杨雅筑-广告词赏析

三角恒等变换专题复习
教学目标：
1、能利用单位圆中的三角函数线推导出

2


,



的正弦、余弦 、正切的诱导公式；
2、理解同角三角函数的基本关系式： ；

3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。

教学重难点：
可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题

【基础知识】
一、同角的三大关系：
① 倒数关系 tan

?cot

=1 ② 商数关系
③ 平方关系
sin

cos

1

温馨提示：
（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画 直角三角形速解。[来
源:学+科+网]
（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“

”号。
二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
22
sin

cos

= tan

； = cot


cos

sin

k
< br>

,kz
的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面
2的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把
看作是锐角，
k



在第几象限，在这个象限的前面三角函数 的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）判断角。
2
用诱导公式化简，一般先把角化成
用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区 间
(0,360)
的角，再变到区间
00
(0
0
,180< br>0
)
的角，再变到区间
(0
0
,90
0
)< br>的角计算。
三、和角与差角公式 ：
sin(


)sin

cos

cos

sin
< br>;
cos(



)cos

cos< br>
msin

sin

;
tan

tan

tan(



)

1
m
tan

tan

变 用
tan

±
tan

=
tan
(

±

)(1
tan

tan

)
四、二倍角公式：
sin2

=
2sin

cos

.
cos2

c os
2

sin
2

2cos
2
< br>112sin
2

.
2tan


tan2


2
1tan

五、注意这些公式的来弄去脉

这些公式都可以由公式
cos(



) cos

cos

msin

sin

推 导出来。
六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如：逆用
sin

cos

cos

sin

sin(



)

sin

cos


1
sin2


2
变用
cos


2
1cos2

1cos2

1cos4

2
2

sin



cos2



222
七、合一变形（辅助角公式）
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
yAsin(

x

)B
形式。
sin

cos

2

2
sin





，其中
tan


八、万能公式

．

1tan
2

2tan
2tan

cos2



s in2

tan2


1tan
2

1tan
2

1tan
2

九、用
sin
，
cos

表示
tan

2
tan

2

sin

1cos



1cos

sin

十、积化和差与和差化积
积化和差
sin

cos

[sin(
< br>

)sin(



)]
；

cos

sin

[sin(


< br>)sin(



)]
；
cos
cos

[cos(



)cos(



)]
；
sin

sin

[cos(



)cos(



)]
.
和差化积
sin

sin

2s in



22




< br>sin

sin

sin

2cos

22





cos

cos

cos

2cos

22





sin

cos

cos

2sin

22

十一、方法总结
cos




1、三角恒等变换方法
观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）
（1） “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，
如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－
α+βα+ββα
α),α+β=2· , = (α－)－( －β)等.
2222
（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦
tan< br>

sin

cos

），
,cot

cos

sin

（3）“变式’指的是利用升幂 公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开
和合并等。
2、恒等式的证明方法灵活多样
①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式 一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,
即由繁到简.
②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.
左
③比较法, 即设法证明: 左边－右边=0或 =1
右
④分析法,从被 证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论
成立为止,则可以 判断原等式成立.
【例题精讲】
例1 已知

为第四象限角，化简：< br>cos

解：（1）因为

为第四象限角
1sin

1cos

sin


1sin

1cos

(1sin

)
2< br>(1cos

)
2
所以原式=
cos


sin

22
1sin

1cos


cos

1sin< br>
1cos

sin

1sin



1cos


cos

sin


cos

sin


例2 已知
270

360
，化简

1111
cos2< br>

2222
解：
270

360
，
cos

0,cos

2
0

所以 原式=
1cos

111cos2

11
cos
2
cos

cos
2


222
22222
例3 tan20°+4sin20°
sin20
0
2sin40
0
解 ：tan20°+4sin20°=
0
cos20
33
0
cos4 0sin40
0
000
sin(6040)2sin40
3cos20
0
22
3
=
0
00
cos20
cos20cos20

例4 （05天津）已知，求及．
解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
，即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故 ② 由①和②式得，
因此，，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，
解得 ，即 由可得
由于，且，故
?
在第二象限于是，
从而 以下同解法一
小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．
2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．
例5 已知为锐角的三个内角，两向量，，若与是共线向量.
（1）求的大小；
（2）求函数取最大值时，的大小.
解：（1）


，

（2）
，．
小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
例6 设关于
x
的方程
sinx
＋
cosx
＋
a
＝0在(0, 2
π
)内有相异二解
α
、
β
.
(1)求
α
的取值范围; (2)求
tan
(
α
＋
β
)的值.
解: (1 )∵
sinx
＋
cosx
＝2(
sinx
＋
cos x
)＝2
sin
(
x
＋), ∴方程化为
sin
(
x
＋)＝－.
∵方程
sinx
＋
cosx
＋
a
＝0在(0, 2
π
)内有相异二解, ∴
sin
(
x
＋)≠
sin
＝ .
又
sin
(
x
＋)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), ∴|－|<1 . 且－≠. 即|
a
|<2且
a
≠－.
∴
a
的取值范围是(－2, －)∪(－, 2).
(2) ∵
α
、
β
是方程的相异解, ∴
sinα
＋
cosα
＋
a
＝0 ①.
sinβ
＋
cosβ
＋
a
＝0 ②.
①－②得(
sinα
－
sinβ
)＋(
cosα
－
cosβ
)＝0. ∴ 2
sincos
－2
sin

sin
＝0, 又
sin
≠0, ∴
tan
＝.∴
tan
(
α
＋
β
)＝＝.
小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2
π
)这一条件.
例7 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围．
解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式．
任取，且，则不等式恒成立，即恒成立．化简得
由可知：，所以
上式恒成立的条件为：.
由于

且当时，，所以 ,
从而 ,
有 , 故 的取值范围为.

