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三角恒等变换专题复习
教学目标：
1、能利用单位圆中的三角函数线推导出
2
、理解同角三角函数的基本关系式：
3
、可熟练运用三角函数见的基本关系 式解决各种问题。

教学重难点：

可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题

【基础知识】
一、同角的三大关系：
① 倒数关系 tan

•cot

=1 ② 商数关系
③ 平方关系
sin

cos

1

温馨提示：
（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画 直角三角形速解。
[来源:学+科+网]
（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“

”号。
二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
22

2


,



的正弦、余弦、正切的诱导公式；

；

sin

cos

= tan

； = cot


cos

sin< br>
k



,kz
的形式，然后利用诱导公式的口 诀化简（如果前面
2
的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”； 符号看象限是，把

看作是锐角，判
k



在第 几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）。 断角
2
用诱导公式化简，一般先把角化成
用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区 间
(0,360)
的角，再变到区间
00
(0
0
,180< br>0
)
的角，再变到区间
(0
0
,90
0
)< br>的角计算。
三、和角与差角公式 ：
sin(


)sin

cos

cos

sin
< br>;
cos(



)cos

cos< br>
msin

sin

;
tan

tan

tan(



)

1
m
tan

tan

变 用
tan

±
tan

=
tan
(

±

)(1
tan

tan

)
四、二倍角公式：
sin2

=
2sin

cos

.
cos2

c os
2

sin
2

2cos
2
< br>112sin
2

.
2tan

tan2



2
1tan

1 10

五、注意这些公式的来弄去脉
这些公式都可以由公式
cos(



)cos

cos

msin

sin

推导出来。
六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如： 逆用
sin

cos

cos

sin

sin(



)

sin

cos


1
sin2


2
变用
cos


2
1cos2

1cos2< br>
1cos4

2
2

sin



cos2



222
七、合一变形（辅助角公式）
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
yAsin(

x

)B
形式。
sin

cos

2

2
sin





，其中
tan


八、万能公式

．

1tan
2

2tan
2tan

cos2



s in2

tan2


1tan
2

1tan
2

1tan
2

九、用
sin
，
cos

表示
tan

2
tan

2

sin

1cos



1cos

sin

十、积化和差与和差化积
积化和差
sin

cos

[sin(
< br>

)sin(



)]
；

cos

sin

[sin(


< br>)sin(



)]
；
cos
cos

[cos(



)cos(



)]
；
sin

sin

[cos(



)cos(



)]
.
和差化积
sin

sin

2sin
sin

sin

2cos



2
sin
cos



2







22



< br>
cos

cos

cos

2cos

22





sin

cos

cos

2sin

22

2 10

十一、方法总结
1、三角恒等变换方法
观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）
（1） “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，
α+βα+ββα
如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2· , = (α－)－( －β)等.
2222
（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦
tan


sin

cos

），
,cot

< br>cos

sin

（3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂 降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和
合并等。
2、恒等式的证明方法灵活多样
①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,
即由繁到简.
②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.
左
③比较法, 即设法证明: 左边－右边=0或 =1
右
④分析法,从被证 的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成
立为止,则可以判 断原等式成立.
【例题精讲】
例1 已知

为第四象限角，化简：cos

解：（1）因为

为第四象限角
1sin

1cos

sin


1sin

1cos

(1sin

)
2< br>(1cos

)
2
所以原式=
cos


sin

22
1sin

1cos


cos

1sin< br>
1cos

sin

1sin



1cos


cos

sin


cos

sin


例2 已知
270

360
，化简

1111
cos2< br>

2222
解：
270

360
，
cos

0,cos

2
0

所以 原式=
1cos

111cos2

11
cos
2
cos

cos
2


222
22222
例3 tan20°+4sin20°
sin20
0
2sin40
0
解 ：tan20°+4sin20°=
0
cos20
3 10

33
cos40
0
sin40
0
sin(6040)2s in40
3cos20
0
22
3
=
cos200
cos20
0
cos20
0
000
例4 （05天津）已知
sin(



4
)
727< br>
,cos2


，求
sin

及
tan(

)
．
1025
3
解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
72

2
7
sin(

)(sin

cos

)
，即
sin

cos



1042
5
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
①
77
cos2

cos
2

sin
2

(cos

sin

)(cos

sin

)(cos

sin

)

255
1
3
4
故
cos

sin

 ② 由①和②式得
sin


，
cos



5
55
3
因此，，由两角和的正切
tan

< br>4

公式
3

tan

3
4

433

48253

tan(

)
311
13tan

33433
1
4
3
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
7
cos2

12sin
2

，
25
解得
sin
< br>
由于
sin


2

72
93
7
，即
sin


由
sin (

)
可得
sin

cos

< br>
410
5
255
77
3
cos

0
，且
cos

sin

0
，故

在第二象限于是
sin


，
5
55
74
从而
cos

sin


以下同解法一
55
小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从 已知角和所求角的内在联系
（均含

