人保部网站-电子厂实习日记

三角恒等变换测试题

_____贺孝轩

三角函数 < br>1.画一个单位圆，则
sin

y,cos

x,tan


2.一些诱导公式
y

x
sin(



)sin

,cos(


< br>)cos

,tan(



)tan

sin(



)cos

, cos(

)sin

,tan(

)cot


222

（只要两角之和为错误！未找到引用源。2就行）
3.三角函数间的关系
sin
2

cos
2
1



tan
2

1sec
2

，
tan


4．和差化积
sin



sin

tan

cos


cos

sin(



)sin
< br>cos

cos

sin

，
co s(



)cos

cos

si n

sin


tan

(

)

5．二倍角
tan

tan


1

tan

tan

22
s

co
2
s
sin

2co
2
s

112s in


sin2

2sin

cos

，
co2
tan2


2tan


1tan
2

1cos

，
2sin
2
6.二倍角扩展

2cos
2

2

1cos

，
1sin

(sincos)
2

2
22< br>
tan

tan

tan(

< br>
)(1tan

tan

)

7.asin

bcos


其中
cos

a
2
b
2
sin(



)
，
a
ab
22
，
sin

< br>b
ab
22

tan


b
a



8.半角公式
tan

2
sin



2

2
2sin
2

2
cos2sinc os
22


1cos

sin



1

tan

2
sin



2

2
2sin

2
cos
2

sin



1cos

2co s
2
2
cos

9凡正余弦的次数为二，均可以化成正切函数来表示
sin

cos

cos
2

tan< br>
1

如：
sin

cos

 cos



222
sin

cos

tan1
2
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题
（本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确 答案代号填在
答题卡上
）

123


1.已知< br>cos

,

(,2

)
，则
cos(

)
（ ）
4
132
A.
527272
172
B. C. D.
131326
26
2.若均

,

为锐角，
sin
< br>
253
,sin(



),则cos


（ ）
55
A.
252525
2525
或
B. C. D.


5255
525
3.
(cossin)(cossin)
（ ）
12121212
A.

3
3
1
1
B.

C. D.
2
2
2
2
0000

4.
tan70tan503tan70tan50
（ ）
A.
3
B.
3
3
C.

D.
3

3
3
2sin2

cos
2


（ ） 5.
1cos2

cos2

A.
tan

B.
tan2

C. 1 D.

1

2
6.已知x为第三象限角，化简
1cos2x
（ ）
A.
2sinx
B.
2sinx
C.
2cosx
D.
2cosx

7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于
4
,则这个三角形底角的正弦值为（ ）
5

2

A．
1010310
310
B．

C． D．


101010
10
8. 若
3sinx3cosx23sin(x
),

(

.

)
，则


（ ）

5


5

B. C. D.


66
66
1
9. 已知
sin

cos


，则
sin2


（ ）
3
1
1
8
8
A．

B．

C． D．
2
2
9
9
A.

10. 已知
cos 2


2
44
，则
cos

sin
的值为（ ）
3
A．

2
2
4
B． C． D．1
3
3
9
2

3

4

5

coscoscos
（ ）
1111111111
1
1
A.
5
B.
4
C. 1 D. 0
2
2
xx
12. 函数
ysin3cos
的图像的一条对称轴方程是 （ ）
2 2
11
5

