【解析 】角的关系式：
2



12124
4
3
∵
cos()，且
，∴
sin(

)

1252125

24
∴
sin2(

) 2sin(

)cos(

)

12121225

7
cos2(

)2cos
2< br>(

)1

12122 5
∴
cos（2

＋
2(



)

（和差与倍半的综合关系）

12
）.cos[2(< br>


12
)

4
]
＝
2

[cos2(

)sin2(

)]

21212

【变式4】已知
【答案】
2724312
< br>()
2252550



3

335

，
0


，
cos(

)
，
sin(



)
，求
sin(



)
的值。
4445413

4
56

65
【解析】∵

4


)
，
2445
33312
∵







， ∴
cos(



)
。
44413


0
， ∴
sin(
∴
sin(



)cos[


2
(



)]

3

cos[(



)(

)]
44
3

3


[cos(


)cos(

)sin(



)sin(
)]

4444
1235456
()
13513565

类型二：逆用公式
例3.求值：
（1）
sin43cos13cos43sin13
；
（2）
2cosx6sinx
；
1tan15
；
1tan15
44
（4）
(sin23cos8sin67cos98)(si n730

cos730

)
.
（3）
【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式.
【解析】 （1）原式=
sin(4313)sin30
（2）原式
22(c osx
1
；
2
13
sinx)22(sin30cosxc os30sinx)22sin(30x)
；
22
tan45tan15
tan(4515)tan603
； （3）原式

1tan45tan15

（4）原式
(s in23cos8cos23sin8)(sin
2
730

cos2
730

)(sin
2
730

cos< br>2
730

)

sin(238)(cos
2
730

sin
2
730

)

11
sin15cos15sin30
.
24
【点评】
①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公 式，二倍角公式等，即所谓“逆
用公式”。
②辅助角公式：
asin
bcos


举一反三：
【变式1】化简
sin163sin223sin253sin313
.
【答案】
a
2
b
2
sin(



)
，其中角

在公式变形过程中自然确定.
1

2
3
，那么
cos2

的值为（ ）
5< br>【变式2】已知
sin(



)cos

cos(



)sin


A．
71 8718
B． C．

D．


2525
2525
【答案】A；
【解析】∵
sin(



)cos

cos(


< br>)sin

sin[(



)
]sin(

)sin


∴
cos2

12sin


例4. 求值：
（1）
cos3 6cos72
；（2）
cos
2
3
，
5
7
.
25

23
cos

cos


777
【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.
【解析】
sin36
0
cos36
0
cos72
0
1sin72
0
cos72
0
1sin144
0
1

； （1）原式=
sin36
0
2sin36
0
4sin36
0
4
（2）原式=
cos
24
< br>24
cos

cos(



)cos cos

cos


777777

24
sincoscos

cos

7777


sin

7
224
sin

cos

co s

777


2sin
8
s in

7
...
8sin

1
8

7


7
【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后 一个角是前一个角的2倍；③最大角的2

倍与最小角的和与差是。三个条件缺一不可。 另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决
一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种 特征的结构，则可考虑采用这个方法。
举一反三：
【变式】求值：
（1）
cos20cos40cos80
；（2）
sin10sin30sin50s in70
.
【答案】（1）
【解析】
11
；（2）
8
16
2sin20

cos20

cos40

cos80

（1）原式=

2sin20
2sin40
0
cos40
0
cos80
0
2sin80
0cos80
0

=
00
22sin208sin20
sin160
0
1

=
8sin20
0
811
0
1
00000
（2）
sin10sin30sin5 0sin70cos80cos40cos20cos20cos40cos80

2216

类型三：变用公式
例5．求值：
（1）
ta n20tan403tan20tan40
；（2）
(1tan1
0
) (1tan2
0
)
【思路点拨】通过正切公式
tan(



)
0000
(1tan43
0
)(1tan44
0
)

tan

tan

，注意到tan

tan

,tan

tan
与
1tan

tan

tan(



)
之间的联系.
【解析】
tan20
0
tan40
0
3
， （1）
ta n60=tan(2040)
1tan20
0
tan40
0
0 00
tan20
0
tan40
0
3(1tan20
0
tan40
0
)


