成长的烦恼作文800字-吉林师范大学教务处

三角恒等变换知识点总结
一、基本内容串讲

1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：
;

对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。
2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：
. .
.
要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次 ）．特别注意公式的三
角表达形式，且要善于变形， 这两个形式常用。

20141024



< br>3.辅助角公式：
sinxcosx2sin

x

;
3sinxcosx2sin

x


4

6

asinxbcosxa
2
b
2
s in

x


.
4.简单的三角恒等变换
（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。
5.常用知识点：
（1）基本恒等式：
sin
2

cos
2

 1,
sin

tan

（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应cos

用，求函数值时注意角的范围）；
（2）三角形中的角：
A BC

，
sinAsin(BC),cosAcos(BC)
；
rrrrrr
babcosa,b
，
（3）向量的数量积：
a
g
rrrrrr
a
g
bx
1
x
2y
1
y
2
，
abx
1
x
2y
1
y
2
0abx
1
y
2
x
2
y
1
0
；
二、考点阐述
考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、的值等于（ ）
2、若，，则等于（ ）
3

3、若


,
则
(1tan

)(1tan

)
的值是________．
4
4、
(1tan1)(1tan2) (1tan3)L(1tan44)(1tan45)
_______________ .

考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式
5、coscos的值等于（ ） (提示:构造分子分母)
6、
cos20
o
cos40
o
cos60
o
cos80
o

（ ）
7、 已知
3

A2

，且，那么等于（ ）
2
考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换
8、已知则的值等于（ ）
9、已知则值等于（）
10、函数是（ ）
（A）周期为的奇函数
（C）周期为的奇函数
（B）周期为的偶函数
（D）周期为的偶函数
4、常见题型及解题技巧（另外总结）
（一）关于辅助角公式：
asinxbco sxa
2
b
2
sin

x

.
其中
cos


a
a
2
b2
,sin


b
a
2
b
2
（可以通过
a
2
b
2
来判断最大最小值
）
如 ：1.若方程
sinx3cosxc
有实数解，则c的取值范围是___________ _.
2.
y2cosx3sinx2
的最大值与最小值之和为______ _______.
2


),
则
tan

________.
45
（二）三角函数式的化简与求值

7．若
tan(

cos15
0
sin15
0
0 0
sin50(13tan10)
; [例1] 1.； 2.
00
cos15sin15
3. 求值;
4.△ABC不是直角三角 形，求证
：
tanAtanBtanCtanA•tanB•tanC

（三）三角函数给值求值问题
π
47
π
1. 已知cos(
α
－)＋sin
α
＝3，则sin(
α
＋)的值是_______ ______;
656
2. 已知

0


3 .

4



3




3

3


5
,cos

< br>

,sin





4
4

5

4

13
，求的值．
（四） 三角函数给值求角问题

1.若sinA=
5
10< br>,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.
5
10
2.已知，且是方程的两个根，求．
3.已知均为锐角，且，，，则

+



的值（ ）
Ａ．
π

6
Ｂ． Ｃ．
π

3
Ｄ．

11
,< br>tan


,并且

,

均为锐角，求
2

的值.
7
3
（五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等）
4.已知tan


1.(2010·北京)已知函数
f(x)2cos2x sinx
.
(1)求
f()
的值；(2)求
f(x)
的最大值和最小值． 2

3
2.已知函数
f(x)2sin(

x)c osx
.
(1)求
f(x)
的最小正周期；(2)求
f(x)在区间
[
的单调区间。

（3）求函数在
(

,

)
,]
上的最大值和最小值；
62

三、解题方法分析
1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点
【方法 点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正
的理解、记 熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。
例1设则有（ ）

【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：
sincos=，cos=，，，，，，，tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαt anβ)等。另外，三角函数
式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为 即asinx+bcosx=（其中）
是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±s inx±cosx，要熟练掌握其变形
结论。

2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口
（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`
【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦 公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，
应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、 证明中角、名称、形式的变换问题。
例2． 已知＜
β
＜
α
＜，c os（
α
－
β
）=，sin（
α
+
β
）= －，求sin2
α
的值．（－
（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点， 2
α
=（
α－
β
）+（
α
+
β
））

例2解答：







例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·．
【解析】：原式=





=．
【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与< br>差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数
尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。
（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换
【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。
例4：已知sin（
α
+
β
）=，sin（
α
－< br>β
）=，求的值．。
【解析】


===－17
【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件
运用方程思想达到求值的目的。
（3）运用换元思想，实现三角恒等变换
【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个
式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。
例5：若求的取值范围。
【解析】：令，则

【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过
代数、三角变换等手段求出取值范围。

3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点
【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的
联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。
例6：已知：向量 ，，函数
（1）若且，求的值； 或
（2）求函数取得最大值时，向量与的夹角．
【解析】：∵＝
（2）
∴，当时，由
得， ∴
【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考 查应用平面向量、三角函数知识
的分析和计算能力.


四、课堂练习
1．sin165º= （ ） A． B． C． D．
2．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ） A． B． C． D．
3．已知，，则（ ） A． B． C． D．
4．化简2sin（－
x
）·sin（+
x
），其结果是（ ）
Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x
5．sin—cos的值是 （ ）
A．0 B． — C． D． 2 sin
6．
A． B． C．
A． B． C． D．
8．
9．＝
10．的值是 .
11．求证：． 12．已知，求的值．



13．已知求的值。

14．若,且, 求的值。
D．
7．若，，则角的终边一定落在直线（ ）上。

C
15．在△
ABC
中，若sin
A
sin
B
=co s
2
，则△
ABC
是（ ）
2
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
16．化简
1sin2

cos2

．
1 sin2

cos2

12sin

cos

1tan

．

cos
2

si n
2
a
1tan


17.求证：
18． 已 知sin
α
=
124

，sin（
α
+
β
）=，
α
与
β
均为锐角，求co
s．
.
135
