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全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）




三角函数的诱导公式、同角的基本关系式、
简单的三角恒等变换
一、选择题 1.(优质试题·全国卷Ⅰ高考文科·T14)已知θ是第四象限角,且sin

θ
=,则
4

5

tan

θ
= .

4


π

< br>π

3
【解析】方法一:因为θ是第四象限角,

所以-+2kπ<θ<2kπ,

则-+2kπ<θ+<2kπ+,而sin

θ

=,

4

5444

所以cos

θ
=.

4

5

又sinθ=sin


θ




44





π

π


π

π
2
πππ

π

3
4
=sin

θ

cos- cos

θ

sin,则sinθ=-,cosθ=.

4

4

1010
44

所以tanθ=



π

π

π

π
272
sinθ1
=-,

cosθ7

所以tan
θ
1
1
π

tanθ1
4
7< br>

===-.

4

1tanθ
3
1

1




7
< br>答案:-

方法二:由题意,sin

θ

=,c os

θ

=,

4

5
4< br>
5



ππ3
sinθcoscosθsin ,


445
∴

解得


c osθcos
π
sinθsin
π

4
,
445

π

4
3
3

π

4

全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）


1

sin

,

52


7

cos

,

52
< br>所以tanθ=-,tan

θ


4
7

1

π

π1
1
4
4
=
7
==-.

π1
3
1tanθtan11
47
tanθtan
答案:-

2.(优质试题·全国卷Ⅱ理科·T9) 若cos

α

=,则sin2α= ( )


4

5
A.
7117
B. C.- D. -

255525

π

4
3
3
【解题指南】利用诱导公式变换角,建立已知角 和未知角的联系,利用三角恒等变换公式
求值.

【解析】选D.因为cos

α

=,

4

5
2
sin2α=cos

2
. α

=2cos

α

-1=-
4
2
25

π

3

π




π



7
3.(优质试题·全国卷Ⅱ文科 ·T11)函数f(x)=cos2x+6cos

x

的最大值为 ( )


2

A.4 B.5 C.6 D.7

【 解题指南】函数解析式中的角有两个:2x和-x,需要分别利用二倍角公式和诱导公式
化异为同,转化 为二次函数问题求解.

【解析】选B.因为f(x)=1-2sin
2
x+6sinx


3

11
=-2

sinx

+,
2
2

2

π

π
2< br>而sinx∈[-1,1],

所以当sinx=1时,函数取得最大值5.

4.(优质试题·全国卷Ⅲ·理科·T5)若tanα=,则cos
2
α+2sin2 α= ( )

A.
644816
B. C.1 D.

252525
3
4
【解题指南】根据条件需要把未知量化弦为切.

cos
2
α4sinαcosα14tanα64
【解析】选α+2si n2α=.

==
sin
2
αcos
2
αtan
2
α1
25
2

全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）


5.(优质试题·全国卷Ⅲ·文科·T6)若tanθ=-,则cos2θ= ( )

A.- B.- C.
4
5
1
5
1
5
1
3
D.

4
5
【解题指南】选择合适的运算公式,尽量避免讨论

cos
2
θsin
2
θ1tan
2
θ
1
【解析】选D.因为cos2θ=cosθ-sinθ=
2
,又tanθ=-,所以代入=
22
3
cosθsinθ1tanθ
22
上式可得cos 2θ=.

6.(优质试题·浙江高考理科·T5)设函数f(x)=sin
2
x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期
( )

A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关

C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关

【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.

【解析】选B.f(x)=sin
2
x+bsinx+c=
时,f(x)=-
cos2x1
1cos2x
+bsinx+c=-+bsinx+c+,其中当b= 0
22
2
4
5
cos2x1
+c+,此时周期为π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.
22
7.(优质试题·山东高考理科·T7)函数f(x)=(
3
sinx+cosx)(
3
cosx-sinx)的最小
正周期是 ( )

A.
π
2
3π
D.2π

2
B.π C.
【解题指南】利用二倍角公式和辅助角公式求解.

【解析】选B.f(x)=(
3
sinx+cosx)(
3
cosx-sinx)

=3sinxcosx-
3
sin
2
x+
3
cos
2
x-sinxcosx

=sin2x+
3
cos2x

=2sin

2x

.

