写给老师的贺卡-韩国留学中介

简单的三角恒等变换
一、考点、热点回顾
模块一、两角和与差的三角函数
要点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
令



sin





sin

cos

cos

sin

sin2

2sin

cos


令



cos





cos

cos

m
sin

sin

cos2< br>
cos
2

sin
2

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　2cos
2

112sin
2

tan

tan

1+cos2

　　　　　　　cos
2

＝
1
m
tan
tan

2
1cos2

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　sin
2

＝
2
2tan

　　　ta n2


1tan
2

　tan

< br>



要点二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路
①巧变角：

(



)

(



)

，
2

(< br>


)(



)
，
2

(



)(


< br>)
，




2



2
，



2





2






2

等
②三角函数名互化：切割化弦
③公式变形使用：
tan
< br>tan

tan





1mtan

tan


，

1±sin2α=sin
2
α+cos
2
α±2sinα·cosα =（sinα±cosα）
2

④三角函数次数的降升：降幂公式：
cos< br>2


1cos2

1cos2

，< br>sin
2


；
22
升幂公式：
1cos2

2cos
2

，
1 cos2

2sin
2


⑤常值变换主要指“1”的变 换：
1sin
2
xcos
2
x
tan
sin

L
等
42

模块二、简单的三角恒等变换
要点三、半角公式：
1cos

α
sin ＝


2< br>2
cos
tan

2


1cos< br>

2
1cos

sin

1cos

=

1cos

1cos

sin


2
要点四、三角函数的积化和差公式
1
sin

cos< br>
[sin(



)sin(

< br>
)].

2
1
cos

sin

[sin(



)sin(



)].

2

1
cos

cos

[cos(



)cos(


)].

2
1
sin

sin< br>
[cos(



)cos(



)].

2
记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二 分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。

要点五、三角函数的和差化积公式

sin

sin

2sin

< br>

记忆口诀：正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦。

要点六、辅助角公式
asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
·sin
(
x＋φ
)
，
其中sin φ＝
bab
，cos φ＝，即tan φ＝.
a
a
2
＋b
2
a
2
＋b
2
22

sin

2cos



sin



.

sin
22



cos

2cos



cos
< br>

.cos
22



cos

2sin



sin


.

cos
22

cos



.


要点七、万能公式
ααα
2tan1－tan
2
2tan
222
sin α＝，cos α＝，tan α＝. (属知识拓展)
ααα
222
1＋tan1 ＋tan1－tan
222
α
万能公式的特点和作用：可将sin α，cos α，tan α统一用tan的有理式表示出来．
2

二：典型例题

考点一、给角求值
例1.求下列各式的值：
（1）

cos79cos34sin79sin34


20
2cos10
（2）
（3）

sin15cos15



3sin70
0
sin7
o
cos15
o
sin8
o
（4）
cos7
o
sin15
o
sin8
o


变式训练1：求下列各式的值：

（1）

sin163sin223sin253sin313



（2）
13tan15


3tan15
（3）tan20°·tan30°+tan30°·tan40°+tan40°·tan20°
（4）已知




3

，则

(1tan

)(1tan

)


4


考点二、给值求值
例2.
（1）已知
1tan


45
，则
tan(

)
（ ）。
1tan

4
A
45
B
45

（2）已知
tan(



)
A


变式训练2：（1）已知
sin(



)
（2 ）设
cos

cos


13

18
C
45
D
45

2

1

，
tan(

)
，那么
tan (

)
（ ）
5444
B
13

22
C
3

22
D
1

6
tan

23
，
sin(



)
，求的值
tan

34
11
，
sin
sin


，求
cos(



)
的值。
23
（3）已知
cos(

)
4
3

3

5

12
< br>,

,sin(

),0

,
求
sin(



)
的值
5444134βα
π
12
α－

＝－，sin

－β

＝，求cos(α＋β)的值 （4）已知0＜β＜＜α＜π，且cos

2

2

329



考点三、给值求角
例3. 已知

,

都是锐角，
sin




变式训练3：已知

,

(0,

)
且
tan(



)


