大庆东风中学-借景抒情散文

第27章 《三角恒等变换》 知识点






















































































































































半角公式
sin

2

1cos


2
1cos


2
1cos

1cos

cos

2

tan

2

tan

2

cos





cos

cos

sin

sin


↓
sin

1cos



1cos

sin

cos





c os

cos

sin

sin

< br>sin





sin

co s

cos

sin


sin




sin

cos

co s

sin


tan






tan

tan


1tan< br>
tan

tan

tan


1tan

tan


倍角公式：
↗

cos2

cos
2

sin
2< br>

2cos
2

1

12sin
2



三倍角公式（不必记忆）

sin3

3sin

4sin
3

cos3

4cos

3cos

3

→
→

tan






sin2

2sin

cos


2tan


tan2


2
1tan

3tan

tan
3

tan3
< br>

13tan
3












2n

















































↘








万能公式（不必记忆）
2tan
sin



2

a
2 2n
1

1



n1

na
0
log
0
a
sin

cos< br>
tan451

a
辅助角公式：
1tan
2
1tan
2
cos


1tan
2

2


2

2
asin

 bcos

absin(



)

(其中
sin


b
ab
22
22
、< br>cos


a
ab
22
)
2tan
tan



2

1tan
2

2
备注：
一些公式的证明
1. 因为
sin





cos











，

2

而
cos













2






cos











2






cos

< br>

cos

sin



< br>sin



2

2

sin

cos

cos

sin

.
所以
sin





sin
cos

cos

sin

.（
S



）

2. 由
tan






sin






sin

cos

cos

si n

，把
tan

还可以用
sin

,c os

的不带根号的式子来表
cos




cos

cos

sin

sin

最后一个分式的分子、分母分别除以
cos

cos

（
cos

0,cos

0
），得
tan< br>





tan

tan< br>
1tan

tan

.（
T



）
3.
sin3

sin

2




sin2

cos

cos2

sin

2sin< br>
cos
2



12sin
2


sin


2sin


1sin
2


sin

2sin
2

3sin

4sin
3


tan3

tan

2





tan2
tan

1tan2

tan

2ta n

tan

1tan
2

1
2tan


< br>1tan
2

tan

2tan

t an


1tan
2




1tan
2


2tan< br>2

3tan

tan
3


13tan
3

4. 由
cos2
12sin
2

2cos
2

1
得
cos

12sin
2

2
2cos2
2
1
，
即
2sin
2


2
1cos

；
2cos
2
2
1cos

.
所以
sin

cos

2

1
2
，（S

）
2
cos

1cos

2

2
.（
C

）
2
由上述两式可得
tan

2

1cos

1cos

.（
T

）
2
2
示：
sin

2sin

tan

22
cos

2

2

sin

cos

2cos< br>
1cos

；
22
cos
2
或
sin

2sin

tan

2
si n
2
2

1cos

cos

2
2
2cos

sin
.
2
sin
2
即
tan

sin

1cos

2

1cos


sin

. （
T


）
2
5. 用
tan
2
表示
sin

,cos

,tan

.
sin

2sin

2
cos
2
解：
2tan

2
cos


2
cos
2
2tan

2
c os
2

2
2tan


1
2tan

2
1
2

1
1tan
2
< br>cos
2

2
2

2tan

< br>2
1tan
2

2
cos

2cos< br>2


2
1
2
1tan
2


2
1
1
1
1tan
2

1
1tan
2

2
cos
2

22
2
2tan

tan

tan



2


2
2

< br>
1tan
2

2
6. 三角形中常见恒等式：
sinAsinBsinC4cos
ABC
2
cos
2
co s
2
sin2Asin2Bsin2C4sinAsinBsinC
cosAcosBcosC14sin
AB
2
sin
2
sin
C
2
cos2Acos2Bcos2C14cosAcosBcos C