关于爱国的故事-荆轲刺秦王原文

三角恒等变换

5. 半角公式（符号的选择由

2
所在的象限确定）

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin
a1cosa
(1）
si n(



)sin

cos

co s

sin


sin(

< br>
)sin

cos

cos

sin


（1）
2

2
，
cos
a

1cosa
，
（2）
22(2）
cos(



)cos

cos< br>
sin

sin


c os(



)cos

cos

s in

sin


tan
a
（3）
2
1cosasina1cosa
1cosa

1cosa< br>
sina

(3）
tan(



)
tan

tan

1tan

tan< br>



tan

tan

 tan





1tan

tan




6. 万能公式:
(4）
tan(< br>


)
tan

tan

1 tan

tan




tan

tan

tan





1tan

tan



2tan

1tan
2

2tan

（1）
sin


2
, （2）
cos


2
,（3）
tan


2
.

(7)
asin
bcos

=
a
2
b
2
sin (



)
(其中,辅助角

所在象限由点
(a,b)
所在的象限决
1tan
2

2
1tan< br>2

2
1tan
2

2
定,
si n


b
,cos


a

2
b
2
,tan


b
，该法也叫合一变形).
a
2
b
2
a
a
7，辅角公式

asin

bcos

a
2
b
2< br>sin(



)
其中
cos
(8) 1tan



a
1tan

tan(

4


)

1tan

1 tan

tan(

4


)
a
2
b
2
,sin


b
a
2
b
2
，

ysinx3cosx
1
2
(3)
2
(
1
2. 二倍角公式
1
2
(3)
2
sinx
3

1
2
(3)
2
cosx)

（1）
sin2a2sinacosa

（2）
co s2acos
2
asin
2
a12sin
2
a2 cos
2
a1

2(
1
2
sinx
3
2
cosx)
2(sinxcos

cosxsin

)
2sin(x

)

tan2a
2tana


33
3
（3）
1tan
2
a


sin15cos75
62
,sin75cos15
62 3. 降幂公式：
10.
常见数据：
44
，
cos
2
a
1cos2a
（2）
sin
2
a
1cos2a

tan1523
,
tan7523
,
（1）
22

4. 升幂公式

（1）
1cos

2cos
2

2
（2）
1cos

2sin
2

专题四 三角恒等变形各类题
2

（3）
1sin

(sin

命题点1 和差公式的直接应用
2
cos
2
)
2
（4）
1sin
2

cos
2


1．(2015课标1,2)
sin20
0
cos10
0
cos160
0
sin10
0

（ ）
（5）< br>sin

2sin

2
cos
2


A.
3
2

B.
3
11
2

C.
2

D.
2


1

如：比

2 ．（2017江苏，5）若
tan(



1
4
) 
6
，则
tan

=_____________ .

3．(2016·杭州模拟)已知sin α＝
3
π
cos 2α
5
，α∈(
2
，π)，则＝________.
2sinα＋
π
4

4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( )
A．－
2
2
B.
211
2
C.
2
D．－
2

5．(2016·全国丙卷)若tan α＝
3
4
，则cos
2
α＋2sin 2α等于( )
A.
64
25
B.
4816
25
C．1 D.
25

6．(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，
π
14
2cos
2
θ－1
4
)，且sin θ－cos θ＝－
4
，则等于(
cos
π
4
＋θ
A.
2
3
B.
4
3
C.
3
4
D.
3
2

7．(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四，4)已知
s in

4
2

5
，
cos

2

3
5
，则

属于（
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
命题点2 角的变换
8．设α、β都是锐角，且cos α＝
5
5
，sin(α＋β)＝
3
5
，则cos β等于( )
A.
25
25
B.
25
5
C.
25
25
或
25
5
D.
55
5
或
25

9．已知cos(α－
π
6
)＋sin α＝
4
5
3，则sin(α＋
7π
6
)的值是________．
10．设α为锐角 ，若cos(α＋
π
6
)＝
4
5
，则sin(2α＋
π
12
)的值为________．
11．(2016·浙江五校联考)已知3t an
α
2
＋tan
2
α
2
＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于(
A.
4
3
B．－
4
3
C．－
2
3
D．－3
命题点3 三角函数式的化简
12．（2013重庆，9）
4cos50
0
tan40
0

（ ）


A.2

B.
23
2

C.3

221

1＋sin θ＋cos θsin
θ
－cos
θ

13．化简：
22
2＋2cos θ
(0<θ<π)；化简
2sin
2
2cos4



14．求值：
1＋cos 20°
1
2sin 20°
－sin 10°(
tan 5°
－tan 5°)．

)
2cos
4
x－2cos
2
x＋
1
15． 化简：
2
2tan

π

π
＝________.

