教师公共基础知识-公务员考试面试

三角恒等变换
【考纲说明】
1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2、 能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明.
3、 本部分在高考中约占5-10分.
【趣味链接】
1、 cos(α＋β)有的时候蛮无聊的 ，把人家好好的α和β硬是弄得分居，结果上去调停的还是她；sin(α＋β)也会做差不
多的事，但 他比较懒,不变号.
2、 tan很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot陪陪他.
【知识梳理】
1、两角和与差的三角函数
sin(



)sin

cos

cos

sin

；
cos(



)cos

co s

sin

sin

；
tan

tan

tan(



) 
。
1tan

tan

2、二倍角公式
sin2

2sin

cos

；
c os2

cos
2

sin
2

2 cos
2

112sin
2

；
2tan

tan2


。
2
1tan

3、半角公式

sin
1cos


1co

s

cos

2222

sin

1co s


1cos


tan
（
tan
）
21cos

sin

21c os



4、三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆 用等。（2）
化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使 分母不含三角函数；⑤
尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式
sin
cos


11cos2

1cos2

2
sin2

；
sin
2


；
cos


.
222
2sin
2

1cos2


2cos
2

1cos2


（2）辅助角公式
asinxbcosxa
2
b
2
sin

x


，
其中sin

< br>积化和差公式：
b
ab
22
，cos


a
ab
22
.
sin

cos


1

sin(



)sin(


)

cos

sin


1

sin(



)sin(



)


22
cos

cos


1

cos(



)cos(


)


sin

sin


1

cos(



)cos







22

和差化积公式：
①
sin

sin

2sin



2
cos



2
②
sin

sin
2cos



2
sin


< br>2

③
cos

cos

2cos


2
cos



2
④
cos

cos

2sin



2
sin



2

5、三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给 角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转
化为求特殊角的三角函数值问题；
（2 ）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如

(



)

,2

(



)(



)
等，把所 求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求 值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得
角。
6、三角恒等式的证明
（1）三角恒等式的证明思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变 换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式
两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的 证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行
证明。
【经典例题】

sin(



)sin(



)tan
2

【例1】 求证．
1
222
sin

cos

tan

【解析 】左边＝
sin

cos

cos

sin
)(sin

cos

cos

sin< br>
)

22
sin

cos

si n
2

cos
2

cos
2

sin
2

cos
2

sin
2

tan
2


11
右边
2222 2
sin

cos

sin

cos
< br>tan

∴原式成立.
【例2】 已知：sinβ＝
ｍ·sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝
1m
tanα.
1m
【解析】由sinβ＝
m
sin(2α＋β)

sin[(α＋β)－α]＝
m
sin[(α＋β)＋α]

sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝
m
[sin(α＋β)co sα＋cos(α＋β)sinα]

(1－
m
)·sin(α＋β)co sα＝(1＋
m
)·cos(α＋β)sinα

tan(α＋β)＝
1m
tanα．
1m
【例3】 求tan70°＋tan50°－
3
tan50°tan70°的值.
【解析】原式 ＝tan(70°＋50°)(1－tan70°tan50°)－
3
tan50°tan70 °
＝－
3
(1－tan70°tan50°)－
3
tan50°tan70°
＝－
3
＋
3
tan70°tan50°－
3
tan50°tan70°＝－
3
∴ 原式的值为－
3
．

【例4】若A、B、C是△ABC的内角，cosB＝
13
, sinC＝, 求cosA的值.
5
2
【解析】∵ cosB＝
134
3
, ∴sinB＝, 又sinC＝, cosC＝±,
5
25
2
若cosC＝－
43
, 则角C是钝角,角B为锐角,π－C为锐角,而sin(π－C)＝,
5
5
sinB＝
3
, 于是 sin(π－C)< sinB，
2
44
, cosC＝,
55
∴ B>π－C, B＋C>π,矛盾, ∴ cosC≠－
ABC

故：cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos B cos C－sin B sin C)＝
334
.
10
【例5】已知


< br>


35

12


3

，求
cos



.
os ，sin
，

，


0，

，且
c



4

445413
4


3




3




∴0
，

，得< br>

，

，



4

2


4
4

4
4




4

4
5




4







，< br>


42

4
【解析】由已知


又
cos，∴sin
； 由


0，

，得







3
< br>
4

5

sinsin
又
∵
sin
∴cos















∴sin




，


44
413
413

4

13












由


，得
c

 
os

cos









4

4

4

4


33






5312

4

cos

.


cos

sin

sin


 
65

4

4

4

4

13513

5

5









12



12



5


【例6】 化简：

1sincossin





cos


22
22cos
2
，其 中

.




