六年级数学题及答案-优秀党员材料

三角恒等式
1.同角三角比的基本关系：
（1）平方关系：
sin

cos

1,1tan

sec
,1cot

csc
（2）倒数关系：sin

csc
=1，cos

sec

=1，tan

c ot

=1；
（3）商数关系：
tan


222222

；
sin

cos

,cot


； cos

sin

注意：已知一个角任意一个三角比，就可以求出它的其 他五个三角比的值。

2.三角比的诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”（“奇、偶”指的π2的倍数）。
kZ)
. （1）
sin(

)_____
，
cos(

)_____
，
tan(

)___ __(
注意：
ysinx和ytanx
是____函数，
ycosx< br>是_________函数。（填“奇”或“偶”）
kZ)
； （2）
si n(2k



)_____
，
cos(2k



)_____
，
tan(2k



)_____(
kZ)
； （3）
sin(2k



)_____
，
cos(2k



)_____
，
tan(2k



)_____(< br>kZ)
； （4）
sin(



)_____
，
cos(



)_____
，
ta n(



)_____(
kZ)
； （5）
sin(



)_____
，
cos(


)_____
，
tan(



)_____(
（6）
sin(
（7）
sin(

2< br>

)_____
，
cos(

2

)_____
，
tan(

2


)_____(kZ)
；


)_____(kZ)
；

2


)_____
，
cos(
< br>2


)_____
，
tan(

2
3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
____
；
____
； （1）
cos(


)__________
（2）
cos(


< br>)__________
____
；
____
； （3）
s in(



)__________
（4）
sin(< br>


)__________
____

___ _________________________
； （5）
tan(



)__________
____

__________ __________________
； （6）
tan(



)__________
注意：特别喜欢考查两角和与差的正切公式的逆用和“1”的巧用。
如，①
tan(
②
tan(


4

)
1tan

1tan

(1tan

)tan(

)
；
1tan

4

4


)
1tan

1t an

(1tan

)tan(

)
；
1tan

4

1

4.辅助 角公式：把两个异名的三角比的和或差化为一个同名的三角比（“异名化同名”）。
如：
A sin

Bcos

A
2
B
2
(< br>A
A
AB
22
sin


B
A B
22
cos

)
，
（1）如果令
cos


AB
22
，sin


A
AB
22
B
AB
sin


22
，则 Asin

Bcos

A
2
B
2
(
B
AB
22
cos

)

B
.
A
A
2
B
2
(cos

sin

sin

cos

)A
2
B
2
sin（



)
，其中
tan


（2）如果令
sin


A
A B
22
，cos


A
AB
22
B< br>AB
22
，则
Asin

Bcos

A
2
B
2
(sin


B
AB22
cos

)

