拥有一颗感恩的心-我爱祖国手抄报

三角恒等变形讲义
三角恒等变换专题讲义
李 霞
知识点1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.两角和与差的余弦公式
cos(

-

)cos< br>
cos

sin

sin


cos(



)cos

cos

 sin

sin


注：

1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）
2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后
3.会逆用及其变形
2.两角和与差的正弦
sin(

-

)sin

cos

-cos

sin


si n(



)sin

cos

co s

sin


注：

1.公式中两边的符号相同
2.式子右边异名三角函数相乘再加减
3.会逆用及其变形
3.两角和与差的正切公式
tan(α+β)=
tan

tan

,
1tan

tan

tan

tan
< br>.

1tan

tan

tan(α-β)=
注：1.两角和时，上加下减
2.两角差时，上减下加
3.会逆用及其变形
考点1：求值问题
【例】求下列各式的值
（1）cos75°



1 10

三角恒等变形讲义
（2）cos75°cos15°－sin255°sin15°



(3） sin47°－sin47°cos30
cos17°




（4） 1+tan75°
1－
tan75
°





（5）tan20°+tan40°+
3
tan20°tan40°







考点2：化简问题
【例】化简下列各式
(1)
－



(2)
3
1
sinx+cosx
2
2
3
1
sinx－
cosx
2
2




知识点2：两倍角的正弦、余弦和正切公式
1.两倍角的正弦公式

Sin2α=2sinαcosα
2 10

三角恒等变形讲义
2.两倍角的余弦公式

Cos2α=.cos²α- sin²α=2cos²α－1=1－2sin²α
3.两倍角的正切公式

2tan

t
an2α=
1tan
2


注：对以上三个公式会逆用及其变形

考点：求值问题
【例1】已知：< br>sinα－cosα=
2
，α

，则sin2α=

（0，

）


【例2】计算求值


3
1
－


cos10

sin10



知识点3：简单的三角恒变形
1.半角公式
（1）
sin

（3）
tan

2

1cos


2
（2）
cos

2

1cos


2

2
2.
和差化积

sin

1cos



1co s

sin

（1）
sin

sin

2sin



22





（2）
sin

sin

2cos

sin
22





cos（3）
cos

cos

2cos

22





sin
（4）
cos

cos

2sin

22
3. 积化和差 1
（1）
sin

cos

[sin(
< br>

)sin(



)]

2

（2）
cos

sin


cos




1
[sin(



)sin(



)]

2
3 10

三角恒等变形讲义
1
[cos(



)cos(



)]

2
1（4）
sin

sin

[cos(



)cos(



)]

2
（3）
cos

cos



4. 辅助角公式
辅助角公式：
asinxbcosxa
2
 b
2
sin

x


(其中

角所在的象限由
a
,
b
的
符号确定，

角的值由
tan


考点1：化简求值问题
b
确定)在求最值、化简时起着重要作用
a
（1）升幂化简
【例 1】若

(

,

)
，化简



【例2】化简：
1sin440




2

3
2
1111
cos2

2222
1sin

1sin


1sin
【例3】α是第三象限角，化简
1sin





1cos

1cos


1c os

【例4】化简
1cos







(,

)
2

（2）降幂化简
【例1】求函数
y2cosxsin2x
的最小值

2
4 10

三角恒等变形讲义
【例2】函数
y2cos

x
2





1
最小正周期为

4



5
3(xR)
的单调递增区间为
2
2
【例3】函数
f(x) 5sinxcosx53cosx

___________

（3）切化弦
【例1】求sin50
°（1+
3
tan10°）的值



cos10

【例2】（
tan10°－
3
）

sin50





（4）巧变角（ 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的
变换、两角与其和差角的变换. 如
(



)

(



)

，



2

(



)(



)
，
2

(



)(


)
，



2
，
2









等）
2

2


2


【例1】已知
tan(



)







【例2】已知
0


1
2

，
tan(

)，求
tan(

)
的值
44
54

2

cos(



)





，且
cos(



1

2
)
，
sin(

)
，求的值
29
23



5 10

三角恒等变形讲义
【例3】已知：锐角α和β，满足sin（α－β）=34
，sinα=，求sinβ的值
55





【例4】已知：tan（α+







1

1
）=，tan（β－）=，求tan（α＋β）的值
6262
（5）辅助角
【例1】已知函数
f(x)2cosxsin(x 

3
)
3

2
（1）求函数
f(x)
的最小正周期及取得最大值时x的取值集合
（2）求函数
f(x)
图像的对称轴方程





【例2】已知函数
f(x)2acosxbsinxcosx
（1 ）求
f(x)
的单调递减区间
（2）函数
f(x)
的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数




【例3】已知函数y=
2
3
3< br>
1
，且
f(0)
，
f()
。
22
42
3
1
2
cosx+sinx·cosx+1 （x∈R）
2
2
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合
6 10

三角恒等变形讲义

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到







【例4】已知函数
f(x) cos(

11
x)cos(x),g(x)sin2x
。
3324
（1）求
f(x)
的最小正周期；
（2）求函数
h(x)f(x)g(x)
的最大值，并求使
h(x)
取得最大值的x的集合。






（6）关于
sin

cos

与sin

cos

(或sin2< br>
)
的关系的推广应用
（由于
(sin

cos

)
2
sin
2

cos
2

2sin

cos

12sin

cos

故知道
(sin

cos

)
，必可 推出
sin

cos

(或sin2

)
）
【例】
已知
sin

cos


3
,求sin
3

cos
3

。
3






（7）利用公式：
sin
2

cos
2

1
及“托底”方法求 值


【例1】
已知：tg

= -3，求sin

cos

-cos
2

的值





7 10

三角恒等变形讲义

【例2】
已知：tg
< br>=3，求
sin

3cos

的值
2sin

cos






考点2：证明问题
证三角恒等式时，先观察左右两边：
①是否同名函数？如果不是 同名函数，一般保留正弦和余弦，把其它的变为
正弦和余弦（异名化同名）
②是否同角函数？如果不同角，就要考虑利用倍角、半角公式，（异角化同
角）；
③次数是否相同？如果两边不同次，就要注意是否有必要“升次”或“降次”；
④是繁还是简 ？一般从较繁的一边往较简的一边变（化繁为简），如果两边
都繁，则变两边（左右归一），
⑤有时还需要用三角函数值来替换数字，根据角来对三角函数加以配凑和拆
项

（1）异名化同名
1sin

1csc

•cot
3



【例1】 求证：
1cos

1sec





【例2】求证





【例3】求证：




【例4】求证:tanA+cotA=


8 10
1secxtanx1sinx
.

1secxtanxcos x
12sin

cos

1tan

= cos
2

sin
2

1tan

2
.
sinA

三角恒等变形讲义


【例5】求证：
ctg




2

tg
2


2sin4


3
sin2

（2）异角化同角
【例1】求证：




3x2sinx
【例2】求证：
tanxtan.

22cos xcos2x
tg5

tg3

4cos2

cos4


tg5

tg3





（3）降次
1sin
6

cos
6

3

【例1】求证
44
1sin

cos

2




【例2】求证
1cos
4

sin
4

22
1-3sin

cos

66
1cos

sin


（4）化繁为简
【例1】求证：



9 10
13
4

sin10cos10

三角恒等变形讲义

【例2】求证：
tg20tg403tg20tg403






（5）角的配凑
【例1 求证：
cos36•cos72
1
4




【例2】求证：cos20
°cos40°cos80°=
1
8







10

10