欧债危机-国庆节作文

三角恒等变换的常用技巧
在不改变结果的前提下，运用基本公式及结论，从角、名、次 方面入手，把一个三角函数式转
化成结构比较简单、便于研究的形式，这种变形叫做三角恒等变换．
三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下：
题型一：常值代换（特别是“1”的代换）
【知识链接】

1sin
2
cos
2

tan
【巩固与应用】
1． 若
x(
3

5

,)
，则
1sinx
可化为（ ） D
22
4

4
sec
2

tan
2

csc
2

cot
2

． < br>x

x

x

x

A．
2 sin()
B．
2cos()
C．
2cos()
D．
2sin()

2
242424
2．已知
tan

=2
， 求值：
2sin
2

sin

cos

cos
2

.
题型二：公式变形
【知识链接】

tan

tan

(1mtan

tan
)tan(



)
．
【巩固与应用】
1．化简：
tan10
o
tan20
o
tan2 0
o
tan60
o
tan10
o
tan60
o< br>.
2．（1）已知
AB

4
,求证：
(1tanA)(1tanB)2
；
（2）化简：
(1tan1
o
)(1tan2
o
)
L
(1tan44
o
)( 1tan45
o
)
.
题型三：升次降次
【知识链接】
2sin
2

1cos2

，
2cos
2< br>
1cos2

，
cos
2

sin
2

cos2

，
2sin

cos< br>
sin2

．
4sin
3

3si n

sin3

，
4cos
3

co s3

3cos

．
上面公式正用降次，反用升次.
【巩固与应用】
1

1．若
2




A．
sin

2
3

1cos(



)
，则的值是（ ）
2
2
B．
cos

2
C．
sin

2
D．
cos

2

2．求值：
cos
4
ππ
sin
4

＿＿＿＿＿．
88
3 ．求值：
sin
2
20
o
cos
2
50
o
sin20
o
cos50
o
．
3sin70
o
4．（08宁夏、海南理7）


2cos
2
10
o
A．
12
B．
22
C．2 D．
32

5．（07陕西理4）已知
sinα55
，则
sin
4
αcos
4
α
的值为
A．
15
B．
35
C．
15
D．
35

π
5
π

3
ππ

6．求函 数
ysinx

sinxcosx

的单调区间。增

kπ,kπ

，减

kπ,kπ

kZ

88

88

sin2x2sin
2x28
7．已知
cos(π4x)35
，
17π12x 7π4
，求的值。结果
1tanx75
π

8．已知 函数
f(x)2cosxsin

x

3sin
2< br>xsinxcosx

3

（1）求：函数
f(x)
的最大值及最小值；
（2）求：函数
f(x)
的最小正同期、单调递增区间；
（3）该函数图像可由
ysin2x
图像作怎样变化而得到。
题型四：公式活用
【知识链接】
公式正用、公式逆用、公式变形后使用
【巩固与应用】

1．求值：
tan10
o
tan 20
o
tan20
o
tan60
o
tan60
o
tan10
o

1
2．已知

为第三象限角,且
sin
4
θ
cos
4
θ
5< br> , 那么
sin2θ
等于（ A ）
9
A．
223
B．
223
C．
23
D．
23

3．在△
ABC
中，若
sinAsi nBcosAcosB
+
sinAcosBcosAsinB2
，
则△
ABC
为 . 等腰直角三角形
4．函数
ysin
2
xcos
2x2
的最小正周期是（ ） C
2

A．
4

B．
2

C．
π
D．
π2

5．（06全国Ⅱ理10）若
f(sinx)3co s2x
，则
f(cosx)
等于 C
A．
3cos2x
B．
32sin2x
C．
3cos2x
D．
32sin2x

6． （07浙江理12）已知
sin

cos



3

1
，且



，则
cos2

的值是 ．

24
5
题型五：弦切互化
【知识链接】
能实现转化的公式有：
tan


【巩固与应用】
1sin20
o
1． 求值：
(tan5)
．-2
tan5
o
1cos20
o
o
1cos2
sin2

sin

，
tan


．

sin2

1cos2

cos

2． 求值：
sin50
o
(13tan10
o
)
．
1
tan2
α
o
cos2
α
3．已知
tan(45α)12
，则

．
1
1tan2
α
cos2
α
1
4．求值：
1
4cos10
o
．
o
tan10
1
tanx2)4cos
2
x
.
tanx2
5．求证：
sin2x(
6．若
sin
θ
cos
θ
题型六：辅助角变换
【知识链接】
2
1
，则
tan
θ
+
． -4
2
tan
θ
1．辅助 角公式：
asinxbcosxa
2
b
2
sin(x

