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3.2 简单的三角恒等变换
整体设计
一、教学分析
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的
应用.本节的内 容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行
对比、分析,促使学生形 成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及
变换过程中体现的换元、逆向使 用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学
生的推理能力.
本节 把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性
质的研究得到延伸. 三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变
换内容比较单一.而对于三角变 换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函
数式所包含的角，以及这些角的三角函数种 类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函
数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个 切入点，并以此为依据选择可以联系
它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.
二、三维目标
1．知识与技能：
通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余 弦和正切公式，能利用和与差的正弦、
余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程 、逆向使用公式等数学思想，
提高学生的推理能力.
2．过程与方法：
理解并掌握 二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三
角恒等变换在数学中的应用 .
3．情感态度与价值观：
通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促 使学生形成对解题过程
中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元 、逆向使
用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.
三、重点难点
教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.
2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.
教学难点 ：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提
高从整体上把握变换过程的 能力.
四、课时安排
2课时
五、教学设想
第1课时
（一）导入新课
思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象 之一，三角函数主要
有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角 的变换.
前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.
思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒 等变换.学习了和角公式，差角公
式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变 换的内容、思路和方
法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的 空间和

发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异 ,而且还会有
所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子 所
包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换
的重要特点.

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①α与
a
有什么关系?
2
a
之间的关系？
2< br>a
1cosa
a
1cosa
a
1cosa
③s in
2
2
=，cos
2
=，tan
2
=这三个式子 有什么共同特点？
22
1cosa22
②如何建立cosα与sin
2< br>④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?
⑤证明(1)sinαcosβ=
1
[sin(α+β)+sin(α-β)]; < br>2





(2)sinθ+sinφ=2si n
.
cos
22
并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？ < br>aa
,将公式中的α用代替,
22
aa
解出sin
2
即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是的二倍角.在倍角公式
22
aa
cos2α=1-2sin
2
α中,以α代替2α,以
代替α,即得cosα=1- 2sin
2
,
22
a
1cosa
所以sin
2
=. ①
2
2
a
在倍角公式cos2α=2cos
2
α-1中, 以α代替2α,以
代替α,即得
2
a
cosα=2cos
2
-1,
2
a
1cosa
所以cos
2
=. ②
2
2
活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2s in
2
将①②两个等式的左右两边分别相除,即得
tan
2
a
1cosa
=. ③
2
1cosa
教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
教 师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.
提醒学生在以后的 学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示
为:sin
aaa
1cosa 1cosa1cosa
=±,cos=±,tan=±,并称之为半角公式(不要求记
22 2
221cosa

忆),符号由
a
所在象限决定.
2
教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函 数式
不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差
异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以
联系它们的 适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的
变换.
对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出
左式.但为了更 好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发
点，引导学生思考，哪些公 式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度
看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个 方
程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinα cosβ-cosαsinβ后，
解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次 方程组，就容易得到所需要的结果.
（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问 题，即用积的形式表示
和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β= θ，α-β=φ，则
α=



2
，β=



2
,代入 (1)式即得(2)式.
证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
将以上两式的左右两边分别相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ,
即sinαcosβ=
1
[sin(α+β)+sin(α-β)].
2
(2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.①
设α+β=θ,α-β=φ,那么α=
把α,β的值代入①,
即得sinθ+sin φ=2sin



2
cos
,β=



2
.
.



2



2
教师 给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程
中用到了换元的思想 ,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三
角函数式.另外 ,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.
a
的二倍角.
2
a
1cosa
②sin
2
=1-cos.
2
2
讨论结果：①α是
③④⑤略(见活动）.

（三）应用示例
思路1
例1 化简:
1sinxcosx
.
.
1sinxcosx
活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和

倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.
xxxxxx
2si ncos2sin(sincos)
222

222
=tan
x< br>. 解:原式=
xxxxxx
2
2cos
2
2sincos 2cos(cossin)
222222
2sin
2
点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.
变式训练
化简:sin50°(1+
3