考点四、三角函数式的化简
例4. 化简下列各式：
(1)
11
－
22
3π
11

＋cos 2α，α∈


2
，2π

；
22
11
，
tan


，求
2


< br>的值
27
5310
,cos


，求角



的弧度
510

cos
2
α－sin
2
α
(2)
.
π< br>
2

π

2tan

4
－α< br>
cos

4
－α


变式训练4：（1） 已知

为第四象限角，化简：
cos

ππ
－3cos
1212
1sin

1cos

sin
< br>
1sin

1cos

（2）sin
1
2cos
4
x－2cos
2
x＋
2
（3）
π

2

π

2tan
4
－x

sin

x＋
4

（4）
11x3
sin
2
x(tan)cos2x

x
222
tan
2


考点五、三角恒等式的证明
1
例5. 证明：cos
8
α－sin
8
α－cos 2α＝－
sin 2αsin 4α
4


变式训练5：(1)已知2sin β＝sin α＋cos α，sin
2
γ＝2sin α·cos α，求证：2cos 2β＝cos
2
γ

其中cot
α
＝
1

cos
2
α
1
2
α
(2)求证： ＝ sin 2α.

αα
4tan

2

cot －tan
22

三、课后练习
一、选择题
35
,cosB
，则
cosC
（ ）
513
6
A. 或 B.

或

C.

D.
656565656565
1.在
ABC
中，
sinA
0000
2.设
asin14cos14
，
bsin16cos16
，
c
6
，则
a,b,c
的大小关系是（ ）
2
A.
abc
B.
acb
C.
bca
D.
bac




3. 设函数
f

x

2cos
2
x3sin2xa
（
a
为常实数）在区间

0,

上的最小值为
4
，则
a
的值等于

2

（ ）
A. 4 B. -6 C. -3 D. -4

4.已知
f

x

sin

xcos

x(


1
,x R)
，若
f

x

的任意一条对称轴与
x
轴的交点横坐标都不属于区间
4

2

,3


，则

的取值范围是（ ）
A.


3
,
11



11
,
19

B.


1553

37711

13917


812812


4
,
12



8
,
4

 C.


8
,
12


< br>8
,
12


D.


4
,
4



8
,
12



5.函数
y2cos
2


x



4


1
是（ ）
A. 最小正周期为

的奇函数 B. 最小正周期为

的偶函数
C. 最小正周期为

2
的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
6.已 知向量
a
v


cos

,1

,b
v
2


1,sin


，若
a
v
·b
v

1
5
，则
sin2


( )
A.

24
25
B.

12
25
C.

7
5
D.

4
5

7.在
R
上定义运算
ac
2sinx2sinx
bd
adbc
，若
f

x

3sinxcosx
，
x

0,π

，则
f

x

的递增区间为（
A.
< br>
π

2π

π2π


π7 π


0,
6


，


3
,π


B.


6
,

3


C.


π

7π

0,
12
< br>
，


12
,π


D.


12
,
12



8 .下列对于函数
f

x

22cos
2
x，x 

0,3


的判断不正确
．．．
的是（ ）。
A. 对于任意
x

0,3


，都有< br>f

x

1

f

x

f

x
2

，则
x
1
x2
的最小值为
2
；
B. 存在
aR
，使得函数
f

xa

为偶函数；
C. 存在
x
0


0,3


,使得
f

x
0

4
；
D. 函数
f

x

在区间




2
,
5


4


内单调递增；
9.函数
f

x

sin
2x3sinxcosx
的图像的一条对称轴为（ ）
A.
x

12
B.
x

6
C.
x
5

12
D.
x
7x
12

10.函数的一条对称轴方程为，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
11.
设
a
，

bR
，

a< br>2
2b
2
6
，则
ab
的最小值是（ ）

A.
22
B.

53
3
C.
3
D.