A
.
B
A2
B
2
(sin

sin

cos

cos

)A
2
B
2
cos（



)
，其中
tan


5.二倍角和半 角的正弦、余弦和正切公式：
（1）已知
sin





sin

cos

cos

sin

，其中当



时，则有：
sin2

2sin

cos

1sin2

si n
2

cos
2

2sin

cos

(sin

cos

)
2

（2）已知
cos





cos

cos

sin

sin

，其中当



时，则有：
cos2

cos
2

sin
2

2cos
2

112s in
2



升幂公式：
1cos2

2cos
2

,1cos2

2sin
2



降幂公式：
cos
2


cos2< br>
11cos2

2
，
sin

．
22
（3）已知
tan






2tan

tan

tan
，其中当



时，则有：
tan2

．
1tan
2

1tan

tan
< br>2tan

；

1tan
2

总结：（1 ）
sin2

2sin

cos

；
2222
（2）
cos2

cos

sin

2cos

112sin

；
（3）
ta n2


6.万能公式：任何一个角的三角比都可以用______________ ___________来表示。
（1）
tan

________________
；
_______
； （2）
sin

__________
（3）
cos

_________________
；
2

7.三倍角公式（了解内容）：
（1）
sin3

3sin

4sin
3

4sin
sin(60

)sin(60

)
；
（2 ）
cos3

3cos

4cos
3
4cos

cos(60

)cos(60

)
；
3tan

tan
3

tan

tan(60

)tan(60

)
； （3 ）
tan3


13tan
2

（4）
tan(





)
tan

tan

tan

tan

tan
< br>tan

，
1tan

tan

 tan

tan

tan

tan

当
ABC

时,有：①
tanAtanBtanCtanA tanBtanC
；
ABACBC
tantantantantan1
；
222222< br>sinx2cosx
__________,sinxcosx________
例1.已知
tanx3,则
2sinx3cosx
②
tan
例2 .
sin(



6
)sin(2



6
)sin(3



6
) sin(2017



6
)
的值
等于____________

例3.若



例4.已知

、

均为锐角，且
sin




2


0



2
，且
sin


53
，
cos(


)
，求
sin

的值。
1 35
510
，
cos


，则



的值为________
510

5




例5.已知
x

0,

，求函数
y cos(x)cos(x)
的值域。
2
1212



例6.求函数
y

1sinx
的值域。
3cosx

3

例7.已知
tan< br>（1）

2
2
，求值：
1cos

 sin

；（2）
sin2

2cos2

3 tan2

；答案：2；-2066175
1cos

sin




变式训练：
1

，且
x
，则
cosxs inx
的值为______________
442
x


x)
，则（ ） 2.已知函数
f(x)sin
，
g(x)tan(
2
1.若
sinxcos x
A.
f(x)
与
g(x)
都是奇函数 B.
f(x)
与
g(x)
都是偶函数
C.
f(x)
是奇函数，
g(x)
是偶函数 D.
f(x)
是偶函数，
g(x)
是奇函数
3.若
sin (



)
3

25
，
< br>是第二象限角，
sin(

)
，

是第三象限 角，
5
25
则
cos(



)
的值是___________
（0，

）
4.已知函数
f(x )sin(2x

)3cos(2x

)
为奇函数，且

，
则

的值为____________
（AB）sinC
；②
cos（BC）cosA
； 5.在△ABC 中，①
sin
③
tan
ABCBCA
tan
；④cossin
；其中恒为定值的是（ ）
2222
B.①② C.②④ D.③④ A.②③
6.已知
1tan


2 3
，则
tan(

)
的值为____________
1tan

4
7.若
tan

tan

tan

tan

1
，则
cos(


)
的值为___________


8.已知

，

(0,

)
且
tan(



)
则
2



=___ _____
9.若
8sin

5cos

6
，
8cos

5sin

10
，则
sin(< br>


）
=________


10. 已知
sin

sin

sin

0
，
cos

cos

cos

0
， 则
cos(



)
的值是__________

4
11
，
tan


，
27

11.证明：
tan



3xx2sinx
tan

22cosxcos2x
12.（ 2013全国Ⅱ）已知
sin2




13.下列各式中 值等于
2

2
，则
cos(

)
__ _______
34
1
的是（）
2
1cos
2tan22.5

2

2

cossin
A .
sin15cos15
B.C.D.
2
1212
1tan22 .5


3

14.（2011福建）若

∈（0，


15.（2012山东）若

[



16.求
cos


17.已知函数
y
集合。





2
），且
sin
< br>cos2


2
1
，则
tan

的值等于_____
4
37

,]
，
sin2


，则
sin

_________

42< br>8

7
cos
2

3

cos
的值为_______________
77
13
cos
2
xsinxcosx1
，
xR
，当函数
y
取得最大值时，求 自变量
x
的
22

5

三角恒等变换技巧
三角变换的常用技巧有：（1）名变换；（2）角变换；（ 3）“1”的变换；（4）公式逆用；（5）
降次与升幂变换；（6）换元变换等。
在三角变 换过程中，要做到异名化同名，异角化同角，尽量减少三角比名称和角的个数，
变换中要做到“同名、同 角、同一个变量”。