2

cos2sincos

sincos

2

2

2222
【解析】原式


2

4cos
2

2cos









2

2



cossinsincoscossin cos

cos·cos

2

22

22

2

22

2



2coscoscos
222

cos·cos

2
∴原式
cos

∵2，∴，∴ cos0

222
cos
2
12sincxosx1tan x
【例7】求证：

22
tanx
cosxsinx
1
sinx
2
1
cosxsinx

cos
2
xsin
2
x2sinxcosx
cosxsinx
cos x

【解析】右边



sinx
cosxs inx

cosxsinx

cosxsinx

c os
2
xsin
2
x
1
cosx
12sin xcosx


左边
∴原命题成立
22
cosxsinx
【例8】平面直角坐标系内有点
P
.
1，cosx，Qxcos，1，x，







44



（1）求向量
OP
与
OQ
的夹角θ的余弦； （2）求
cos
的最值。
 

2
OP·OQ2cosx
【解析】（1）∵
O

∴

cos


P·OQ2cosx，|OP|| OQ|1cosx
2
1cosx
|OPO||Q|

osfx()
（2）
c
2cosx2


2
1
1cosx
cosx
cosx


2



132


∵x

，

，∴cosx

，1

又
∵

2cosx
4

cosx2

4

2

222222
∴f(x)1
，即
 cos1

∴cos，cos1
.
minmax

333

【课堂练习】

1、（2 007全国）α是第四象限角，cosα＝
A.
12
，则sinα=（ ）
13
5555
B. - C. D.-
12 12
1313
2、（2009北京）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）
(α+β)>sinα+sinβ (α+β)>cosα+cosβ
(α+β)

3、（20 08北京）若角满足条件sin2<0，cos–sin<0，则在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4、（2009福 建）已知

∈(

2
,

)，sin
< br>=
3
5
,则tan(



4
)等 于（ ）
A.
1
7
B.7 C.－
1
7
D.－7
3sin70
0
5、(2008 海南理)
2cos
2
10
0
=（ ）
A.
1
2
2
B.
2
C. 2 D.
3
2

6、（2010重庆）
(cos

12
sin
12
)(cos

12
sin
12)
（ ）
A．

3
2
B．

1
1
3
2
C．
2
D．
2

7、(2008安徽)若f(sinx)＝2－cos2x，则f(cosx)＝（ ）
A.2－sin2x B.2＋sin2x C.2－cos2x D.2＋cos2x 8、（2010北京）在平面直角坐标系中，已知两点
A(cos80,sin80),B(c os20,sin20)
，则|AB|的值是（
A．
1
2
B．
2
C．
3
D．1
2
2
9、 （2009辽宁）已知等腰
△ABC
的腰为底的2倍，则顶角
A
的正切值是（ ）
Ａ．
3
2
Ｂ．
3
Ｃ．
15
8
Ｄ．
15
7

10、(2007海 南)若
cos2

2
，则
cos

sin

sin





π


的值为（ ）
4

2

Ａ．

7
Ｂ．

1
2
Ｃ．
1
2
2
Ｄ．
7
2

11、（2009湖北）tan2010°的值为 .
12、（2008北京文）若角α的终边经过点
P
(1,-2),则tan 2α的值为

.
13、（2010重庆）已知

,

均为锐角，且
cos(



)sin(



),则tan


.
14、 （2007浙江理）已知
sin

cos


1
5
，且

2
≤

≤
3
4
，则< br>cos2

的值是 ________ ．
15、（2010北京） 已 知
tan

2
=2，求：（I）
tan(


6sin

cos

4
)
的值； （II）
3sin

2cos

的值．
sin(


16、（2012全国）已知α为第二象限角，且 sinα=
15
)
4
,
求
4
sin2

 cos2

1
的值.

