南京理工大学录取分数线-庆七一诗歌朗诵稿

辅助角公式与三角函数的图像性质
1．已知角
α
的顶点在坐标原点， 始边与
x
轴的正半轴重合，终边经过点
P
(－3，3)．
(1)求sin 2
α
－tan
α
的值；

π

(2)若函数
f
(
x
)＝cos(
x
－
α
)cos
α
－sin(
x
－
α
)sin
α
，求函 数
g
(
x
)＝3
f

－2
x
< br>－

2

2π

0，

上的值域 ． 2
f
(
x
)在区间

3

2133
解：(1)∵角
α
的终边经过点
P
(－3，3)，∴si n
α
＝，cos
α
＝－，tan
α
＝－．
223
∴sin 2
α
－tan
α
＝2sin
α
cos
α
－tan
α
＝－
333
＋＝－．
236
(2)∵
f
(
x
)＝cos(
x
－
α
)cos
α
－sin(
x
－
α
)sin
α
＝cos
x
，
x
∈R，
π
π

2
∴
g
(
x
)＝3cos
< br>－2
x

－2cos
x
＝3sin 2
x
－1－cos 2
x
＝2sin

2
x
－

－1， 6

2

π

π

2πππ7π 1

∵0≤
x
≤，∴－≤2
x
－≤．∴－≤sin

2
x
－

≤1，∴－2≤2sin

2
x
－

－1≤1，
6

6

3666 2

2π

π

2

上的值域是[ －2,1]． 故函数
g
(
x
)＝3
f

－2x

－2
f
(
x
)在区间

0，3

2

π

2、已知函数
f
(
x
)＝sin
x
－sin

x
－
，
x
∈R．
6

22

ππ
< br>(1)求
f
(
x
)的最小正周期；(2)求
f
(x
)在区间

－，

上的最大值和最小值．
4

3
π

1－cos

2
x
－
3

1

1

11－cos 2
x
3

解：(1)由已知，有
f
(
x
)＝－＝

cos 2
x
＋sin 2
x

－cos 2
x

222

22

2
π
< br>3112π

2
x
－

．所以
f
(
x
)的最小正周期
T
＝＝sin 2
x
－cos 2
x
＝sin

＝π．
6

4422

π

π

ππ

(2)因为
f
(
x
)在区间

－，－

上是减函数，在区间
< br>－，

上是增函数，
6

4

3

6
113

π

π

π

且
f

－

＝－，
f

－
＝－，
f

＝，
42

3

6

4

4
31

ππ
所以
f
(
x
)在区间

－，

上的最 大值为，最小值为－．
4

42

3
3、(2016·北 京高考)已知函数
f
(
x
)＝2sin
ωx
cos
ωx
＋cos 2
ωx
(
ω
＞0)的最小正周
期为π．

(1)求
ω
的值；
(2)求
f
(
x
)的单调递增区间．
解：(1)因为
f
(
x
)＝2sin
ωx
cos
ωx
＋cos 2
ωx

π

＝sin 2
ωx
＋cos 2
ωx
＝2sin

2
ωx
＋

， 4

所以
f
(
x
)的最小正周期
T
＝
依题意，得
π
2ππ
＝．
2
ωω
ω
＝π，解得
ω
＝1．
π
< br>(2)由(1)知
f
(
x
)＝2sin

2
x
＋

．
4

ππ

函数
y
＝sin
x的单调递增区间为

2
k
π－，2
k
π＋
< br>(
k
∈Z)．
22

πππ
由2
kπ－≤2
x
＋≤2
k
π＋(
k
∈Z)，
24 2
3ππ
得
k
π－≤
x
≤
k
π＋(
k
∈Z)．
88
3ππ

，
k
π＋

(
k
∈Z)． 所以
f
(
x
)的单调递增区间为

k
π－
88

π

4．(2014 ·北京高考)函数
f
(
x
)＝3sin

2
x＋

的部分图象如图所示．
6

(1)写出
f< br>(
x
)的最小正周期及图中
x
0
，
y
0的值；
π

π
(2)求
f
(
x
) 在区间

－，－

上的最大值和最小值．
12
2
解：(1)
f
(
x
)的最小正周期为
2π
ω
＝
2π7π
＝π，
x
0
＝，
y
0
＝3．
26
π

π

5π

π

，0

． (2)因为
x
∈

－，－

，所以2
x
＋∈

－
12

6

6

2

于是，当2
x
＋
当2
x
＋
ππ
＝0，即
x
＝－时，
f
(
x
)取得最大值0；
612
πππ
＝－，即
x
＝－时，
f
(
x
)取得最小值－3．
623
π

