《三角恒等变换》章末总结

余年寄山水
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2020年08月15日 10:24
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《三角恒等变换》章末总结

一、教学目的:
对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结,对重点、热点题型进行归纳总结。
二. 重点、难点:
公式的灵活应用
三、知识分析:
1、 本章网络结构


tan2
2tantantan

 tan


2
1

tantan
1tan
相除
相除
S


S


C


C

相加减

cos2
cos
2
sin
2


2cos
2
1
12sin
2

sin22s incos




移项
2




1cos2cos
2


2
1cos2sin

2

2

变形
1
sin



sin




2
1
cossin

sin



sin

< br>

2

1
coscos

cos< br>


cos




2
1
sinsin

cos


< br>cos




2
sincos





sin
1cos

2

2

1cos

22
相除



A

B

cos

tan




1

cos



21cos

sin1cos

1cossin
ABAB
cos
22
ABAB
si nAsinB2cossin
22

ABAB
cosAcosB 2coscos
22
ABAB
cosAcosB2sinsin
2 2
sinAsinB2sin

2、要点概述


(1)求值常用的方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的
代换法等。
(2)要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对性,如


2







,









2
是的半角,是的倍角等。
3
324
(3)要掌握 求值问题的解题规律和途径,寻求角间关系的特殊性,化非特殊角为特殊
角,正确选用公式,灵活地掌握 各个公式的正用、逆用、变形用等。
(4)求值的类型:
①“给角求值”:一般所给出 的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察非特殊
角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察 得到的关系,结合和差化积、积化和差、升
降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。
②“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关
键在于 “变角”,使其角相同或具有某种关系。
③“给值求角”:实质上可转化为“给值求值”,关键也是变 角,把所求角用含已知角的式子
表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。
(5 )灵活运用角和公式的变形,如:
2




< br>


tantantan


 
1tantan

等,另外重视角的范围对三角函数值的影响,因
此 要注意角的范围的讨论。
(6)化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽 量统一),二
是三角函数名称的变化(即当式子中所含三角函数种类较多时,一般是“切割化弦”),有 时,
两种变换并用,有时只用一种,视题而定。
(7)证明三角恒等式时,所用方法较多,一般有以下几种证明方法:
①从一边到另一边,②两边等于同一个式子,③作差法。
3.简单的三角恒等变换
(1)变换对象:角、名称和形式,三角变换只变其形,不变其质。
(2)变换目标:利用公式简化三角函数式,达到化简、计算或证明的目的。
(3)变换依据:两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
(4)变换思路:明确变换目标,选择变换公式,设计变换途径。
三、解题方法分析
1.熟悉三角函数公式,从公式的内在联系上寻找切入点
【方法点拨】三角函数中出现的公式 较多,要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系,
做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使 用哪个公式,要抓住问题的实质,善于联
想,灵活运用。
例1、设
a
13 2tan13sin50
cos6sin6,b,c,
则有( )
2
221tan132cos25
A.
abc
B.
abc
C.
acb
D.
bca

【点评】:本题属于“理解”层次,要能善于正用、逆用、变用公式 。例如::sin

cos


=
1sin 2

2tan

22

cos

sin

cos2


sin2

,cos

=
tan2


22sin

1-tan
2

1cos2
,
2
1cos2
,tanα+t anβ=tan(α+β)(1- tanαtan
2
12sin

cos

(sin

cos

)
2

1cos2

2cos
2


1cos2

2sin
2


cos
2

β)等 。
sin
2

另外,三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数 式之一,引进辅助角,将它化为
a
2
b
2
sin(x)
即asinx+bcosx=
a
2
b
2
sin(x)
(其中
tan


b
)是常用转化手段。
a
特别 是与特殊角有关的sin±cosx,±sinx±
3
cosx,要熟练掌握其变形结论。
2.明确三角恒等变换的目的,从数学思想方法上寻找突破口
三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展,三角变换只变其形,不变其
质, < br>它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系,帮助我们达到三角恒等
变换的 目的。
(1)运用转化与化归思想,实现三角恒等变换`
【方法点拨】教材中两角和与差的 正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归
的思想,应用该思想能有效解决三角函数式化简 、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。
例2. 已知
π

123< br><β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值.
41352
练习:已知




12

3 



3

5





0,

,且
cos

< br>
,sin






4

5

4


4

13
4

4


cos




分析:由已知条件求
cos



,应注意到角 之间的关系,







 





,可应用两角差的余弦公式求得。

4

4

解:由已知



3

3


,得

< br>,

4

44





∴

,0



2

4

4

cos
4



3




< br>,∴sin






4

5

4

5







,
,得





442

4



0,



∵sin

12





5






sin





sin






4< br>

4

4


13





12



5
∴sin< br>



,∴cos



< br>


4

13

4

1 3














,得

4

4









cos



cos< br>










4



4

cos














cos



sin




sin





4

4

4

4




5312

4< br>
33






135 13

5

65
点评:<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角 函数值这类题型的关键;
<2>常见角的变换:
2






,


< br>











xx


等。
< br>4

4

2
例3.化简:[2sin50°+sin10° (1+
3
tan10°)]·
sin
2
80


(2)运用函数方程思想,实现三角恒等变换
【方法点拨】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的变换。因此,有时在三
角恒 等变换中,可以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程
求解。
例4:已知sin(α+β)=

(3)运用换元思想,实现三角恒等变换
【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简,促使未知向已知转化,可以利用特定的关系,
把某个式子用 新元表示,实行变量替换,从而顺利求解,解题时要特别注意新元
的范围。
例5:若
sin

sin


tan(


< br>)tan

tan

23
,sin(α-β)=,求的值 .。
tan
2

tan(



)< br>34
2
,

cos

cos

的 取值范围。
2


3.关注三角函数在学科内的综合,从知识联系上寻找结合点
例6 △
ABC
中,
tanC
sinAsinB
,< br>sin(BA)cosC
.求
A,C

cosAcosB分析:“切化弦”是解决三角问题常用的方法,再利用三角形中角的关系进行恒等变形.
sinAsinBsinCsinAsinB
,即,

cosAco sBcosCcosAcosB
所以
sinCcosAsinCcosBcosCsin AcosCsinB


sinCcosAcosCsinAcosCsinBsinCcosB

解:因为
tanC

sin(CA)sin(BC)
. < br>所以
CABC
,或
CA

(BC)
( 不成立).

2CAB
,得
C

3
,所以 .
BA
2


3
又因为
sin(BA)cosC

A

作业:
1.、已知


1

5

, 则
BA
,或
BA
(舍去).
266

4
,B
5


12


12

3



3

5






0,
,且
cos



,sin





4

5

4
< br>
4

13
4

4

33

65

cos






2、化简:


1sincos



sin



cos

22

,其中
2

22cos
3、求证:



12sinxcosx1tanx


cos
2
xsin
2
x
1tanx

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