5


A．
x
C．
x
D．
x


B．
x
3
333
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11. 求
cos

cos
13．已知

,

为锐角，
cos


1
10
,cos


1
5
,则



的值为

．

2
14．
在
ABC
中，已知tanA ,tanB是方程
3x7x20
的两个实根，则
tanC
．

15.若
sin

3

4
,cos 
，则角

的终边在 象限
．

252 5
16.代数式
sin15
o
cos75
o
cos15< br>o
sin105
o

．
※知识回顾：
1.和差公式
cos(



)
=
sin(



)
=
tan(



)
=
2.倍角公式

3

sin2

=
cos2

= = =
tan2

=
3.降幂公式
cos
2

= ，
sin
2

= .
4.辅助角公式
asinxbcosx
，
其中sin



b
ab
22
，c os


a
ab
22
。
三角恒等变换测试题


三．解答题（共5个小题，满分48分） < br>35
17．（本小题8分）△ABC中，已知
cosA,cosB,求sinC的值
．

513











18．（本小题10分）已

3

123




,cos(


),s(

i

)n,求s
< br>．
i

n2
24135









知
)
15
4
,
求
19．（本小题10分）
已知α为第二象限角，且 sinα=的值．

4
sin2

cos2

1

4
sin(




20. （本小题10分）
.
已知α∈（0，
cosβ=－



















21．
（本小题满分10分）

已知函数
f(x)cos(2x
ππ
33
），β∈（，π），sin（α+β）=，
2265
5，则sinα=
13

)2sin(x)sin(x)

344

（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期和图象的对称轴方程

5

（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
[,]
上的值域
122













【达标检测】
sin15
o
cos15
o
1. 的值为（ ）
sin15
o
cos15
o
A.
3

3


B.
26

4
C.
26

4
D.
3

2. 若
、

0，
41


，且，则

的值是（ ）
tan，tan


2
37
B. A.


3



4
C.


6
D.


8
3. 函数
y8sinxcosxcos2x
的周期为T，最大值为A，则（ ）


A.
T，A4

C.
T，A2








，A4

2

D.
T，A2

2
B.
T
4. 已知

11
1
，则
sin2
的值为（ ）
cossin
B.
12
C.
222
D.
222
A.
21

5. 已知
tan
A.

6

5
11
2
，则
cossin2
（ ）
32
44
B.

C.
55
D.
6

5
6. 设
f(tanx)tan2x
，则
f(2)
（ ）
A. 4 B.
4

5
C.

2

3
D.

4

3

6

7.
2sin2cos4
的值是（ ）
A.
sin2
B.
cos2
C.
3cos2
D.
3cos2

2
9. 已 知：
3cos

2

5cos0
，则
tan



tan
的值为（ ）
A.
4
B. 4 C.
4
D. 1
1．正弦定 理:
abc
2R
或变形：
a:b:csinA:sinB:sinC
.
sinAsinBsinC

a
2
b
2c
2
2bccosA

222
2．余弦定理：

bac2accosB
或

c
2
b
2
a
2
2bacosC


b
2c
2
a
2

cosA
2bc

a
2
c
2
b
2

.

co sB
2ac


b
2
a
2
c
2

cosC
2ab

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5． 解题中利用
ABC
中
ABC

，以及由此推得的一些基本关 系式进行三角变换的
运算，如：
sin(AB)sinC,cos(AB)cosC ,tan(AB)tanC,


sin
已知条件
ABCABCABC
cos,cossin,tancot
.、
222222
定理应
用
正弦定
理
一般解法
一边和两角
（如a、B、C）
两边和夹角
(如a、b、c)
三边
(如a、b、c)

由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时
有一解。
由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再
由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C
在有解时只有一解。
余弦定
理
余弦定
理
1、ΔABC中,a=1,b=
3
, ∠A=30°,则∠B等于
A．60°

（ ）
B．60°或120° C．30°或150° D．120°
7

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是
A．a=1,b=2 ,c=3
C．a=1,b=2,∠A=100°
3、在锐角三角形ABC中，有
A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosAB．a=1,b=
2
,∠A=30°
C．b=c=1, ∠B=45°
（ ）
（ ）
C．cosA>sinB且cosBsinA
4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是
A．直角三角形
C．等腰三角形
B．等边三角形
D．等腰直角三角形
（ ）
5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x
2
+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，
那么角B
A．B>60° B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60°
（ ）
（ ）
6、满足A=45°,c=
6
,a=2的△ABC的个数记为m,则a
m
的值为
A．4 B．2 C．1 D．不定
7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,
α(α<β),则A点离地面的高度AB等于

