《三角恒等变换》章末总结
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《三角恒等变换》章末总结
一、教学目的:
对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结,对重点、热点题型进行归纳总结。
二.
重点、难点:
公式的灵活应用
三、知识分析:
1、 本章网络结构
tan2
2tantantan
tan
2
1
tantan
1tan
相除
相除
S
S
C
C
相加减
cos2
cos
2
sin
2
2cos
2
1
12sin
2
sin22s
incos
移项
2
1cos2cos
2
2
1cos2sin
2
2
变形
1
sin
sin
2
1
cossin
sin
sin
<
br>
2
1
coscos
cos<
br>
cos
2
1
sinsin
cos
<
br>cos
2
sincos
令
sin
1cos
2
2
1cos
22
相除
A
B
cos
tan
1
cos
21cos
sin1cos
1cossin
ABAB
cos
22
ABAB
si
nAsinB2cossin
22
ABAB
cosAcosB
2coscos
22
ABAB
cosAcosB2sinsin
2
2
sinAsinB2sin
2、要点概述
(1)求值常用的方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的
代换法等。
(2)要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对性,如
2
,
2
是的半角,是的倍角等。
3
324
(3)要掌握
求值问题的解题规律和途径,寻求角间关系的特殊性,化非特殊角为特殊
角,正确选用公式,灵活地掌握
各个公式的正用、逆用、变形用等。
(4)求值的类型:
①“给角求值”:一般所给出
的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察非特殊
角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察
得到的关系,结合和差化积、积化和差、升
降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。
②“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关
键在于
“变角”,使其角相同或具有某种关系。
③“给值求角”:实质上可转化为“给值求值”,关键也是变
角,把所求角用含已知角的式子
表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。
(5
)灵活运用角和公式的变形,如:
2
<
br>
,
tantantan
1tantan
等,另外重视角的范围对三角函数值的影响,因
此
要注意角的范围的讨论。
(6)化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽
量统一),二
是三角函数名称的变化(即当式子中所含三角函数种类较多时,一般是“切割化弦”),有
时,
两种变换并用,有时只用一种,视题而定。
(7)证明三角恒等式时,所用方法较多,一般有以下几种证明方法:
①从一边到另一边,②两边等于同一个式子,③作差法。
3.简单的三角恒等变换
(1)变换对象:角、名称和形式,三角变换只变其形,不变其质。
(2)变换目标:利用公式简化三角函数式,达到化简、计算或证明的目的。
(3)变换依据:两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
(4)变换思路:明确变换目标,选择变换公式,设计变换途径。
三、解题方法分析
1.熟悉三角函数公式,从公式的内在联系上寻找切入点
【方法点拨】三角函数中出现的公式
较多,要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系,
做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使
用哪个公式,要抓住问题的实质,善于联
想,灵活运用。
例1、设
a
13
2tan13sin50
cos6sin6,b,c,
则有( )
2
221tan132cos25
A.
abc
B.
abc
C.
acb
D.
bca
【点评】:本题属于“理解”层次,要能善于正用、逆用、变用公式
。例如::sin
cos
=
1sin
2
2tan
22
,
cos
sin
cos2
,
sin2
,cos
=
tan2
,
22sin
1-tan
2
1cos2
,
2
1cos2
,tanα+t
anβ=tan(α+β)(1- tanαtan
2
12sin
cos
(sin
cos
)
2
,
1cos2
2cos
2
,
1cos2
2sin
2
,
cos
2
β)等
。
sin
2
另外,三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数
式之一,引进辅助角,将它化为
a
2
b
2
sin(x)
即asinx+bcosx=
a
2
b
2
sin(x)
(其中
tan
b
)是常用转化手段。
a
特别
是与特殊角有关的sin±cosx,±sinx±
3
cosx,要熟练掌握其变形结论。
2.明确三角恒等变换的目的,从数学思想方法上寻找突破口
三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展,三角变换只变其形,不变其
质, <
br>它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系,帮助我们达到三角恒等
变换的
目的。
(1)运用转化与化归思想,实现三角恒等变换`
【方法点拨】教材中两角和与差的
正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归
的思想,应用该思想能有效解决三角函数式化简
、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。
例2. 已知
π
3π
123<
br><β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值.
41352
练习:已知
12
3
3
5
,
,
0,
,且
cos
<
br>
,sin
,
4
5
4
4
13
4
4
求
cos
。
分析:由已知条件求
cos
,应注意到角
之间的关系,
,可应用两角差的余弦公式求得。
4
4
解:由已知
3
3
,
,得
<
br>,
4
44
∴
,0
2
4
4
又
cos
4
3
<
br>,∴sin
4
5
4
5
,
,得
442
4
由
0,
又
∵sin
12
5
sin
sin
4<
br>
4
4
13
12
5
∴sin<
br>
,∴cos
<
br>
4
13
4
1
3
由
,得
4
4
cos
cos<
br>
4
4
cos
cos
sin
sin
4
4
4
4
5312
4<
br>
33
135
13
5
65
点评:<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角
函数值这类题型的关键;
<2>常见角的变换:
2
,
<
br>
,
xx
等。
<
br>4
4
2
例3.化简:[2sin50°+sin10°
(1+
3
tan10°)]·
sin
2
80
.
(2)运用函数方程思想,实现三角恒等变换
【方法点拨】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的变换。因此,有时在三
角恒
等变换中,可以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程
求解。
例4:已知sin(α+β)=
(3)运用换元思想,实现三角恒等变换
【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简,促使未知向已知转化,可以利用特定的关系,
把某个式子用
新元表示,实行变量替换,从而顺利求解,解题时要特别注意新元
的范围。
例5:若
sin
sin
tan(
<
br>)tan
tan
23
,sin(α-β)=,求的值
.。
tan
2
tan(
)<
br>34
2
,
求
cos
cos
的
取值范围。
2
3.关注三角函数在学科内的综合,从知识联系上寻找结合点
例6 △
ABC
中,
tanC
sinAsinB
,<
br>sin(BA)cosC
.求
A,C
.
cosAcosB分析:“切化弦”是解决三角问题常用的方法,再利用三角形中角的关系进行恒等变形.
sinAsinBsinCsinAsinB
,即,
cosAco
sBcosCcosAcosB
所以
sinCcosAsinCcosBcosCsin
AcosCsinB
,
即
sinCcosAcosCsinAcosCsinBsinCcosB
,
解:因为
tanC
得
sin(CA)sin(BC)
. <
br>所以
CABC
,或
CA
(BC)
(
不成立).
即
2CAB
,得
C
3
,所以
.
BA
2
.
3
又因为
sin(BA)cosC
得
A
作业:
1.、已知
1
5
,
则
BA
,或
BA
(舍去).
266
4
,B
5
.
12
12
3
3
5
,
,
0,
,且
cos
,sin
,
4
5
4
<
br>
4
13
4
4
33
65
求
cos
。
2、化简:
1sincos
sin
cos
22
,其中
2
。
22cos
3、求证:
12sinxcosx1tanx
cos
2
xsin
2
x
1tanx