酒店管理专业描述-节目策划

辅助角公式
asin

bcos

a
2
b
2
sin(



)


在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化
asin

bco s

为一个角
的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了 帮助学
生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式
asin

b cos

=
a
2
b
2
sin(



)
或
asin

bcos

=< br>a
2
b
2
·
cos(


< br>)
,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个
学期不到,大部分 学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘
记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角 公式的另一种自然的推导,体现一种解决
问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角” 的范围和常见的取
角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助
角与原生角的范围关 系,以更好地掌握和使用公式.
一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下
1.引例
例1 求证：

3
sin

+cos

=2sin（

+
6

）=2cos（

-
3
）.
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出
结论:
可见,
3
sin

+cos

可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin

+bcos

是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
2.辅助角公式的推导
例2 化
asin

bcos

为一个角的一个三角函数的形式.
a
2
b
2
( 解: asin

+bcos< br>
=
a
ab
2
22
sin

+< br>b
ab
22
cos

),
① 令
aab
22
=cos

,
b
ab
2
=sin

,
则asin

+bcos

=22
a
2
b
2
(sin

cos

+cos

sin

)
b
=
absin(

+

),(其中tan

=)
a

1

② 令
a
ab
22=sin

,
b
ab
22
=cos

,则
asin

+bcos

=
a
2
 b
2
(sin

sin

+cos

co s

)=
a
2
b
2
cos(

-

),(其中tan

=
a
)
b
其中

的大小可以由sin

、cos

的符号确定

的象限,再由tan

的值求
出.或由tan

=
b
和(a,b)所在的象限来确定.
a
推导之后,是配套的例题和大量的练习. < br>但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令
a
ab
22
=cos

,
b
ab
22
=sin

?让学生费 解.二是这种 “规定”式的推
导,学生难记易忘、易错!
二.让辅助角公式
asi n

bcos

=
a
2
b
2
sin(



)
来得更自然
能否让让辅助角公式来得更 自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009
年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种 与三角函数的定义衔接又通俗易
懂的教学推导方法.
首先要说明，若a=0或b=0时，asin

函数的形式，无需化简.故有ab≠0.
1.在平面直角坐标系中, 以a为横坐
标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,
则总有一个角

,它的终边经过点P.设
22
OP=r,r=
ab
,由三角函数的定义知
bcos

已经是一个角的一个三角
y


的终边


r
P(a,b)
sin

=
b
b
=,
22
r
ab
.
O
图1
x
aa< br>cos

=

r
a
2
b
2
所以asin

+bcos

==
2
a
2
b
2
cos

sin

+
a
2b
2
sin

cos


2
b
=
absin(



)
.(其中tan

=)
a

2

2.若在 平面直角坐标系中,以b为
横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),
如图2所示,则总有 一个角

的终边经过
点P(b,a),设OP=r,则r=
角函数的定义知
y

的终边


P(b,a)
r
a
2
b
2
.由三
a
a
sin

==,
22
r
ab
b
b
cos

==.
22
r
ab
asin

+bcos

=
O
x
图2
a
2
b
2
sin

sin

a2
b
2
cos

cos


22
a
=
abcos(



)
. (其中tan

=)
b
例3 化
3sin

cos

为一个角的一个三角函数的形式.
解:在坐标系中描点P(
=r=
3
,1),设角

的终边过点P,则OP

3
2
3
1
1
2< br>=

=,cos

=.
2
2
∴
3
3sin

cos

=2cos

s in

+2sin

cos

=2sin(


).tan

=.
3


< br>6
2k

,∴

3sin

cos
=2sin(


).
6
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式
asin

2
+bcos

=
a
2
b
2
(
a
ab
22
sin

+
b
ab< br>22
cos

)=
b
absin(

< br>
)
,(其中tan

=).或者
a
2
a sin

2
+bcos

=
a
2
b2
(
a
ab
22
sin

+
bab
22
cos

)=
a
abcos(



)
,(其中tan

=)
b
2

3

我想这样的推导,学生理解起来会容易得 多,而且也更容易理解
asin

+bcos

凑成
ab
(
22
a
ab
22
sin

+
b
ab
22
cos

)的道理,以
及为什么只有两种形式 的结果.
例4 化
sin

3cos

为一个角的一个三角函数的形式.
解法一:点(1,-
3
)在第四象限.OP=2.设角

过P点.则
sin


3
2
,
cos


1
.满足条件的最小正角为
2
5
5

,



2k

,kZ.

3
3
13< br>sin

3cos

2(sin

cos< br>
)2(sin

cos

cos

s in

)
22
55
2sin(


< br>)2sin(



2k

)2sin(


).
33
解法二:点P(-
3
,1)在 第二象限,OP=2,设角

过P点.则
.满足条件的最小正角为
sin

1
3
,
cos


2
2
5
5

,



2k
,kZ.

6
6
13
sin

3cos

2(sin

cos

)2(sin
< br>sin

cos

cos

)
22
55
2cos(



)2cos(

< br>
2k

)2cos(



).66

三.关于辅助角的范围问题
由
asin

b cos

a
2
b
2
sin(


)
中,点P(a,b)的位置可知,终
边过点P(a,b)的角可能有四种情况 (第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).
设满足条件的最小正角为

1,则



1
2k

.由诱导公式(一)知
．其
asin

bcos

a
2
b
2
sin(



)a
2
b
2
sin(



1
)

4