（ ）
A


B
asin

sin

asin< br>
sin

A． B．
sin(

< br>
)cos(



)
C．
asin
cos

acos

sin

D．
sin(



)cos(



)
D C



9、A为ΔABC的一个内角,且 sinA+cosA=
11、在ΔABC中，若S
Δ
ABC
=
7, 则ΔABC是______三角形.
12
1
222
(a+b－c),那么角∠C=______.
4
31
12、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_______.
32







8

13、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b
2
=ac； ②b
2
tanA=a
2
tanB；
③sinC=



sinAsinB
④ (a
2
－b
2
)sin(A+B)=(a
2
+b
2
)sin(A －B).
cosAcosB

，边
BC23
．设内角
Bx
，周长为
y
．

（1）求函数
yf(x)
的解析式和定义域；（2）求
y
的最大值．
1、在
△ABC
中，已知内角
A








2、在
ABC
中，角
A,B,C
对应的边分别是
a,b,c
，若
sinA





3、在
ABC
中
a,b,c
分别为
 A,B,C
的对边，若
2sinA(cosBcosC)3(sinBsinC)< br>，
（1）求
A
的大小；（2）若
a
3
1
,
sinB
，求
a:b:c

2
2
61,bc9
，求
b
和
c
的值。







4、图，
AO 2
，
B
是半个单位圆上的动点，
ABC
是等边
三角形，求当
AOB
等于多少时，四边形
OACB
的面积最
大，并求四边形面积 的最大值．







9
C
B
E
O
F
A

5、在△OAB中，O为坐标原点，
A(1, cos

),B(sin

,1),

(0,
大 值时，


( )
A．



6. 在
ABC
中，已知
tan
①
tanAcotB1


2
]
，则当△OAB的面积达最



B． C． D．
6432
AB
sinC
，给出以下四个论断，其中正确的是
2




②
0sinAsinB2

③
sin
2
Acos
2
B1



④
cos
2
Acos
2
Bsin
2
C

4．已知
A,B,C
是三角形
ABC
三内角 ，向量
m1,3,n

cosA,sinA

，且
m n1
.
（Ⅰ）求角
A
；（Ⅱ）若









5．已知向量
a(2co s,tan(

1sin2B
3
，求
tanC
.
22
cosBsinB
x
2
x
2

x< br>
x

)),b(2sin(),tan()),令f(x)ab< br>.
42424
求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上 的单调区间.
10．设向量
a
＝(sinx，cosx)，
b
＝( cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝
a(ab)
.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥



10
3
成立的x的取值范围．
2

[例5] 已知函数
（1）当函数取得最大值时，求自变量的集合。
（2）该函数的图象可由
[例8] 已知
时有最大值为7，求、的值。
























参考答案（正弦、余弦定理与解三角形）
一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10）
的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
，其中，且，若在
14

1
3
（11） （12） 三、（13）分
8
34
析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形 状. ①由余弦定理
a
2
c
2
b
2
a
2
c
2
b
2
1
cos60a
2< br>c
2
acac

(ac)
2
0
，
2ac2ac2
b
2
sinA
ac
. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由
btanAatanB

cosA
22

11

a
2
sin BsinBcosAb
2
sin
2
B
sinAcosA sinBcosB,sin2Asin2B,
cosBsinAcosB
a
2sin
2
A
∴
A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△. ③
sinC
sinAsinB
，由正弦定理：
cosAcosBa
2
b
2
c
2
a
2
c
2
b
2
c(cosAcosB)ab,
再由余弦定理：
c cab

2bc2ac
22
sin(AB)ab

(ab)(cab)0,cab,ABC为Rt
. ④由条件变形为

22
sin(AB)
ab
222222
sin(A B)sin(AB)a
2
sinAcosBsin
2
A
2
,sin2Asin2B,AB或AB90
.
2
sin(AB)sin(AB)
b
cosAsinB
sinB
∴△AB C是等腰△或Rt△.



12