13
2(cos10
sin10

)
3sin10

22
1sin5 0
解:原式=sin50°

cos10cos10

sin 30

cos10

cos30

sin10

=2sin50°·

cos10
sin40

sin8 0

cos10


=2cos40°·=1.
cos10

cos10

cos10


例2 已知sinx- cosx=
1
,求sin
3
x-cos
3
x的值.
2
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于
(a-b)
3
=a
3
-3a
2
b+3ab2-b
3
=a
3
-b
3
-3ab(a-b),∴a
3
-b
3
=(a-b)
3
+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本< br>例的思想方法,由于sinx·cosx与sinx±cosx之间的转化.提升学生的运算.化简能力及 整体代换思
想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin
3
x-cos
3< br>x=(sinx-cosx)
3
+3sinxcosx(sinx-cosx)=
法往往适用于sin
3
x±cos
3
x的化简问题之中.
11
.此方
16
11
,得(sinx- cosx)
2
=,
24
3
1
即1-2sinxcosx=,∴sinxcosx=.
8
4
解:由sinx- cosx=
∴sin
3
x-cos
3
x=(sinx- cosx)(sin
2
x+sinxcosx+cos
2
x)
=
3
111
(1+)=.
8
162
点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.
变式训练
(2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=
答案:

1

3

,且
≤θ≤
,则cos2θ的值是_______ _______.
5
4
2
7

25
cos
4
Asin
4
Acos
4
Bsin
4
B
1求证:1
. 例1 已知
cos
2
Bsin
2
B cos
2
Asin
2
A

活动：此题可从多个 角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是
将A,B的位置互换了,因此应从 所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B角的正、余弦,可
利用平方关系来减少函数的种类.从结 构上看,已知条件是a
2
+b
2
=1的形式,可利用三角代换.
cos
4
Asin
4
A
1
, 证明一:∵22
cosBsinB
∴cos
4
A·sin
2
B+s in
4
A·cos
2
B=sin
2
B·cos+B. ∴cos
4
A(1-cos
2
B)+sin
4
A·co s
2
B=(1-cos
2
B)cos
2
B,
即c os
4
A-cos
2
B(cos
4
A-sin
4< br>A)=cos
2
B-cos
4
B.
∴cos
4A-2cos
2
Acos
2
B+cos
4
B=0. < br>∴(cos
2
A-cos
2
B)
2
=0.∴cos< br>2
A=cos
2
B.∴sin
2
A=sin
2
B.
cos
4
Bsin
4
B
22

∴cosB+sinB=1.
22
cosAsinA
cos
2
As in
2
A
cosa,
证明二:令=sinα,
cosBsinB
则cos
2
A=cosBcosα,sin
2
A=sinBsinα .
两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1.
∴B-α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z).
∴cosα=cosB,sinα=sinB.
∴cos
2
A=cosBc osα=cos
2
B,sin
2
A=sinBsinα=sin
2< br>B.
cos
4
Bsin
4
Bcos
4
Bs in
4
B

∴=cos
2
B+sin
2
B=1.
2222
cosAsinAcosBsinB
点评:要善于从不 同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系
进行了合理消元.
变式训练
在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=
11
,求证:S<1. 
1tanA1tanB
证明:∵S=
1tanA1tanB1ta nAtanB


(1tanA)(1tanB)1tanAtanBt anAtanB
又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°.
∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0,
∴tanA·tanB>1.∴S<1.
思路2
例1 证明
1sinx

x
=tan(+).
cosx4
2
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角 度进行推导：①左边→
右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的 化简推导.注
意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角
正切. < br>x
，三角函数的种类为
2

解：方法一：从右边入手，切化弦，得
x

x

xxx
)sincoscossincos sin

x
22

4242

22
,由左 右两边的角tan(+)=

x

x

xxx
4< br>2
cos()coscossinsincossin
42222222
xx
之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得
22
xx
(cossin)
2
1sinx
22


xxxx
cosx
(cossin)(cossin)
222 2
sin(
方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得

xxxx
(cossin)
2
cossin
1sinx
2222


xxxxxx
cosx
(cossin)(co ssin)cossin
222222
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分 母同除以cos
x
,得
2
1tan
x

xtantan
2

42
=tan(

+
x< br>).
x

x
4
2
1tan1tantan242
点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.
变式训练 已知α,β∈(0,

)且满足:3sin
2
α+2sin
2< br>β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.
2
2
解法一: 3sin
α+2sin
2
β=1

3sin
2
α= 1-2sin
2
β,即3sin
2
α=cos2β, ①
3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β,

②
①
2
+②
2
:9sin
4
α+9sin
2
αcos
2
α=1,即9sin
2
α(si n
2
α+cos
2
α)=1,
∴sin
2
α=
11

.∵α∈(0,),∴sinα=.
93
2
1
=1.
3
∴sin(α+2β)=sinαco s2β+cosαsin2β=sinα·3sin
2
α+cosα·3sinαcosα=3 sinα(sin
2
α+cos
2
α)=3×