)
．（其证明附后）


2．推论：
sinx cosx2sin(x)
；
3sinxcosx2sin(x)
；
sinx3cosx2sin(x)
；
4
63



cosxsinx2cos(x m)
；
3cosxsinx2cos(xm)
；
cosx3sinx 2cos(xm)
．
4
63
3

3．利用公式
【巩固与应用】
1tanx

1tanx
< br>tan(x)
及
tan(x)
引入．
1tanx41tanx4

1． 函数
y3sin(2x)cos2x
的最小值是（ ）
3
A．
31
B．
1
C．
3
D．0
2．把函数
ycosx3sin x
的图像向左平移
m(m0)
个单位，所得的图像关于
y
轴对称则
m

的最小正值是（ ）
A．

2

5

B． C． D．
6336
sin2xcos2x
的最小正周期为＿＿＿＿＿．
sin2xcos2x
4．求函数
ysinx(sinxcosx)
的单调区间．
3．函数
y
3．当


2
x
2
时，函数
f

x

sinx3cosx
的值（ D ）
A．最大值是1，最小值是-1 B．最大值是1最小值是
12

C．最大值是2最小值是-2 D．最大值是2最小值是-1
4．与
y2sinxcosx
的周期、振幅都相同的函数是（ A ）
A．
y5sinx
B．
y2sinx
C．
y3cosx
D．
ysinxcosx

题型七：角的和差拆分变换
【知识链接】
1．原则：化未知为已知．
2．拆分技巧：再如
103020
．


如
2α(αβ)(αβ)
；
(

)(
)
，
(

)(

)
，
4 24
326
α(αβ)β(αβ)β

αβαββαβ α

等．
2222
ααα
的倍角；是
α
的半 角，同时也是的
224
3．半角与倍角的相对性：如
α
是
2α
的半角，同时也是
倍角；
【巩固与应用】
例 已知
sin(2
αβ
)

312

π

π

，
sin
β
，且
α


,π

，
β


,0

，求
sinα
的值．
513

2

2

4

1．（06重庆理13）已知

,

(< br>3


3

12
,

)
，
sin(



)
，
sin(
)
，则
cos(

)
．
44< br>5413



2


3


2．（08天津理17）已知
cos(x)
，
x
,

．（1）求的
sinx
值；（2）求
sin
2x

的
410
3

24

值 ．
13
3．（07江苏理11）若
cos(



)
，
cos(



)
，则
tan

tan


．
55
π
47
π
4．（08山东理5）已知
cos(
α
)

sin
α
3
，则
sin(α
)
的值是
656
A．
235
B．
235
C．
45
D．
45


5．（08上海春理6）化简：
cos(

)sin(

)
．
36
6．（08江苏理15）在平面直角坐标系
xOy
中，以
Ox
轴为始边作两个 锐角
α
、
β
，它们的终边
分别与单位圆相交于
A
、
B
两点．已知
A
、
B
的横坐标分别为
210
、
255
．
（1）求
tan(



)
的值；
（2）求

2

的值．
7．已知
0



2




,
sin

34
，
cos(



)< br>，则
sin



55
A．0 B．0或
242424
C． D．


2 52525
sin7
o
cos15
o
sin8
o
8．的值等于（ ）
cos7
o
sin15
o
sin8
o
2323
C．
23
D．
22
tan





9．设< br>sin(

2

)3sin

,则
< br> ．
tan

A．
23
B．
10．已知
tan








1


2

，
tan





,那么
tan

< br>

的值是（ B ）
4

44

5

9
10

50
A．
1318
B．
322
C．
1322
D．
318

11．已知< br>
,

是锐角，
cosα45
，
tan(αβ) 13
，求
cos

的值。
cos
β
题型八：和积互化（不要求）
【知识链接】
1．积化和差公式
2．和差化积公式
5

3．和
sinxcos x
积
sinxcosx
互化.
【巩固与应用】
1． 如果

(0,
A．< br>
2
)
,
sin

cos

< br>2
，则
cos2

为（ ）
2
3
333
B．

C．

D．


224
2
2．已知
sin

cos


13
,

(0,

)
那么
tan

的值是（ ）
2
A．
33
B．
3
C．
33
D．
3

3．化简：
cos
2
A+cos
2
(
2

2

A)+cos
2
(A)
．
33
4．已知
x
是第二象限角，且
sinxcosxa
（
a1
），求下列各式 的值：
（1）
tanxcotx
； （2）
1sinx1cosx
．