4
－x

sin
2


4＋x


sin
π＋απ＋α
）
16．(2017·嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝
3
2
－cos
2
5
，α是第三象限角，则
sin
π－απ－α
等于
2
－cos
2
A.
1
2
B．－
1
2
C．2 D．－2
命题点4 给值求值问题
17．（2017课标全国3文 ，4）已知
sin

cos


4
3
， 则
sin2


（ ）
A.
7
9

B.
2
9

C.
2
9

D.
7
9

18．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝
1
7
，sin(α＋β)＝
53
14
，则cos β＝________.
)
19．（2013浙江，6）已知

R< br>，
sin

2cos


10
2
,则
tan2


（ ）
A.
43
3

B.
4

C.
3
4
4

D.
3

20．（2014江苏，15）已知

(

2
,

)
，
sin


5
5

2

（1）求
sin(
4


)
的值；（2）求
cos(
5

6
2

)
的值。


21．(2015·广东)已知tan α＝2.
①求tan(α＋
π
sin 2α
4
)的值；②求
sin
2
α＋sin αcos α－cos 2α－1
的值．



命题点5 给值求角问题
22． 设α，β为钝角，且sin α＝
5310
5
，cos β＝－
10
，则α＋β的值为( )
A.
3π
4
B.
5π
4
C.
7π
4
D.
5π7π
4
或
4

23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝
11
2
，tan β＝－
7
，则2α－β的值为________．
24．（2014课标1,8）设

(0,

2
)
，

(0,

2
)
，且
tan


1sin
cos

，则（ ）
A.3





2

B.3





2

C.2





2

D.2





2


25．(2016·义乌检测)若sin 2α＝
5
5
，sin(β－α)＝
10
10
，且α∈[
π
4
，π]，β∈[π，
3π
2
]，则α＋β的值是(
A.
7π
4
B.
5π5π7π3π
4
C.
4
或
4
D.
2

命题点6 三角恒等变换的应用
26．(2016·天津)已知函数f(x)＝4tan xsin
< br>π

2
－x


·cos

x－
π
3


－3.
(1)求f(x)的定义域与最 小正周期；(2)讨论f(x)在区间


－
π
4
，
π
4


上的单调性．



27．(2015·重庆)已知函数f(x)＝sin

π

2
－x


sin x－3cos
2
x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在

π2π

6
，
3


上的单调性．




堂测题组
专题
四 三角恒等变形
【A】
1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－
3
2
B.
311
2
C．－
2
D.
2

2．(2016·全国甲卷)若cos

π

4
－α

＝
3
5
，则sin 2α等于( )
A.
7
25
B.
1
5
C．－
1
5
D．－
7
25

3．(2016·富阳模拟)已知tan α＝3，则
sin 2α
)
cos
2
α
的值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
4．已知：



3






4
，
4

，



0，
4


， 且
cos


4




3< br>5
，
cos



=_______.
专题
四 三角恒等变形
【B】
1．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝
1
π
3
，则sin
2
(
4
－α)等于(
3

s in


5

4



12


13
，则
)

11782
A. B. C. D.
1818 99
π
1
3π
2．(2016·绍兴高三教学质检)已知sin(－α)＝， 则cos(2α＋)等于( )
535
7117
A．－ B．－ C. D.
9999
1
3．(2017·浙江九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，



4．(2017浙江温州二模)已知函数．
6
β的大小关系是( )
A．α<
π
4
<β B．β<
π
4
<α C.
ππ
4
<α<β D.
4
<β<α
4．
2cos10
0
sin20
0
sin70
0
的值 是（ ）
A.
1
3
2
B.
2
C.
2
D.
3


巩固作业
专题
四 三角恒等变形
1．(2017浙江ZDB联盟一模)已知
sin< br>

1
3
，
0



，则
tan


__________，
sin

2
cos

2

__________．
2．已知0 <α<
π
4
sin2β－
π
2
·sinβ＋π2
，sin α＝
5
，tan(α－β)＝－
1
3
，则tan β＝________；
2cosβ＋
π
＝________.
4

3．(2016·合肥质检)已知cos(
π
6
＋α)cos(
π
3
－α)＝－
1
4
，α∈(
ππ
3
，< br>2
)．
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－
1
tan α
的值．



（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，求的值.