）进行转换得到．
2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．
r
例5 已知
A,B,C
为锐角
ABC
的三个 内角，两向量
p(22sinA,cosAsinA)
，
rr
r
q(sinAcosA,
1sinA)
，若
p
与
q
是共线向量.
（1）求
A
的大小；
（2）求函数
y 2sin
2
Bcos(
C3B
)
取最大值时，
B
的大小.
2
urr
22
解：（1）
Q
pq 2(1sinA)(1+sinA)sinA-cosA

1
2cos
2
Acos2A0 12cos
2
A0

cos2A
Q0<2A<

，
2
4 10

2A120
0
A=60
0

（2）
QA=60
0
B+C=120
0

y=2sinB+cos(602B)1cos2 B+
20
13
cos2Bsin2B

22
=
31

sin2Bcos2B+1=sin(2B)1
，
当 2B



时，即B=

．
226
623
小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
例6 设关于
x
的方程
sinx
＋
3
cosx
＋
a
＝0在(0, 2
π
)内有相异二解
α
、
β
.
(1)求
α
的取值范围; (2)求
tan
(
α
＋
β
)的值.
解: (1 )∵
sinx
＋
3
cosx
＝2(
3
1
 
a
sinx
＋
cosx
)＝2
sin
(
x
＋), ∴方程化为
sin
(
x
＋)＝－.
2
22
33
3

)≠
sin
＝ .
2
33
∵方程
sinx
＋
3
cosx
＋< br>a
＝0在(0, 2
π
)内有相异二解, ∴
sin
(
x
＋
又
sin
(
x
＋
33

a a
)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), ∴|－|<1 . 且－≠. 即|
a
|<2且
a
≠－
3
.
22
22
3
∴
a
的取值范围是(－2, －
3
)∪(－
3
, 2).
(2) ∵
α
、
β
是方程的相异解, ∴
sinα
＋
3
cosα
＋
a
＝0 ①.
sinβ
＋
3
cosβ
＋
a
＝0 ②.
①－②得(
sinα
－
sinβ
)＋
3
(
cosα
－
cosβ
)＝0. ∴ 2
sin



2
cos



2
－2
3< br>sin



2

sin



2
＝0, 又
sin



2
≠0, ∴
tan
< br>

2
＝
3
.∴
tan
(
α
＋
β
)＝
3
2tan






2
2
＝
3
.
2tan
2
小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2
π
)这一条件.
例7 已知函数
f

x

m2sinx



在区间

0,

上单调递减，试求实数
m
的取值范围．
cosx

2



解：已知条件实际上给出了一个在区间

0,



上恒成立的不等式．
2

任取
x
1
,x
2


0,


m 2sinx
1
m2sinx
2



恒成

，且
x
1
x
2
，则不等式
f
x
1

f

x
2

恒成立，即cosx
1
cosx
2
2

立．化简得
m
cosx
2
cosx
1

2sin
< br>x
1
x
2


由
0x
1
x
2


2
可知：
cosx
2
co sx
1
0
，所以
m
2sin

x
1< br>x
2


cosx
2
cosx
1
5 10

上式 恒成立的条件为：
m



2sin

x
1
x
2






在区间

0，

上的最小值
.

cosxcosx< br>
2

21

x
1
x
2
xx
2
xx
2
cos
1
2cos
1
2sin

x
1
x
2

222


由于
xx
2
xx
2
xx
2
c osx
2
cosx
1
2sin
1
sin
1
sin
1
222
4sin
xxxx

xx

2

cos
1
cos
2
sin
1
sin
2

2

1tan
1
tan
2

2222

22




< br>
x
1
x
2
x
1
x
2
x< br>1
x
2
sincoscossin
tantan
2222
22
且当
0x
1
x
2


2
时，
0
x
1
x
2

xx
,< br>，所以
0tan
1
,tan
2
1
,
22422
从而

1tan


x
1
x

xx

x

x

t an
2



tan
1
tan
2



1tan
1

1tan
2

0
,
22

22

2
2

xx

2

1tan
1
ta n
2

22

有
2
, 故
m
的取值范围为
(,2]
.
xx
tan
1
tan
2
22

【基础精练】
πα
3
＋α

＝，则sin
＋π

的值等于( ) 1．已知α是锐角，且sin


2

4

2

221414
A. B．－ C. D．－
4444

1－cos(α－π)
3π
2．若－2π＜α＜－，则 的值是( )
22
αααα
A．sin B．cos C．－sin D．－cos
2222

sin(180°＋2α)
cos
2
α
3.·等于 ( )
1＋cos2αcos(90°＋α)
A.－sinα B.－cosα α α

π
1＋2c os(2α－)
4
3
4.已知角α在第一象限且cosα＝，则等于 ( )
5
π
sin(α＋)
2
27142
A. B. C. D.－
5555

6 10

1

sinα sinβ

33
π
a b

5.定义运算

＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于( )

c d

7

cosα cosβ

142
ππππ
A. B. C. D.
12643

π
6.已知tanα和tan(－α)是方程ax
2< br>＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是 ( )
4
A.b＝a＋c B.2b＝a＋c C.c＝b＋a D.c＝ab

1－tan
2
40°30′
21
7.设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos 40°cos38°，c＝，d＝(cos80°－2cos
2
50°
2
22
1＋tan
40°30′
＋1)，则a，b，c，d的大小关系为 ( )
A.a＞b＞d＞c B.b＞a＞d＞c C.d＞a＞b＞c D.c＞a＞d＞b

1
8．函数y＝sin2x＋sin
2
x，x∈R的值域是( )
2
13
－，

A.