【基础精练】


π

3

α

1．已知α是锐角，且sin< br>
＋α

＝，则sin

＋π

的值等于( )

2

4

2

B．－

3π1－cos(α－π)
2．若－2π＜α＜－，则 的值是( )
22
ααα
A．sin B．cos C．－sin
222

2
cosα
·等于 ( )
cos(90°＋α)
A.－sinα B.－cosα α α

π
1＋2cos(2α－)
4
34.已知角α在第一象限且cosα＝，则等于 ( )
5π
sin(α＋)
2
2
D.－
5

5.定义运算

1π
a b

sinα sinβ

33
＝ad－bc.若cosα＝，
＝，0<β<α<，则β等于( )

c d

7

cosα cosβ

142
2

4
D．－
14

4
α
D．－cos
2


π
2
6.已知tanα和tan(－α)是方程ax＋bx＋c＝0的两个 根，则a、b、c的关系是 ( )
4
＝a＋c ＝a＋c ＝b＋a ＝ab

21－tan40°30′ 1
7.设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°co s38°，c＝，d＝
2
21＋tan40°30′2
(cos80°－2cos50 °＋1)，则a，b，c，d的大小关系为 ( )
＞b＞d＞c ＞a＞d＞c ＞a＞b＞c ＞a＞d＞b

1
2
8．函数y＝sin2x＋sinx，x∈R的值域是( )
2


9.若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝ .


2
2

4ααα
10.设α是第二象限的角，tanα＝－，且sin3222

11.已知sin(

5


x)=，04134
cos2x
cos(x)
4
的值。

12.若

,

(0,

)
，
cos



【拓展提高】
πxπ
2
πx
1、设函数f(x)＝sin(－)－2cos＋1
468
(1)求f(x)的最小正周期.
4
(2)若函数y＝g(x)与y ＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时y＝g(x)的最大值
3


25
2.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝
5
(1)求cos(α－β)的值；
ππ5
(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα.
2213






3、求证：
71
,tan


，求α+2β。
3
50
sin（2



）sin

－2 cos（α+β）=.
sin

sin








【基础精练参考答案】

ππ
1＋2(cos2αcos＋sin2αsin)
44
4．C【解析】原式＝
cos α

1＋cos2α＋sin2α2cosα＋2sinαcosα3414
＝＝ ＝2×(cosα＋sinα)＝2×(＋)＝.
cosαcosα555
33
【解 析】依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin (α－β)＝.
14
π13143
∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝. 又∵cosα＝，∴sinα＝.
21477
sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sin α·cos(α－β)－cosα·sin(α－β) ＝
3π
，∴β＝.
23
b
－
a
ππ
【解析】 ∴tan＝tan[(－α)＋α]＝＝1，
44c
1－
a
bc
∴－＝1－，∴－b＝a－c，∴c＝a＋b.
aa
【解析】a＝sin(56°－45°)＝sin11°，b＝－sin40°cos52 °＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)
1－tan40°30′1
22< br>＝sin12°，c＝＝cos81°＝sin9°，d＝(2cos40°－2sin40°)＝cos 80°＝sin10°
2
1＋tan40°30′2
∴b＞a＞d＞c.
π

111112

2
【解析】y＝sin2x＋sinx＝sin 2x－cos2x＋＝sin

2x－

＋，故选择C.
4

222222

πtanα＋tanβ
9. 【解析】由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得＝3，即tan(α＋β)＝3.
31－tanαtanβ
π
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
3
10. －
5αααα
解析：∵α是第二象限的角，∴可能在第一或第三象 限，又sin52222
1＋cosα5
＝－.
25
2
2
4313133
×－×＝
714714
α43α
限的角， ∴cos<0.∵tanα＝－，∴cosα＝－，∴cos＝－
2352

12.【解析】∵

,

(0,

)
，
cos


∴

,

(
ta n2β=
7
50
∴
tan


1313
(,0),tan

(,0),

7333
5

5

,

)
，α+2β
(,3
)
,又
2
6
2tan

3
tan
< br>tan2

11


tan(

2< br>
)1
,,[来源:]∴α+2β=
4
1tan

tan2

1tan
2

4
【拓展提高参考答案 】
πxππxππ3π3π
1、【解析】 (1)f(x)＝sincos－cossin－cosx＝sinx－cosx
464642424

2π
π
ππ
＝3sin(x－)，故f(x)的最小正周期为 T＝＝8
434
(2)法一：在y＝g(x)的图象上任取一点 (x，g(x))，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x)).
由题设条件，点(2－x，g(x ))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin[
πππππ
＝3si n[－x－]＝3cos(x＋)，
24343
4πππ2π4π3
当0≤x≤时， ≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间[0，]上的最大值为g(x)
max
＝3cos＝. < br>33433332
42
法二：因区间[0，]关于x＝1的对称区间为[，2]，且y＝ g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，
33
42ππ
故y＝g(x)在[0 ，]上的最大值为y＝f(x)在[，2]上的最大值，由(1)知f(x)＝3sin(x－)，
3 343
2ππππ4π3
当≤x≤2时，－≤x－≤，因此y＝g(x)在[0，]上的最大值 为g(x)
max
＝3sin＝.
36436362
2、【解析】(1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ).
25254
22
∵|a －b|＝，∴(cosα－cosβ)＋(sinα－sinβ)＝， 即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α
555
3
－β)＝.
5
ππ345
(2)∵0<α<，－<β<0，∴0<α－β<π，∵cos(α－β)＝，∴sin( α－β)＝ ∵sinβ＝－，
225513
12
∴cosβ＝，
134123533
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α －β)sinβ＝·＋·(－)＝
51351365



ππ
(2－x)－]
43