5.已知函数f(x)sin(2x

6
)sin(2x

6
)cos2xa(aR,a为常数).

（1）求函数的最小正周期；（2）若
x[0,

2
]时,f(x)的最小值为2,求a的值.










6．已知函数
f(x)3sin
2
xsinxcosx
（1）求函数
f(x)
的最小正周期；（2）求函数
f(x)在x
< br>
5

,
2


的值域.
（3）对称轴和对称

243


点





4

第三章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是( )
A．[－2,2] B.


1＋2

C.

1－21＋2



2
，
2


2
，2

13
－，

D.


22

2cos10°－sin20°
11.的值 是( )
符合题目要求的)
1．sin105°cos105°的值为( )
A.
1
4
B．－
1
4
C.
3
4
D．－
3
4

2．若sin2α＝
1
4
，
π
4
<α<
π
2
，则co sα－sinα的值是( )
A.
3
B．－
3
C.
3
D．－
3
2244

3．已知180°<α< 270°，且sin(270°＋α)＝
4
5
，则tan
α
2
＝( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
4．在△ABC中，∠A＝15°，则 3sinA－cos(B＋C)的值为( )
A.2 B.
23
2
C.
2
D. 2
5．已知tanθ＝
11
3
，则cos
2
θ＋< br>2
sin2θ等于( )
A．－
6
5
B．－
4
5
C.
4
5
D.
6
5

6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
7 ．设a＝
2
2
(sin17°＋cos17°)，b＝2cos
2
1 3°－1，c＝
3
2
，则( )
A．c8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tanA·tanB与1的大小关系为( )
A．tanA·tanB>1 B. tanA·tanB<1 C．tanA·tanB＝1 D．不能确定
9．函数f(x)＝sin
2
< br>ππ

x＋
4


－sin
2
< br>
x－
4


是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数

sin70°
A.
1
2
B.
3
2
C.3 D.2
12．若α，β为锐角，c os(α＋β)＝
123
13
，cos(2α＋β)＝
5
，则cos α的值为( )
A.
56
65
B.
16
65
C.
5616
65
或
65
D．以上都不对
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.
14．已知cos2α＝
1
3
，则sin
4
α＋cos4
α＝________,
15.
sinα＋30°＋cosα＋60° 
2cosα
＝________.
16．关于函数f(x)＝cos(2x－π
3
)＋cos(2x＋
π
6
)，则下列命题：
①y＝f(x)的最大值为2；
②y＝f(x)最小正周期是π；
③y＝f(x) 在区间

π13π

24
，
24

上是减函数；
④将函数y＝2cos2x的图象向右平移
π
24
个单位 后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17 ．(10分)已知向量m＝

cosα－
2
3
，－1

，n＝(sinx,1)，m与n为共线向量，且α∈


－
π

2
，0


.
(1)求sinα＋cosα的值；
(2)求
sin2α
sinα－cosα
的值．



5

（1）求值：
sin6 5
o
＋sin15
o
sin10
o
．
sin25< br>o
－cos15
o
cos80
o
；
（2）已知sin

2cos

0
，求
cos2
< br>sin2

1cos
2

的值.








19．(本题满分12分)已知向量 a＝(cos2x，sin2x)，b＝(3，1)，函数f(x)＝a·b＋m.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0，
π
2
]时，f(x)的最小值为5，求m的值．






20．(12分)已知向量a＝

cos
3x
2
，sin
3x
2


，b＝


cos
x
2
，－sinx
2


，c＝(3，－1)，其中x∈R.
(1)当a⊥b时，求x值的集合；
(2)求|a－c|的最大值．

2 1．已知函数f(x)＝
1
2
sin2xsinφ＋cos
2
xco sφ－
1
2
sin

π

2
＋φ


(0＜φ＜π)，其图象过点

π

6
，1
2


.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f (x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数y＝g(x) 的图象，求
函数g(x)在


0，
π
4


上的最大值和最小值．















2 2．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos
2
ωx(ω>0) 的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩 短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，
求函数g(x )在区间