22

C.

－

31
－，

B.


22

2121

－，－

2222

2121

＋，＋

2222

D.

－


9.若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝ .

4
ααα
10.设α是第二象限的角，tanα＝－，且sin3222

11.已知sin(

5

x)=，0413
4
cos2x
cos(x)
4< br>
的值。

12.若

,

(0,
)
，
cos



【拓展提高】
πxππx
1、设函数f(x)＝sin(－)－2cos
2
＋1
468
(1)求f(x)的最小正周期.
4
(2)若函数y＝g(x)与y ＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时y＝g(x)的最大值
3


71
,tan


，求α+2β。
3
50
7 10

2.已知向量a＝(cosα，sinα )，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝
(1)求cos(α－β)的值；
ππ5
(2)若0<α<，－
<β<0，且sinβ＝－
，求sinα.
2213






3、求证：
25

5
sin

sin（2



）
－2cos（α+β）=.
sin

sin








【基础精练参考答案】

ππ
1＋2(cos2αc os＋sin2αsin)
44
4．C【解析】原式＝
cosα
1＋cos 2α＋sin2α2cos
2
α＋2sinαcosα
3414
＝＝＝2×( cosα＋sinα)＝2×(＋)＝.
cosαcosα
555
33
5. D【解析】依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin (α－β)＝.
14
π
13143
∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝. 又∵cosα＝，∴sinα＝.
21477
sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sin α·cos(α－β)－cosα·sin(α－β) ＝
43131333
π
×－×＝，∴β＝.
71471423
8 10


b

b
tan

tan (

)
－

a
ππ
4a,

6.C【解析】

∴tan＝tan[(－α)＋α]＝＝1，
44c
c
1－

tan

tan(

) ,
a

4a

bc
∴－＝1－，∴－b＝a－c，∴c＝ a＋b.
aa
7.B【解析】a＝sin(56°－45°)＝sin11°，b＝－sin 40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c
1－ tan
2
40°30′
1
＝＝cos81°＝sin9°，d＝(2cos< br>2
40°－2sin
2
40°)＝cos80°＝sin10°
2
2
1＋tan
40°30′
∴b＞a＞d＞c.
π
111112
2x－

＋，故选择C. 8.C【解析】y＝si n2x＋sin
2
x＝sin2x－cos2x＋＝sin

4
< br>2

22222
tanα＋tanβ
π
9. 【解析】由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得＝3，即tan(α＋β)＝3.
3
1－tanαtanβ
π
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
3
10. －
5
αααα
解析：∵α是第二象限的角，∴可能在第一 或第三象限，又sin52222
1＋cosα
5
＝－.
25
α
43
α
角， ∴cos<0.∵tanα＝－，∴cosα＝－，∴cos＝－
2352

12. 【解析】∵

,

(0,

)
，
cos


∴

,

(
tan2β=
7
50
∴
tan


1313
(,0), tan

(,0),

7333
5

5< br>
,

)
，α+2β
(,3

)
,又
2
6
2tan

3
tan

tan 2

11


tan(

2

)1
,,[来源:]∴α+2β=
4
1tan

tan 2

1tan
2

4
【拓展提高参考答案】
πxππxππ
3
π
3
π
1、【解析】 (1)f(x)＝sincos－cossin－cosx＝sinx－cosx
464642424
2π
π
ππ
＝3sin(x－)，故f(x)的最小正周期为T＝＝8
434
(2)法一：在y＝g(x)的图象上任取一点 (x，g(x))，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x)).
9 10

ππ
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x) ＝3sin[(2－x)－]
43
πππππ
＝3sin[－x－]＝3cos(x＋)，
24343
4
πππ2π
4
π
3
当0≤x≤时，
≤
x＋
≤
，因此y＝g(x)在区间[0，]上的最大值为g(x)
max
＝3cos＝.
33433332
42
法二：因区间[0，]关于x ＝1的对称区间为[，2]，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故
33
4 2
ππ
y＝g(x)在[0，]上的最大值为y＝f(x)在[，2]上的最大值，由(1)知 f(x)＝3sin(x－)，
3343
243
πππππ
当
≤x ≤2时，－≤
x－
≤
，因此y＝g(x)在[0，]上的最大值为g(x)
m ax
＝3sin＝.
36436362
2、【解析】(1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ).
∵|a－b|＝
252543< br>，∴(cosα－cosβ)
2
＋(sinα－sinβ)
2
＝， 即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.
5555
ππ
34512< br>(2)∵0<α<，－
<β<0，∴0<α－β<π，∵cos(α－β)＝
，∴sin (α－β)＝ ∵sinβ＝－，∴cosβ＝，
22551313
4123533
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝·＋·(－ )＝
51351365




10 10