π

5．(2016·天津高考)已知函数
f
(
x
)＝4tan
x
sin

－
x

·cos

x
－

－3．
3

2

(1)求f
(
x
)的定义域与最小正周期；


ππ
(2)讨论
f
(
x
)在区间

－，

上的单调性．
4

4


π
x≠

解：(1)
f
(
x
)的定义域为
x

2




π

3



＋
k
π，
k
∈Z

．

f
(
x
)＝4tan
x
cos
x
cos

x
－

－3
π

＝4sin
x
cos

x
－

－3
3


1

3
＝4sin
x

cos
x
＋sin
x

－3
2

2

＝2sin
x
cos
x
＋23sin
2
x
－3
＝sin 2
x
＋3(1－cos 2
x
)－3
＝sin 2
x
－3cos 2
x

π

2
x
－

． ＝2sin

3

所以
f
(
x
)的最小正周期
T
＝
(2)令－
2π
＝π．
2
πππ
＋2
k
π≤2
x
－≤＋2
k
π，
232
π5π
得－＋< br>k
π≤
x
≤＋
k
π，
k
∈Z．
1 212
5π

ππ

π
＋
k
π，
k
∈Z
设
A
＝

－，

，
B< br>＝
x

－＋
k
π≤
x
≤
4

12

4

12

ππ

易知
A
∩
B
＝

－，

．

124


ππ

所以当
x
∈

－，

时，
4

4

，
f
(
x
)在区间

－，

上单调递增，
π

π
在区间

－，－

上单调递减．
12

4
1
6．(2015·重庆高考)已知函数
f(
x
)＝sin 2
x
－3cos
2
x
．
2
(1)求
f
(
x
)的最小正周期和最小值；
( 2)将函数
f
(
x
)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变 ，得到函数
g
(
x
)

ππ


124



π

的图象．当
x
∈< br>
，π

时，求
g
(
x
)的值域．

2

113133
解：(1)
f
(
x
)＝sin 2
x
－3cos
2
x
＝sin 2
x
－(1＋cos 2
x
)＝sin 2
x
－cos 2
x
－

222222
π

32＋3
< br>＝sin

2
x
－

－，因此
f
(
x
)的最小正周期为π，最小值为－．
3

22

π

3π

π2π

π

x
－，π

－．当
x
∈

时，有
x
－∈

，

， (2)由条件可知
g
(
x
)＝ sin

323

23

6

π< br>
1

从而
y
＝sin

x
－

的值域为

，1

，
3

2


1－32－3

π

3


． 那么
g
(
x
)＝sin

x
－< br>
－的值域为

，
3

2
22
< br>

1－32－3


π


． 故
g
(
x
)在区间

，π

上的值域是< br>
，
2


2


2
7、 已知
a
＝(sin
x
，－cos
x
)，
b
＝(cos
x,
3cos
x
)，函数
f
(
x
)＝
a
·
b
＋
(1)求
f
(
x
)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
π
(2)当0≤
x
≤时，求函数
f
(
x
)的值域．
2
解：(1)因为
f
(
x
)＝sin
x
cos
x
－3cos
2
x
＋
3133
＝sin 2
x
－(cos 2
x
＋1)＋
2222
3
．
2
π