0，
π
16


上的最小值 ．








6

18

三角恒等变换答案
1，B 2，B 3，D 4，A 5，D 6，D 7，A 8，B 9，A 1 0，C 11，C 12， A
13，1 14，
5
9
15，
1
2
16， ①②③④
17，解 (1)∵m与n为共线向 量，∴

cosα－
2

3


×1－( －1)×sinα＝0，
即sinα＋cosα＝
2
3
.(2)∵1＋si n2α＝(sinα＋cosα)
2
＝
2
9
，∴sin2α＝－7
9
.
∴(sinα－cosα)
2
＝1－sin2α＝16
9
.又∵α∈

π

－
2
，0< br>

，∴sinα－cosα<0.
∴sinα－cosα＝－
4
3
. ∴
sin2α7
sinα－cosα
＝
12
.
sin(8 0
0
15
0
)sin15
0
18，证明 解：（1）原 式

sin10
0
sin(15
0
10
0
)cos15
0
cos80
0

sin80
0
cos15
0
sin15
0
cos10
0

cos 15
0
sin15
0
23
.
（2）由
sin

2cos

0
，得
sin

2 cos

，又
cos

0
，则
tan

2
，
所以
cos2

sin2

cos
2

sin
2
1cos
2



2sin

cos

sin
2
2cos
2



1tan
2

2tan

1(2)
2
2(2
tan
2

2

)1
(2)
2
2

6
.
19，[解] (1)由题意，知f(x)＝3cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋
π
3
)＋m.
∴f(x)的最小正周期T＝π.
(2)由(1) 知，f(x)＝2sin(2x＋
π
3
)＋m，当x∈[0，
πππ
4π
2
]时，2x＋
3
∈[
3
，
3
]．
∴当2x＋
π
3
＝
4π
3
时，f(x)有最小值为 －3＋m.
又∵f(x)的最小值为5，∴－3＋m＝5，即m＝5＋3.
20解 (1) 由a⊥b得a·b＝0，即cos
3xx3xx
2
cos
2
－sin
2
sin
2
＝0，
则cos2x＝0，得x＝
kπ
＋
π
(k∈Z)，∴x值的集合是


x

kπ
π

x＝

24

2
＋
4
，k∈Z



.


(2)|a－c|2
＝


cos
3x
2
－3


2
＋


sin
3x
2
＋1


2
＝cos
2
3x
2
－23cos
3 x
2
＋3＋sin
2
3x3x
2
＋2sin
2＋1
＝5＋2sin
3x
2
－23cos
3x
3x< br>π
2
＝5＋4sin


2
－
3


，
则|a－c|
2
的最大值为9.∴|a－c|的最大值为3.
21，解：(1)因为f(x)＝
11
π
2
sin2xsinφ＋c os
2
xcosφ－
2
sin


2
＋φ


(0＜φ＜π)，
所以f(x)＝
1
2
si n2xsinφ＋
1＋cos2x
2
cosφ－
1
2
cos φ＝
1
2
sin2xsinφ＋
1
2
cos2xcosφ
＝
1
2
(sin2xsinφ＋cos2xcosφ),＝
1
2
cos(2x－φ)．
又函数图象过点

π

6，
1
2


，所以
11
ππ
2
＝
2
cos


2×
6
－φ


，即cos


3
－φ


＝1.
又0＜φ＜π，∴φ＝
π
3
.
(2)由(1)知f(x)＝
1
2
cos


2x－
π
3


.
将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的
11
2
，纵坐 标不变，变为g(x)＝
2
cos


4x－
π
3


.
∵0≤x≤
πππ2π
4
，∴－
3
≤4x－
3
≤
3
.
当4x－
π
3＝0，即x＝
π
12
时，g(x)有最大值
1
2
； < br>当4x－
π
3
＝
2π
3
，即x＝
π
1
4
时，g(x)有最小值－
4
.
22，解 (1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos
2
ωx.
所以f(x )＝sinωxcosωx＋
1＋cos2ωx
2
＝
1
2
s in2ωx＋
1
2
cos2ωx＋
1
2
＝
2
2
sin


2ωx＋
π
4


＋
1
2
.
由于ω>0，依题意得
2π
2ω
＝π.所以ω＝1.
(2)由(1 )知f(x)＝
2
2
sin

π

2x＋


＋
1
2
.所以g(x)＝f(2x)＝
2
4< br>2
sin


4x＋
π
4

＋
1
2
.
当0≤x≤
π
16
，
π< br>4
≤4x＋
π
4
≤
π
2
.所以
2< br>2
≤sin


4x＋
π
4

< br>≤1.
因此1≤g(x)≤
1＋2
2
.故g(x)在区间


0，
π
16


上的最小值为1.

7