3


),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.
2
22
解法二: 3sin
2
α+2sin
2
β=1

cos2β=1-2s in
2
β=3sin
2
α,
3
3sin2α-2sin2 β=0

sin2β=sin2α=3sinαcosα,
2
∵α,β∈( 0,
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
=cosα·3sin
2
α-sinα·3sinαcosα=0.
∵α, β∈(0,

3


),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.
2
22

解法三:由已知3sin
2
α=cos2β,
3
sin2α=sin2β,
2

两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(-2β).
2

∵α∈(0,),∴tanα>0.∴tan(-2β)>0.
22



又∵β∈(0,),∴

<-2β<.
2
222

结合tan(-2β)>0,得0<-2β<.
222

∴由tanα=tan(-2β),得α=-2β,即α+2β=.
222

sin(a

)sin(



)tan
2

例2 求证:
1
222
si n

cos

tan

活动：证明三角恒等式,一 般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是
在三角式的变换中经常使用的方法 .
证明:证法一:左边=
(sincos

cos

s in

)(sin

cos

cos

sin

)

22
sin

cos
sin
2
acos
2

cos
2
asin< br>2

cos
2
asin
2

tan
2

=
11
=右边.∴原式成立.
22222
sincos

sincos

tana
cos
2
sin
2

sin
2
cos
2

cos
2
asin
2

证法二:右边=1-

2222
sincos

sinacos

=
(sinacos
cosasin

)(sinacos

cosasin

)

sin
2
cos
2

si n(a

)sin(a

)
=左边.∴原式成立.
sin
2
cos
2

=
点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推
理能力.
变式训练
1.求证:
1sin4

cos4

1sin4

cos4


.
2
2sin

1tan

1sin4

cos4
2tan


,此式右
2
1sin4

c os4

1tan

分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于边就是tan2θ.
证明:原等式等价于
而上式左边
1sin4

cos4

tan2

. < br>1sin4

cos4


sin4
(1cos4

)2sin2

cos2

2s in
2
2

2sin2

(cos2

 sin2

)


==tan2
sin4

(1cos4

)2sin2

cos2

2co s
2
2

2cos2

(sin2

c os2

)

右边.∴上式成立,即原等式得证.
2.已知sin β=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=
1m
tanα.
1m
分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知 式中的2α+β可
化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.
证明: 由sinβ=msin(2α+β)

sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α ]

sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)co sα+cos(α+β)sinα]

(1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)· c
os(α+β)sinα

tan(α+β)=

（四）知能训练
1.若sinα=
1m
tanα.
1m
5a
,α在第二象限,则tan
的值为( )
132
1
1
D.


5
5
A.5 B.-5 C.
2.设5π<θ<6π,cos

=α,则sin
等于( )
24
A.
1a1a
1a1a
B. C.

D.


22
22
3 .已知sinθ=

37


,3π<θ<,则tan______ ___________.
2
52
解答:
1.A 2.D 3.-3

（五）课堂小结
1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦 、余弦公式的应用,半角公
式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导 ,三角恒等式与条
件等式的证明.
2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法, 方程思想,等价转化,三角恒等变形的
基本手段.

（六）作业


风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗 和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少，同样的损伤
体 力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫 红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月
极美，在于它必然的流逝 。
春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。 我始终相信，开始 在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得
更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表 明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦 圆满了，马上就要亏厌；树
上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。 只 有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老， 不解