1sinx1cosx
5．已知
tan

,
tan

是方程
x
2
2x40
的两根，求
cos2

cos2

的值．
sin2

sin2

AC
112
．求
cos
的

2
cosAcosCcosB
6．已知三角形
ABC
中的三个内角
A,B,C
满足
AC2B< br>，
值。
解法（I）：由题设条件
B60
，
AC120

211
2222cosAcosC22cosAcosC
cos60cosA cosC

ACAC
2coscos2[cos(AC)c os(AC)]
22
Q
将
cos

cos
AC11
cos60 cos(AC)

222
AC2
2cos(AC)

22
AC
1

2


由
cos(AC)2cos
2

43cos
2

(2cos
ACAC
2cos320

22
ACACACAC2

2)(22cos3)0Q22cos30cos
22222
解法（II）：因为
B60
，
AC120

6

设
α

故
AC
则
AC2α

A60α
，
C60α

2
1111


cosAcosCcos(60α)cos(60α)
1
13
cos
α
sin
α
22

1
13
cos
α
sin
α
22

cos
α
c os
α


13
2
3
22
cos
α
sin
α
cos
α

444



Q
cos
α
cos
2
α

3
4

2cos
α
2242cos
2
α
2cos
α
320

cosB
cos
2
α

3
4
(22cos
α
3)(2cos
α
2)0cos
α< br>

附录一 起点公式的证明
1．两角和余弦公式的推导
2．两角和正弦公式的推导
3．半角公式
tan
23AC2

(Qcos
α
) cos
222
22

2

sin

1 cos


的推导
1cos

sin

4．辅助角的推导及其推论
asi nxbcosxa
2
b
2
sin(x

)
，
tan


a
b
；
bcosxasinxa
2
b
2
cos(x

)
，
tan

．
b
a
由
asinxbcosx
的系 数
a,b
可得点
P(a,b)
（一定要注意
a
与
b
顺序），射线
OP
（
O
为坐标原点）可作为某个
角的终边， 设为

，于是有：
tan


b
，
co s


a
a
ab
22
aa
2
b
2
cos

，
sin


b
ab
22
ba
2
b
2
sin


所以

asinxbcosxa
2
b
2
(sinxcos

cosxsin

)a
2
b
2
sin(x

)
．
其中，

叫做辅助角，它所在象限取决于点
P(a,b)
所在象限，它的一个函数值为：
tan


推论：

sinxcosx
b
． < br>a
2sin(x)
；
3sinxcosx2sin(x)
；< br>sinx3cosx2sin(x)
；
63
4

< br>
cosxsinx2cos(xm)
；
3cosxsinx2co s(xm)
；
cosx3sinx2cos(xm)
．
463


口诀：正余化正，加减不变，余正化余，加减颠倒，前6后3． 5．

附录二 些常用的结果
1．
(cos

sin

cos

)
2
1sin2

．
7

2．
sin

cos

1ta n

sin

cos

tan

1

tan(

)
，
tan(

)
．
sin

cos

1tan

4sin

cos

tan

14
1212 cos2


，
tan


．
t an

sin2

tan

sin2

3．
tan



附录三 万能公式
ααα1tan
2
2tan
2
，
cos
α

2
，
tan
α

2
．
sin
α< br>
ααα
1tan
2
1tan
2
1tan2
222
2tan
1． 已知
1tanx
31
，求
sin2x
的值．
1tanx
附录四 半角公式

sin
α
1< br>
cos
αα
1

cos
αα
1cos< br>α
sin
α
1cos
α

，
cos 
，
tan
．（符号由半角终边位置决定）
222221cos< br>α
1cos
α
sin
α
附录五 衍生二倍角公式
cos2

sin2(



4
)2cos (



4
)sin(



4
)
，

sin2

cos2(

)cos
2
(

)sin
2
(

)2cos
2
(

)112sin
2
(
)
．
44444

附录六 三倍角公式 sin3

3sin

4sin
3

，< br>cos3

4cos
3

3
．
附录七 和积互化公式
积化和差公式：
11

sin
α< br>cos
β
[sin(
αβ
)

sin(
αβ
)]
，
cos
α
sin
β
[sin(αβ
)

sin(
αβ
)]
，
2211
cos
α
cos
β
[cos(
αβ
)

cos(
αβ
)]
，
sin
α
sin
β
[cos(
αβ
)

cos(
αβ)]
．
22
和差化积公式：
sin
θ
s in
φ
2sin
θ

φθ

φθ
φθ

φ
cossin
，
sin
θ
sin< br>φ
2cos
，
2222
θ

φθ
φθ

φθ

φ
cossin
，
cos
θ
cos
φ
2sin
．
2222

cos
θ
cos
φ
2cos

8