）

< br>17、（2011福建）已知


2
x0,sinxcosx
1
.
5
sin2x2sin
2
x
（Ⅰ）求
sinxcosx
的值； （Ⅱ）求的值.
1tanx
1 8、（2010全国）已知
cos





< br>


3

3


求
co s

2



的值.

,


4

4

522

19、(2008 四川) 求函数
y74sinxcosx4cos
2
x4cos
4< br>x
的最大值与最小值.
20、（2009四川）已知
cos
< br>113
,cos(),且0
<

<

<,
2
714
(Ⅰ)求
tan2
的值.（Ⅱ）求

.
【课后作业】
oo
sin15cos15
1、 的值为（ ）

oo
sin15cos15
A.
3
3
B.
2
4
6
C.
2
4
6
D.
3

2、
13
cossin
可化为（ ）
22
A.
sin










B.
sin



C.
sin





6

3< br>
6





2

D.
sin








3

an，tan
，则

的值是（ ） 3、若
、

0，

，且
t
A.
4
3
1
7


3
B.


4
C.


6
D.


8
4、函数
y
的周期为T，最大值为A，则（ ）
8sinxcoscxos2x

，A4
A.
T
B.
T

，A4
C.
T，A2

2
D.
T

，A2

2
5、已知

11
1
in2
的值为（ ） ，则
s
cossin
B.
12
C.
222
D.
222
A.
21

6、已知
tan
11
os
2
sin2
（ ） ，则
c
32

A.

6

5
B.

4

5
C.
4

5
D.
6

5
7、设
f
，则
f(2)
（ ）
(tan)xtan2x
A. 4
2
B.
4

5
C.

2

3
D.

4

3
8、
2
的值是（ ）
sin2cos4
A.
sin2
B.


cos2
C.
3cos2
D.
3cos2

9、在△ABC中，若
2
，则△ABC的形状一定是（ ）
cosBsinAsinC
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
10、要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ）
1
的锐角
3



B
2，0C

2，2
11、已知向量
O
，则向量
OA< br>与
OB
的夹角范
A2cos，2sin

，向量
O

，向量
C
A. 30° B. 45° C. 60° D. 正弦值为



围为（ ）
A.

0，






4

B.



5

5
，

C.

，


12

2

4

12
D.

5


，



1212

12、已知：
3
，则
t
的值为（ ）
cos25cos0an

tan

A.
4
B. 4 C.
4
D. 1
incos
，则
cos4
_____________. 13、已知
s
14、函数
y
的最小正周期为_____________.
2sinxcosx2sinx1
15、已知

2
1< br>3

tantana2tan3tan0
an
， 且
、
满足关系式
3
，则
t
_____________ .

6
16、已知
f(x)
1x


。若


，

，则
f
可化简为 _____________.
(cos)f(cos)

2
< br>1x
ooo
17、求值：
t

an70cos10·(3tan201)
()sinx3sincxosx
18、已知函数
fx
（1）求函数
f(x)
的最小正周期；
21
2
（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合；
（3）求函数的单调区间，并指出在每一个区间上函数的单调性.


31 77
sin2x2sin
2
x

osxx
，求19 、若已知
c
的值.



，

1 tanx
4

5124

20、已知α、β为锐角， 且
3
.求证：
2
sin2sin1，3sin22si n20
22


2
【参考答案】
【课堂练习】
1、B 2、D 3、B 4、A 5、C 6、D 7、D 8、D 9、D 10、C
11、
47
3
12、

13、1 14、


325
3
15、解：（I）因为
tan

2
2tan
2,
所以
tan



2
1tan
2
tan

tan

2< br>
224

，
143

4
1< br>1

4

tan

1

3
所以（I）
tan(

)
.

