂的教学推导方法.
首先要说明，若a=0或b=0时，
asin< br>
函数的形式，无需化简.故有ab≠0.
1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,
则总有一个角

,它的终边经过 点P.设
OP=r,r=
sin

=
bcos

已经是一个角的一个三角
y


的终边


r
P(a,b)
ab
22
,由三角函数的定义知
,
O
b
b
=
r
a
2
b
2
a
ab
2
x
图1
a
cos

=

r
2
.
所以a sin

+bcos

==
=
2
a
2b
2
cos

sin

+
a
2< br>b
2
sin

cos


2
b
absin(



)
.(其中t an

=)
a
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2. 若在平面直角坐标系中,以b为
横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),
如图2所示,则 总有一个角

的终边经过
点P(b,a),设OP=r,则r=
角函数的定义 知
y

的终边


P(b,a)
r
a
2
b
2
.由三
,
O
a
a
sin

==
r
a
2b
2
b
b
cos

==
r
a
2
b
2
asin

+bcos

=
=
例3 化
.
x
图2
a
2
b
2
sin

sin

a
2
b
2
cos

cos


a
abcos(



)
. (其中tan

=)
b
22
3sin

cos

为一个角的一个三角函数的形式.
3
,1),设角 解:在坐标系中描点P(
=r=

的终边过点P,则OP

3< br>2
1
2
=

=
3
1
,cos
=.
2
2
∴
3
.
3sin< br>
cos

=2cos

sin

+2s in

cos

=2sin(



). tan

=
3



6
2k

,∴
3sin

cos

=2sin(


a
ab
22

6
).
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式
asin

2
+bcos

=
a
2
b
2
(sin

+
b
ab
22
cos

)=
b
absin(



)
,(其中tan
=).或者
a
2
asin

2
+bcos

=
a
2
b
2
(
a
ab
22< br>sin

+
b
ab
22
cos

)=
a
abcos(



)
,(其中tan< br>
=)
b
2
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我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解
asin

+bcos

凑成
ab
22
(
a
ab
22
sin

+
b
ab
22
cos

)的 道理,以
及为什么只有两种形式的结果.
例4 化
sin

3cos

为一个角的一个三角函数的形式.
3
)在第四象限.OP=2.设角解法一:点(1,-

过P点.则
sin


3
1
,
cos


.满足 条件的最小正角为
2
2
5
5

,


2k

,kZ.

3
3
13
 sin

3cos

2(sin

cos

)2(sin

cos

cos

sin
)
22
55
2sin(



) 2sin(



2k

)2sin(
< br>

).
33
解法二:点P(-
3
,1)在第二象限 ,OP=2,设角

过P点.则
sin


1
2< br>,
cos


3
2
.满足条件的最小正角为
5
5

,



2k

,k Z.

6
6
13
sin

3cos

2(sin

cos

)2(sin

s in

cos

cos

)
22
55< br>2cos(



)2cos(



2k

)2cos(



).
66

三.关于辅助角的范围问题
由
asin

bcos< br>
a
2
b
2
sin(


< br>)
中,点P(a,b)的位置可知,终
边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象 限、第二象限、第三象限、第四象限).
设满足条件的最小正角为

1
,则



1
2k

.由诱导公式(一)知
asin

bcos

a
2
b
2
sin(



)a
2
b
2
sin(



1
)
．其
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b
中

1
(0,2

)
，
tan

1

，

1
的具体位置由
sin

1
与
cos

1
决定，

1
的大
a
小由
tan

1
b

决定．
a
bcos

a
2
 b
2
cos(



)
，（ｂ，

的终边过点Ｐ类似地，
asin

ａ），设满足条件的最小正角为

2
，则



2
2k

.
由 诱导公式有
asin

bcos

a
2
b
2
cos(



)a
2
b
2
cos(



2
)
，其
中

2
(0,2

)
，
tan

2

a
，

2
的位置由
sin

2
和
cos

2
确定，

2
的大小
b
a
由
tan

2

确定．
b
注意：① 一般地，

1


2
；②以后没有特别说明时，角

1
（或

2
）是所
求的辅助角．
四．关于辅助角公式的灵活应用
引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果 是化为正弦还
是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为
a sin

bcos

a
2
b
2
si n(



1
)
的形式或
asin
bcos

a
2
b
2
cos(



2
)
的形式．可以利用两角和与差的正、
余弦公式灵活处理．
例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．
（１）
3sin

cos

；
2
< br>6

sin(

)cos(

)
． （２）
6363
3sin

cos

2(
解： （１）
31
sin

cos

)
22
 2(sin

cos

cos

sin)2sin(< br>
)
666


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2

6

sin (

)cos(

)
6363
21

3

[sin(

)cos(

)]
3 2323
（２）
2

[sin(

)cos cos(

)sin]
33333
22

sin(< br>
)
33
在本例第（１）小题中，
a
１），而取的是点Ｐ（< br>们可以取Ｐ（
3
，
b1
，我们并没有取点Ｐ（
3
，－
．也就是说，当
a
、
b
中至少有一个是负值时．我
3
，１）
）．这样确定的角

1
（或

2
） 是锐角，，或者Ｐ（
b
，
aa
，
b
）
就更加方便．
例6 已知向量
a

1
(cos(x),1)
,b(cos(x),)
,
332
c(sin(x),0)
, 求函数
h(x)
=
abbc2
的最大值及相应的
x
3
的值.
解:
h(x)cos
2


1

(x)sin(x)cos(x)2

3233
2
1cos(2x

)
3

1
sin(2x
2

)
3
=
2232
=

=

1212
cos(2x
)sin(2x

)2

2323
22222
[ cos(2x

)sin(2x

)]2

22323
211
cos(2x

)2
=
212
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h(x)
max

这时
2x
2
2.

2
1111
< br>2k

,xk



.kZ
.
1224
此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.
五.与辅助角有关的应用题
与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围 ,在相应
范围内求三角函数的最值往往是个难点.
例7 如图3,记扇OAB的中心角为45

,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇
形,求矩形的对角线
l< br>的最小值.

解:连结OM,设∠AOM=
N
B
M

.则

O
MQ=
sin

,OQ=< br>cos

,OP=PN=
sin

.
PQ=OQ- OP=
cos

sin

.



Q
A
l
2
MQ
2
PQ
2


=
sin
2

(cos

si n

)
2

31
=
(sin2

cos2

)

22

35
1

1
sin(2



1
)
,其中
tan

1

,

1< br>(0,)
,

1
arctan
. =

22
222
1

1
0


,
arctan2



1
arctan.

4222

l
2
min
3551

,l
min

.
222
51
11
所以当


.
arctan
时, 矩形的对角线
l
的最小值为
2
422
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

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