7
2

）

1


1

1
sin2xsin＋cos
2
xc os－sin(＋)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不
2332232

变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在[0， ]上的最大值和最小值分别为 ( )
4
11111111
A. ，－ B. ，－ C. ，－ D. ，
22442442
12.将函数f(x)＝
二、填空题
13.若 ，则 的值是 .
2
，则3
14.在平面直角坐标系中，角

与角

均以
Ox< br>为始边，它们的终边关于
x
轴对称，若
cos


c os






____________.
15.已知
16.
已知
，则_________.
，则的值为
_____________
三、解答题
17.已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，
(1)求角A；
(2)若



18.已知函数
f

x< br>
cosx
3
)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1.
1sin2B
＝－3，求tanC
．

cos
2
Bsin
2
B

3sinxcosx
，
xR
.

（1）求函数
f

x

的最大值；
（2）若
f



19.
在
ABC中，三个内角分别为
A、B、C
，已知
sin

A



3


，

R
，求
2

4


f


< br>
的值.
3





2cosA
.

6

（1）求角
A
的值；

4



（2）若
B

0,

，且
cos< br>
AB


，求
sinB
.
5

3


20.已知函数
f

x

sinx?cosx 3cos
2
x
．
（1）求
f

x

的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数
f

x

的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍 ，纵坐标不变，得到函数
g

x

的图象，若方程
g

x






3m
0
在
x

0,


上有解，求实数
m的取值范围．
2
21.已知向量
a

sinx,1

，
b

cosx,2

，
xR
，函数
f

x

ab
. v
v
v
v
v
v

ππ

（1 ）当
x

,

时，求
ab
的最大值与最小值 ；

123

（2）设
f









1.D 2.B 3.D 4.C 5.A 6.A
7.C 8.D 9.C 10.B 11.C 12.C
3π

12

ππ

，



,

，求
tan

2


.
4

5

42

5
13.
14.


15.

16.
9
17.(1)

853

;(2) .
11
3
18.（1）
f

x

max
1
137

;（2）
.

228

19.解析：（1）因为
sin

A
且
cosA0
，所以
tanA



31
sinAcosA2cosA
，即
sinA3cosA，因为
A

0,


，，得
2cosA< br>
22
6

3
，所以
A

3.
（2 ）因为
B

0,



3


，所以
AB



B

0,

，因为sin
2

AB

cos
2

A B

1
，所以
3

3

sin

AB


433
3
， 所以
sinB sin

A

AB


sinAcos< br>
AB

cosAsin

AB


.
10
5


20.（1）
Tπ
,增 区间为

k



12
,k


2
5


（2）

2,3

.

kZ

；


12

解析 ：（1）
f

x

sinx?cosx3cosx


13
sin2x

1cos2x


22
133
sin2xcos2x

222



3

，
sin

2x


3

2

因此
f< br>
x

的最小正周期为
T
由
2k


2



，
2
，
kZ
，

2
2x

3
2k


2
解得
f

x

的单 调递增区间为

5


k

,k


，
kZ
．

1212

（2）由题意得
g

x

sin

x



3
，


3
< br>2
则方程
g

x


3m
0< br>可化简为
2


33m


sin
x


322



m
sin

x

0
，
3

2

∵
x0,

，则



3
x

3

2

，
3

则

3


si n

x

1
，
23

3m
1
，
22
则

得
2m3
，
故实数
m
的取值范围为

2,3

．

21.（1）
ab
min
=
解析：（1
38
，
ab
max
=11
；（2）
7
.
2
）
2
v
Q
a

sinx,1

，
v
b

cosx,2

，
v
v
ab

sinxcosx,3

，
v
v
ab

sinxcosx


ππ

π2π

9=102sinxcosx=10sin2x< br>，当
x

,

时，
2x

,

，

123

63

138
ππππ

1

时，
a b
min
=10
，当
2x=
即
x=
时，
sin2x

,1

，

当
2x= 
即
x=
22
61224

2

ab
max
=10111
.
（2）
Qf

x
sinxcosx2=
11124

ππ

，
sin2

=
.
Q



,< br>
，
sin2x2
，
sin2

2=2255

42

4
3π
1
3π

34

π


4

3
2


,π

，
cos2

=
，
tan2

=
，
tan

2



=7
.
3π4
53
4

1tan2

tan

2


1
43
tan2

tan