ncre报名系统-繁体签名

三角恒等变换（讲义）
➢ 知识点睛
一、两角差的余弦公式推导
如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边
作角

，

，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．则 OA(cos

，sin

)
，
OB(cos
，sin

)
，
sin

)(cos< br>
，sin

)
_____________． ∴
OAOB(cos

，
y
y
α 终边
β 终边α 终边
β 终边
ABA
B
θ
θ
x
x
O
O


图1 图2
（1） （2）

设
OA
与
OB
的夹角为
，
则
OAOB
OAOBcos

=_________ ____，
∴______________________________________．



由图1可知，

2k< br>


，由图2可知，_____________，
于是




____________，
∴< br>cos(



)
__________________ ________，
∴
cos(



)cos

cos

sin

sin

，记作
C
(



)
．
二、两角差的其他公式
利用诱导公式可得
S
(



)
：sin(



)=sin

cos

cos

sin


tan

tan


1tan

ta n

以

代


，可得到
C
(< br>


)
，
S
(


< br>)
，
T
(



)

T< br>(



)
：
tan(



)=
C
(



)
：_______ _________________
S
(



)：________________________

T
(


)
：________________________
C(



)
，
S
(


)
，
T
(



)
这三个 公式叫做和角公式；
C
(



)
，
S
(



)
，
T
(



)
这三个公式叫做差角公式．
三、倍角公式
1

利用
C
(



)，
S
(



)
，
T
(


)
，令



，
得 到
cos2

=_____________=____________=____ ________
sin2

=_____________________

tan2

=_____________________

四、半角公式
利用
cos2

2cos
2
< br>112sin
2

可得，以

代
2

，
sin
2

2

__________________
cos
2

2

__________________
相除，得到
tan
2

2

__________ _______

五、形如
asinxbcosx
的化简
as inxbcosxa
2
b
2
sin(x

)，
其中sin


b
a
2
b
2< br>，cos


a
a
2
b
2
．


















➢ 精讲精练
2

1. 利用和（差）角公式，求值：
4
π


)
________； （1）若

(，)
，且
sin


，则
cos(
54
2
4
（2）若
tan

3
，
tan


，则
tan(



)
_ ________；
3
312

（3）已知
cos

，

(，)
，
sin


，

是第三
513
2
象限角，则
cos(


)
_____________．




2. 化简：
（1）
sin14cos16sin76cos7 4
___________；
31
sinxcosx
=___________；
22
1t an15
（3）

________________；
1tan15 
sin25cos15cos80
（4）

__________ ____．
sin65sin15sin10



3. 利用倍（半）角公式求值：
（2）
3
，则
sin2


________；
5
3
（2）若
sin(



)cos< br>
cos(



)sin


，则
cos2


____；
5
（1）若
为第二象限角，且
sin


37

sin2


（3）若

(，)
，，则
sin


__________；
8
42
12
（4）若
cos (xy)sinxsin(xy)cosx
，且
y
是第四象限
13
y
角，则
tan
____________．
2


4. 求值：
21
（1）若
tan(


)，tan(



)
， 则
tan2


_______；
54
3

（2）已知

，

都是锐角，且
sin


54
，cos(



)
，
135
则
sin

=_________；
1
（3）若
sinx
，
sin(xy)1
，则
sin (2yx)
_________．
3

11
5. 若
sin

cos

，cos

sin

，则
sin(



)
______．
23

13
6. 若
cos(


)，cos(



)
，则
tan
tan

=________．
55

7. 在△ABC中，若
2cosBsinAsinC
，则△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形
C．等腰三角形

8. 求证：
（1）









（2）












B．直角三角形
D．等边三角形
sin(2AB)sinB
2cos(AB)
；
sinAsinA
sin2

cos

.tan
．
1cos 2

1cos

2

(，)
，则


____． 9. 若
3sinx3cosx23sin(x

)，

10. 当 函数
ysinx3cosx（0
≤
x2）
取得最大值时，x的值为< br>______________．
4

11. 函数
y2cosx(sinxcosx)
的最大值是_________ ，最小正周期是
____________．

12. 函数
f(x)5 sinxcosx53cos
2
x

_________________ ．

13. 化简：
（1）







（3）
2sin
2
2cos4
；






(1sin2

cos2

)(sin

cos

)

（4），其中



．
2
22cos2








13

；
sin10cos10
53
（ xR）
的单调递增区间是
2
（2）
sin15cos15
；
sin15cos15
【参考答案】
➢ 知识点睛
一、两角差的余弦公式推导
cos

cos

sin< br>
sin

，
cos

，
cos

cos

cos

sin

sin



2k



，
2k

，
cos


二、两角差的其他公式
5

cos(



)cos
< br>cos

sin

sin


sin(< br>


)sin

cos

cos
sin


tan

tan


tan(



)
1tan

tan

三、倍角公式
cos
2

sin
2

，2cos
2

1，12sin
2


2tan


2sin

cos

，1tan
2

四、半角公式
1cos

1cos

1cos

，，
221cos

➢ 精讲精练
1. （1）

72
1
33
；（2）；（3）


10
3
65
3
1
2. （1）；（2）
sin(x)
；（3）；（4）
tan15

3
26
2432
7
3. （1）

；（2）；（3）；（4）


2543
25
131
56
4. （1）；（2）；（3）
183
65
59
5.
72
1
6.
2
7. C
8. 证明略

9.
6
5
10.
6
11.
2+1
，


5
12.
[k，k]，kZ

1212
13. （1）4；（2）
3
；（3）
3cos2
；（4）
cos2



6