47
4
1tan

tan

1tan
1
3
4

4
6(-)1
7
6sin
cos

6tan

1
3

（II） =
3sin

2cos

3tan

26

4

3



2

3

2
(sin

cos

)
2(sin

cos

)
42

16、解：
.

sin2

cos2

1
2s in

cos

2cos
2

4cos

(sin

cos

)
sin(

 )
当

为第二象限角，且
sin


1
15
时
cos


，
sin

cos

0
，
4
4
sin(

)
2
4
2.
所以=
sin2

cos2

1
4cos

24
11
22
17、解：(Ⅰ)由
sinxcosx
,得
(sinxc osx)()
,得2sinxcosx=

,
25
55
497

2
∵ (sinx- cosxx)=1-2sinxcosx=, 又
x0,
∴ sinx<0 ， cosx>0, ∴ sinx —cosx= —
255
2
241
sin2x2sinx2sinxcosx2sinx2sinxcosx(sinxcosx)24

255

(Ⅱ)
sinx
7

1tanx(sinxcosx)175

1



cosx

5

22



< br>
18、解：
cos(2



4
)co s2

cos

4
sin2

sin

4

2
(cos2

sin2

).< br>
2
3

7

由此知〈

＋〈,
244

34
sin(

)1cos
2
(

)1()
2
.

4455
4324
从而cos2

sin(2

) 2sin(

)cos(

)2()
244552 5

3

7



,cos(< br>
)0,
4444
37
)12()
2
.
24525


2247312
cos(2

 )()
42252550
sin2

cos(2

)12cos
2
(


22
19、解：y74sinxcosx4cos
2
x4cos
4
x
 72sin2x4cosx1cosx

2


72 sin2x4cos
2
xsin
2
x

72sin2xsin
2
2x



1sin2x

6

由于函数
z 

u1

6
在

11，

中的最大值为
z
max


11

6 10
；最小值为
z
min


11

 66

222
故当
sin2x1
时
y
取得最 大值
10
，当
sin2x1
时
y
取得最小值
6< br>
2
1

1

2
20、解：（Ⅰ）由cos

,0


，得
sin

1cos

1


43

72
7

7

∴
tan


sin

437
24383

43
，于是
tan2


2tan


cos

71
1 tan
2

143
2
47

（Ⅱ）由 0<< br>
<

<


，得
0





2
2
2
13

3313
又∵
cos






，∴
sin





1cos
2





1




14
14

14

由









得：
cos
< br>cos











cos

cos





sin

sin







11343331

；所以


.
3
7147142
【课后作业】
1、D 2、A 3、B 4、D 5、C 6、D 7、D 8、C 9、A 10、B 11、D 12、C
13、

47
2
14、

15、
3

1a

16、
81
sin

oo
o

3

sin70sin20
oo
sin70
o
17、解：原式


·cos10

1

3c os10cos10·
o
oo
cos70
cos70cos20
 

cos10
o
·cos20
o
3sin20
o
cos20
o
3cos10
2sin10
o
· cos10
o
2sin10
o

oo
ooo
si n

2030

sin20·cos30cos20·sin30
1
sin10
o
sin10
o
o
18、解：
fx()
（1）
T
1cos2x31
31


sin2x
sin2xcos2x1sin

2x

1

222
226


22

x2k

kZ

（ 2）当
2

62
2

3


即
x
时，
f

x|xk，kZ
(x)2

max



当
2
；即
x
时，
f

x2k
< br>kZ
x|xk，kZ
(x)0


min

6

2



6




26263
53
当
2
；即
kxk
k2x2k

kZ< br>
kZ

时，
f(x)
单调递减。

3 6
262







5


（3）当
2
；即
k
时，
f(x)单调递增。
k2x2k

kZxk
< br>kZ

故
f(x)
的单调递增区间为

k，k


kZk，kkZ

；单调递 减区间为


6336

19、
∵cos，x 





317


4< br>
512

7
3
4


，则
sin
∴x2

x




4

4
54
5

osxcosx从而
c





cos







4


4

2

4

22


< br>



3




 

x

cossin

x

s in

44
52

5

210

4

4


72
2
∴sinx1cosx，tanx7

10
72

72

2

22< br>


2
101010
2sinxcosx2si nx


28


故原式

1775
1tanx
22
2

3sin2

2sin2

0

sin2sin1
20、由已知
3


∴3s in
2

12sin
2

cos2

sin2


3
sin2

3sin

cos


2
∴cos


2

cos

cos2

sin

sin2

cos

·3sin
2

sin

·3sin

cos

0

∵α、β为锐角，
∴02

3

∴2

2
2