景德镇七中-高中毕业留学

三角恒等变换专题
一、
知识点总结

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos





cos

cos

sin
< br>sin

；⑵
cos




< br>cos

cos

sin

sin
< br>；
⑶
sin





sin

cos

cos

sin

；⑷sin





sin

cos

cos

sin

；
⑸
tan





tan

tan


（
tan

tan

tan





1tan

ta n


）；
1tan

tan

ta n

tan



（
tan
< br>tan

tan





1tan

tan


）．
1tan
tan

⑹
tan






2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2

2si n

cos

．
1sin2

sin

cos

2sin

cos

(sin

cos

)

⑵
cos2

cos
2
222

sin
2

2cos2

112sin
2



,1co s

2sin
2

升幂公式
1cos

2cos
2

22
cos2

11cos2

2
，
sin


．

降幂公式
cos
2


22
⑶
tan2



2tan

．
21tan

万能公式:
α
2
α
2tan1tan< br>22
sinα cosα
αα
1tan
2
1tan
2
22
3、
半角公式:

α1cosαα1cosα
cos;sin

2222

α

1



cos

α

sin

1



cos

α

α
tan

2

1



cos

α

1



cos

α

sin

α


（后两个不用判断符号，更加好用）
4、合一变形

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
yAsin(

x

)B
形式。
sin< br>
cos


5．（1）积化和差公式

2< br>
2
sin





，其中< br>tan



．

11
[sin(

+

)+sin(

-

)] cos

·sin

=[sin(

+

)-sin(

-

)]
22
11
cos

·cos

=[cos(

+

)+cos(

-

)] sin

·sin

= -[cos(

+
)-cos(

-

)]
22
sin

·cos

=
（2）和差化积公式
sin

+sin

=
2sin

< br>
2
cos



2

sin

-sin

=
2cos


2
sin



2

cos

+cos

=
2cos



22

2
12
tan

+ cot

= tan

- cot

= -2cot2



sin

cos

sin2

1+cos

=
2cos
1±sin

=(
sin
2
cos



cos

-cos

= -
2sin



s in



2


2
1-cos

=
2sin
2

2


2
2
cos

2
)

2
6。（1）升幂公式
1+cos

=
2cos
1±sin

=(
sin
sin

=
2sin
2
1-cos

=
2sin
2

2



2
cos

2
) 1=sin
2

+ cos
2

2

2
cos

2

（2）降幂公式
1cos2


2
1
sin
2

+ cos
2

=1 sin

·cos

=
sin2


2< br>sin
2


1cos2

2
2

cos



7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提 高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公
式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想 方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根 据角与角之间的和差，
倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获 解，对角的变形如：
①
2

是

的二倍；
4
是
2

的二倍；

是



的二倍；是的二倍；
224
30
o



；
cos
； ②
1545306045
； 问：
sin
2
1212
ooooo
③

(



)

；④

4

< br>

2
(

4


)
；
⑤
2

(



)(


)(

4


)(

4


)
；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变 函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常
化切为弦，变异名为同名。
（3） 常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的
代换 变形有：

1sin

cos

tan< br>
cot

sin90tan45

（4）幂的变换：降 幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用
降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
22oo
1 cos

常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形 应用。
如：
1tan

1tan

___ ____________
；
______________
；
1t an

1tan

tan

tan

____________
；
1tan

tan

_ __________
；
tan

tan

____ ________
；
1tan

tan

______ _____
；
2tan


；
1tan
2


； tan20
o
tan40
o
3tan20
o
tan 40
o

；
sin

cos


= ；
（其中
asin

bcos


= ；
）
tan


；
1cos


；
1cos


；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值
与特殊角的三角函数互化 。
oo
如：
sin50(13tan10)
；
tan

cot


。

2

4

coscoscos
；
999

3

5

coscoscos
；推广：
777
2

4

6

coscoscos
；推广：
777
二、基础训练
1．下列各式中，值为
oo
1
的是
2
2
tan22.5
o
1cos30
o
A、
sin15cos15
B、
cos
C、 D、 sin
2o
1tan22.5
1212
2

2

2．已知
sin(



)cos

cos(



)sin


3．
3
，那么
cos2

的值为____
5
13

的值是______
oo
sin10sin80
00
1a
2
a3
4．已知
tan110a
， 求
tan50
的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对
2a
1 3a

甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
2
1

，
tan(

)
，那么
tan(
)
的值是_____
5444


1

2
6．已知
0





，且
cos(

)
，
sin(

)，求
cos(



)
的值
22923
oo
7．求值
sin50(13tan10)

sin

cos

2
8．已知
1,tan(



)
，求
tan(

2

)
的值
1cos2

3
9．已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1
，则
cos(AB)
＝_____
5．已知
tan(



)
1111
 cos2

为_____
2222
5
2
11．函数< br>f(x)5sinxcosx53cosx
3(xR)
的单调递增区间为___ ________
2
1
2cos
4
x2cos
2x
2
12．化简：
10．若

(

,

)
，化简
3
2
2tan(x)sin
2
(x)
44
13．若方程
sinx3cosxc
有实数解，则
c
的取值范围是___________.
14．当函数
y2cosx3si nx
取得最大值时，
tanx
的值是______
15．如果
f

x

sin

x


2 cos(x

)
是奇函数，则
tan

=
31
2
64sin20
________
22
s in20cos20
17．若
0





2

且
sin

sin

sin< br>
0
，
cos

cos

cos
0
，求



的值
16．求值：


三、规范解题
1.. 已知α

(






2.．化简sin
2

·sin
2

+cos
2

cos
2

-







3


35
3


，)，β

(0，),
cos
(α－)＝，sin(＋β)＝，求 sin(α＋β)的值．
4
4
4
5
4
13
41
cos2

·cos2

.
2