多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高 楼雁一声？ 如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程 却忽然
忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它装订得
极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。 我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你 将来会拥有选
择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间
三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。 这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代 这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；
这是希望之春 ，这是失望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。 我有所感事，结在深深肠。 你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父母，
就是那不断对着背影既欣喜 又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。 刻意去找的东
西，往往是找不到的。天下万物的来和去，都有他的时间。 与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。 曾经沧海难为水，除却巫山不是云。 回首向来萧瑟
处，归去，也无风雨也无晴。 半生闯荡，带来家业 丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴 素，但有力量。风吹不倒有根
的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。心，若没有栖息的地方 ，到哪里都是流浪...如果有来生，要做一只鸟，飞越永恒，没有迷途的苦恼。东方有火红的希望，南方有温暖 的巢床，
向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。如果有来生，希望每次相遇，都能化为永恒。不乱于心，不困于 情。不畏将来，不念过往。如此，安好。 笑，全世界便与你同声笑，哭，你便独自哭。 一辈子，
不说后悔，不诉离伤。上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了 如果其中 一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选哪一半都很困难，所以这才是选择。
跟 着你，在哪里，做什么，都好。眠。我倾尽一生，囚你无期。择一人深爱，等一人终老。痴一人情深，留一世繁华 。断一根琴弦，歌一曲离别。我背弃一切，共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍
感幸福，在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过，留下的且当珍惜 我相信， 真正在乎我的人是不会被别人抢走的，无论是友情，还是爱情。我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天
的木栅栏和冬天的风雪之后，你终会抵达！ 每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光，提醒我，若不学会遗忘，就背负绝望。 那一年夏天的雨,像天上的星星
一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最 后。 如果一开始就知道是这样的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是
一天最美丽的时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。 因为有了因为，所以 有了所以。既然已成既然，何必再说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦，会
照亮你 的路。 我希望有个如你一般的人。
如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人 ，温暖而不炙热，覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚，由山野到书房，一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一 般的人，贯彻
未来，数遍生命的公路牌。 岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并 用程这为再年余生，风雪是你，成多每内淡是你，清贫是你，荣华是你，心底温柔是你，并用光所内为界，
也是你。个人的遭遇，命运的多舛都使我被迫成熟，这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏, 是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过很多的朋友,没有
谁像你一样的 温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些 人，有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有那么一个时侯，你忽
然会觉得很绝望，觉得全世界 都背弃了你，活着就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说，没关系，很多人都是这样长大的。风平浪静的人 生是中年以后的追求。当你尚在年少，你受的苦，
吃的亏，担的责，扛的罪，忍的痛，到最后都会变成光 ，照亮你的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化，不准偷偷想念，不准回头看。去过自己另外的生活 。你要听话，不是所有的鱼
都会生活在同一片海里。有人说，鲁迅是杂文，胡适是评论；鲁迅是酒，胡适 是水。酒让人看到真性情，也看到癫狂，唯有水，才是日常所需，是真生活。有时候会很自豪地觉得，我唯一的优 势
就是，比你卑微。于是自由。再也读不到传世的檄文，只剩下廊柱上龙飞凤舞的楹联。再也找不见慷慨 的遗恨，只剩下几座既可凭吊也可休息的亭台。再也不去期待历史的震颤，只有凛然安坐着
的万古湖山。 呼兰河这小城里边，以前住着我的祖父，现在埋着我的祖父。 诗意上来时，文字不要破坏它。 水，看似柔顺无 骨，却能变得气势滚滚，波涌浪叠，无比强大；看似无色无味，却能
挥洒出茫茫绿野，累累硕果，万紫千 红；看似自处低下，却能蒸腾九霄，为云为雨，为虹为霞…… 一切达观，都是对悲苦的省略 我们孩还发多夫道 知道了，就得看不我们后心回的”家“，不是
起用看把一个有邮递区号、邮差找得到的家，后心天能们后 心回的”家“，不是空于而，风每都到小是一段时光。 它们能够躲过所有凝视的目光，却躲不过那些出其不意投来的目光。
中国人对待自然环境与外国人截然 不同，外国人注意到的是人如何改变土地，而中国人关注的是土地怎样改变了人。、堂皇转眼凋零，喧腾是短命的 别名。在流光溢彩的日子里，生命被铸上妖冶的
印记。托尔斯泰说：“忧来无方，窗外下雨，坐沙发，吃 巧克力，读狄更斯，心情又会好起来，和世界妥协。” 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉，一种圆润而不腻耳的声 响，一种不再需要对别人察
言观色的从容，一种终于停止向周围申诉求告的大气，一种不理会喧闹的微笑 ，一种洗刷了偏激的淡漠，一种无需声张的厚实，一种能够看的很远却并不陡峭的高度。我不要天堂，我只要底线 。
因为没有底线，就没有自由。
宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。 如果你想知道周围有多么黑暗，你就得留意远处的微弱光线。如果我没有刀，我就不能保护你。如果我有刀，我就 不能拥抱你。“今天
比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快乐。这就是成功。” 没有悲剧就没有悲壮，没有悲壮就没有崇高 我们都在阴沟里，但仍有人仰望星空。 没有人性的觉醒，权力与财富只使人更粗鄙
堕落。 满地都是六便士，他却抬头看见了月亮。走出酒吧的 那一刹，我被遽然刺来的阳光下了一跳。闭上眼，我想起了我的收音机。它已经很旧很老，退役多年了。