13

＝sin 2
x
－cos 2
x
＝sin

2
x
－

，所以
f
(
x
)的最小正周期为π，
3

22

π

π
k
ππ

k
ππ

令 sin

2
x
－

＝0，得2
x
－＝k
π，
k
∈Z，∴
x
＝＋，
k
∈Z，故对称中 心为

＋，0

，
3

6
326

2


π

πππ2π3

3< br>(2)∵0≤
x
≤，∴－≤2
x
－≤，∴－≤sin

2
x
－

≤1，故
f
(
x
)值域为
－，1

．
3

23332


2

8．函数
f
(
x
)＝cos(π
x< br>＋
φ
)0<
φ
<
(1)求
φ
及图中
x
0
的值；
1

11

(2)设
g
(
x
)＝
f
(
x
)＋
f

x
＋

，求函数
g
(
x
)在区间
－，

上的最大值
3

23

和最小值．
解：(1)由题图得
f
(0)＝
33ππ
，所以cos
φ
＝，因为0<
φ
<，故
φ
＝．
2226
π
的部分图象如图所示．
2

由于
f
(
x
)的最小正周期等于2，
所以由题图可知1<
x
0
<2，
故
7ππ13π
<π
x
0
＋<，
666
π

33

由
f
(
x
0
)＝得c os

π
x
0
＋

＝，
6
< br>22

π11π5
所以π
x
0
＋＝，
x0
＝．
663
1

π

1

π



(2)因为
f

x
＋
＝cos

π

x
＋

＋

＝cos

π
x
＋

＝－sin π
x
，
3

6

3

2



1

π

所以
g
(
x
)＝
f
(
x
)＋
f

x< br>＋

＝cos

π
x
＋

－sin π
x

3

6

＝cos π
x
cos
＝
ππ
－sin π
x
sin －sin π
x

66
33
cos π
x
－sin π
x

22

π

＝3sin

－π
x

．

6

ππ2π1

11

π

－，－π
x

时，－≤－π
x
≤

≤1， 当
x
∈

．所以－≤sin
6632

23

6

ππ1
故 －π
x
＝，即
x
＝－时，
g
(
x
)取得最 大值3；
623
ππ13
当－π
x
＝－，即
x
＝ 时，
g
(
x
)取得最小值－．
6632

π

9、已知函数
f
(
x
)＝2sin
2
＋
x

＋3cos 2
x
．

4

(1)求函数
f
(
x
)的单调递增区间；
π< br>
(2)若关于
x
的方程
f
(
x
)－m
＝2在
x
∈

0，

上有两个不同的解，求 实数
m
的取值范围．
2


π

解： (1)由
f
(
x
)＝2sin

＋
x
< br>＋3cos 2
x


4

2

π

＝1－cos

＋2
x

＋3cos 2
x


2

＝1＋sin 2
x
＋3cos 2
x

π

＝ 1＋2sin

2
x
＋

，
3
πππ
则由2
k
π－≤2
x
＋≤2
k
π＋，< br>k
∈Z，
232
5ππ
得
k
π－≤
x≤
k
π＋，
k
∈Z．
1212
5ππ
< br>k
π－，
k
π＋

，
k
∈Z． 所以函数的 单调递增区间为

1212

(2)由
f
(
x< br>)－
m
＝2，得
f
(
x
)＝
m
＋2 ，
π

π

π4π


， 当
x
∈

0，

时，2
x
＋∈

，
2

3

3

3


∵
f
(0)＝1＋2sin
π
＝1＋3，函数
f
(
x
)的最大值为1＋2＝3，
3
π

π

∴ 要使方程
f
(
x
)－
m
＝2在
x
∈

0，

上有两个不同的解，则
f
(
x
)＝m
＋2在
x
∈

0，

2

2

π

上有两个不同的解，即函数
f
(
x
)和
y
＝
m
＋2在
x
∈

0，< br>
上有两个不同的交点，即1＋3≤
m
2

＋2＜3，
即3－1≤
m
＜1．所以实数
m
的取值范围为[3－1,1)． < br>π

10．已知
f
(
x
)＝2sin
< br>2
x
＋

＋
a
＋1．
6

(1)求
f
(
x
)的单调递增区间； π

(2)当
x
∈

0，

时，< br>f
(
x
)的最大值为4，求
a
的值；
2
 
(3)在(2)的条件下，求满足
f
(
x
)＝1且
x∈[－π，π]的
x
的取值集合．
π

解：(1)
f
(
x
)＝2sin

2
x
＋

＋
a
＋1，
6

πππ
由2
k
π－≤ 2
x
＋≤2
k
π＋，
k
∈Z，
262