方法一、“名”变换
当题目中出现不同名的三角函数时，这 就需要变“名”，即化异名函数为同名函数。名变
换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，最常 见的做法是弦切互化和辅助角公式。
1.已知


2.已知函数
f (x)(1tanx)(1sin2xcos2x)
，求
f(x)
的定义域和 值域。



3.已知

,

都是锐角 ，且
tan





4.已知函数
f(x)2cosxsin(x


tan

11

，求
sin
2

sin

cos

2cos
2

的值。
tan

13
sin

cos

sin

， 求的值。
sin

cos

sin

cos


3
)3sin
2
xsinxcosx
,求 函数
f(x)
的最大值和最小值。
asin
5.已知正实数a、b满足
55
tan
8

，求
b
的值
。

15a
acosbsin
55
bcos




方法二、“角”变换
“角”变换的基本思想是，通过拼凑或分解的方法 把未知角转化为已知角的“和、差、倍
角、半角”，然后运用相应的公式求解。常见的变角方式有：①< br>2

是

的二倍；

是
倍；
③
的二
2

2
2

是

4


的二倍；②

(



) 

，




)
；④
2

(



)(



) (
(



)(



)< br>；
2


)(

4




2
(

4

4

4

)
等等。
6

6.已知
tan(



)


7.已知
2

1

，
tan(

)
，则
tan(

)
=_________ 5545

2





3

123
，
cos(



)
，
sin(



)
，
4
135
则
sin2

=___________





)

tan(
< br>

)
，其中

1
，求证：8.已知
ta n(


sin2

1


sin2

1
7sin2x2cos
2
x



317
的值
。 9.若
cos

x

，

x

,求
41tanx

4

512



方法三、公式逆用
在进行三角变换时， 大多顺用两角和差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角半角公式，但
有时若能逆用这些公式也可以帮助我 们快速解题。逆用公式的方法有：①通过添项拼凑出要用
的公式，常见于二倍角半角公式的逆用；②公式 的恒等变形，常见于两角和差的正切公式的逆
用。
10.求值：（1）
cos20cos40cos60cos80
；
（2）
tan70tan103tan70tan10
；



11.求证：
tanxtan2xtan2xtan3xtan

(n1)x

tannx



1 2.





n

(nZ)
是
tan

tan

tan

tan
tan

tan

的_____________条件。



tannx
n
.
tanx

7

13.
(1tan17
。
)(1tan18
。
)(1tan27
。
)(1tan28< br>。
)
的值是________


方法四、降次与升幂变换
降次和升幂也是三角变换的一种重要策略，为运用公式创造条件。常见的降次与升幂方法
有：① 利用余弦的二倍角公式，如升幂公式：
1cos2

2cos
2

,1cos2

2sin
2

；降
幂公式：
cos


2
cos2

11cos2

2
22
，
sin


；②巧用“1”，如sinacosa1
，
22
cos
4

sin< br>4

12sin
2

cos2

等。
1cos
4

sin
4

14.化简：
66
1cos

sin




15.求
y


16.求函数
f(x)2sin



17.求
sin20cos50sin20cos50
的值。



18.化简下列各式：
（1）
2。2。。。
2
14

的最小值。
sin
2
xcos
2
x

π


ππ< br>
x

3cos2x
，
x

，

的最大值与最小值。

4


42

1111

3


cos2

，



，2



2222

2< br>
cos
2

sin
2

（2）




2cot




cos
2





4

4


8

方法五、换元变换
当函数表达式中同时出现
sinxcosx
（或
sinxcosx
）与
sinxcosx
，
t
2
11t
2
可设tsinxcosx
（或
tsinxcosx
），则
sinxc osx
（或
sinxcosx
），
22
把三角函数转化为熟悉的 函数来求解。有时，换元可以达到简化运算的目的。
19.求函数
y




20.证明：





2 1.求值：
sin(

75)cos(

45)3cos(

15)


。。。
sinxcosx


，x

0,

的值域。
1sinx cosx

2

xyyzzxxyyzzx
 

1xy1yz1zx1xy1yz1zx
9