3


π

所以,最小正周期是π.
二、填空题
8.(优质试题·浙江高考文科·T11)已知2cos
2
x+ sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则
A= ,b= .

【解题指南】利用倍角公式和辅助角公式化简.

【解析】2cos
2
x+sin2x=1+cos2x+sin2x

=
2
sin

2x

+1,所以A=
2
,b=1.

4


π

答案:
2
1

全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）


10.(优质试题·四川高考理科·T11)cos
2
-sin
2
= .

【解题指南】根据倍角公式求解.

【解析】由题可知,cos
2
-sin
2
=cos=
答案:
2
2
π
8
π
8
π
8
π
8
π
4
2
.

2

11.(优质试题·四川高考文科·T11)sin 750°= .

【解题指南】根据三角函数诱导公式求解.

【解析】由三角函数诱导公式sin750°=

sin(720°+30°)=sin30°=.

答案:
12.(优质试 题·江苏高考T14)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC
的最小值是 .

【解题指南】将正弦函数转化为正切函数,根据有关的三角函 数公式用tanBtanC表示出
tanAtanBtanC的关系式,根据函数式的特点求最值.
【解析】由sinA=2sinBsinC及sinA=sin(B+C)=sinBcosC+ cosBsinC,

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

在此等式两边同时除以cosBcosC

可得tanB+tanC=2tanBtanC,

又tanA=-tan(π-A) =-tan(B+C)=-
所以tanAtanBtanC=-
tanBtanC
1 tanBtanC
tanBtanC
1tanBtanC
1
2
1
2
,

×tanBtanC,

2

t anBtanC

2
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtan BtanC=-
1tanBtanC
.

令t=tanBtanC,由A, B,C是锐角可得tanA>0,tanB>0,tanC>0,

所以tanA=-
tanBtanC
1tanBtanC
>0⇒1-tanBtanC<0⇒t>1.

2
2t
2
tanAtanBtanC=-=-,

11
1t

t
t
2

11

111





,由
2
t4
t
t2

2
t>1得0>
111
,


t4
t
2
因此tanAtanBtanC的最小值为8,当且仅当t= 2时取等号,此时
tanB+tanC=4,tanBtanC=2,

全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）


解得ta nA=4,tanB=2+
2
,tanC=2-
2
,或tanA=4,tan B=2-
2
,tanC=2+
2
,此时A,B,C均
为锐角.

答案:8
三、解答题
13.(优质试题·山东高考文科·T17)

设f(x)=2
3
sin(π-x)sinx-(sinx- cosx)
2
.

(1)求f(x)的单调递增区间.

( 2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图
象向左平 移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g

的值.

3
< br>6

【解题指南】经过三角恒等变换,结合辅助角公式求出f(x)=2sin

2x

+
3
-1,下面的
3

< br>π

π

π

单调区间和图象变换都易解决.

【解析】(1)f(x)=2
3
sin(π-x)sinx-(sinx- cosx)
2

=2
3
sin
2
x-(1-2sinxcosx)

=
3
(1-cos2x)+sin2x-1

=sin2x-
3
cos2x+
3
-1

=2sin

2x

+
3
-1,

3


π

令2kπ-≤2x-≤2kπ+ (k∈Z),

解得,kπ-
π5π
≤x≤kπ+ (k∈Z),

1212


π5

,kππ

121 2

π
2
π
3
π
2
所以,f(x)的单调 递增区间为

kπ


π


(k∈Z).

(2)由(1)知,f(x)=2sin

2x

+
3
-1,经过变换后,

3

π
< br>π

g(x)=2sinx+
3
-1,所以g

= 2sin

+
3
-1=
3
.


6

6

14.(优质试题·天津高考理科·T15)已知函数f(x) =4tanxsin

x

cos

x
-
3
.

23


π
π

(1)求f(x)的定义域与最小正周期.

(2)讨论f(x)在区间

,

上的单调性.

44


ππ