原式
3(1tan20
0
tan40
0
)3tan20
0
tan40
0
3
.
tan

tan

，
1t an

tan

(1tan

)(1tan

)2
，
(1tan

)(1tan

)2

（2 ）



45,1
0
(1tan1
0< br>)(1tan44
0
)2,(1tan2
0
)(1tan43
0
)2,

(1tan1
0
)(1tan2
0
)(1tan43
0
)(1tan44
0
)2
2 2
.
【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出
tan

tan

,tan

tan

与
tan(



)
三者间
的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题 ；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活
掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而 采取的办法，如：
tan451
，
sin

cos

1
.
举一反三：
【变式1】求值：
tan22tan23tan22tan23
= ．
【答案】1
【变式2】在
ABC
中，
tanBtanC 3tanBtanC3
,
3tanA3tanB1tanAtanB
，< br>22

试判断
ABC
的形状.
【答案】等腰三角形
【解析】由已知得
tanBtanC3(1tanBtanC)
,
3 (tanAtanB)(1tanAtanB)
,
即
tanBtanC
tanAtanB3
3
，，
 
1tanBtanC
1tanAtanB3
tan(BC)3
，
tan(AB)
3
，
3
0BC

,0AB

,
BC
又
ABC

,故
A
故
ABC
是顶角为

3
,AB5

,

6
2

,BC
,
36
2

的等腰三角形.
3
类型四：三角函数式的化简与求值

例6. 化简：
（1）< br>sin50(13tan10)
；(2）
2cos
2

1
2tan(

)sin(

)
44
2


【思路点拨】（1）中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；（2）中有 平方，而且角度之间也有关系，
(

)(

)
，所 以要用二倍角公式降次.
442
【解析】

3sin10
0
（1）原式
sin50(1)

cos10
0
00
0
cos103sin10

sin50
cos10
0
0000
0
sin30cos10c os30sin10
=
2sin50

cos10
0
0< br>2cos40
0
sin40
0
0
sin40
2si n50
0
cos10cos10
0

00
sin80c os10
1
cos10
0
cos10
0
cos2
0
（2）原式=
2tan(

)sin
2
[(

)]
424



cos2

2sin(

)

4
cos
2
(

)

4
cos(

)
4
cos2



2sin(

)cos(

)
44
cos2

cos2


sin(2

)
cos2

2
1
【点评】
①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函 数与每一
单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。 ②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：
 

cos
2


1cos2

1c os2

2
，
sin


.
22
举一反三：
【变式1】化简：
（1）
tan15cot15
；（2）
【答案】
1
13
0
tan10
； （3）

0
cos50
sin10sin80
sin15cos15sin
2
15 cos
2
152
4
； （1）原式=
cos15si n15cos15sin15sin30
13cos103sin104sin(3010 )
（2）原式=
4
；
sin10cos10sin10cos10 sin20
1sin10
0
1sin10
0
2cos40cos 80


（3）原式=
0
0000
sin80cos50cos10sin40sin80
cos402cos60
0
co s202cos30cos10
3
. =
0
sin80
sin80
3
π

【变式2】若
cos


，且

(0,)
，则
tan
___________. 522
3
π
4
2
【答案】由
cos


，

(0,)
，得
sin

1cos

，
525
3

1
sin2sin< br>2

5

1
.
2

2

1cos

tan
4
2
cos

2 sin

cos

sin

2
2225

11
，
tan


，且

,

(0,

)
，求
2



的值 .
27
【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑
2


正切值的计算，同时通过估算
2



的区间
例7．已知
tan(



)
求出正确的值.
【解析】
tan

tan(





)
tan(



)tan

1< br>
，
1tan(



)tan
3

而

(0,

)
，故
< br>(0,
又
tan



2
)
，
1

，

(0,

)
，故
< br>(,

)
，
72
从而


< br>


0
，
1


而
tan(



)0
，






，而
0


，
222
2









(

,0)
，
tan

tan (



)
又
tan(2



)tan[

(



)]1
，
1tan

tan(



)
3

2





4
【点评】对给值 求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的
范围，然后得出满足 条件的角．本例就是给值求角，关键是估算
2



的区间，给值求 角一定要将所求
角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，







，
2









，这些都要予以注意.
举一反三：
11
,tan


，

,< br>
为锐角，则

2

的值是（ ）
73

5


5

A. B. C. 或 D.


44
44
【变式1】已知
tan


【答案】A
21
tan

，
sin(



)
，求。
35
tan

2
【解析】∵
sin(



)sin

cos

cos< br>
sin


，
3
1
sin(



)sin

cos

cos
< br>sin


，
5
137
解得
sin

cos


,
cos

sin


，
3030
tan

sin

cos

13

. ∴tan

cos

sin

7
【变式2】已知
sin(



)