小学语文教学反思-黎平会议

简单的三角恒等变换(一)
张掖中学 宋娟
一、教学目标 < br>知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进
行简单的恒等变形，体 会三角恒等变形在数学中的应用；
过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公 式，体
会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；
情感、态度与价值观： 通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等
数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高 学生推理能力.
二、教学重、难点
教学重点：利用公式进行简单的恒等变换；
教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题.
三、教学方法：探究式教学法.
四、教学类型：新授课.
五、教学内容
复习引入(学生组织完成)
问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)；
问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)；
问题3：二倍角的变形公式(四个).
新课讲解

cos
2
、tan
2
？ 思考1 (学生组织完成)：如何用
cos

表示
sin
2
、
222

分析：观察

与的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的 二倍角的
2
变形公式.

解：

是的二倍角.在倍角公 式
cos2

12sin
2

中，以

代替
2

，以代
22

替

，即得cos

12sin
2
，
2

1co s

所以
sin
2

； ①
22

在倍角公式
cos2

2cos
2
< br>1
中，以

代替
2

，以代替

，即得
2

cos

2cos
2
1
，
2

1cos

所以
cos
2

. ②
22
将①②两个等式的左右两边分别相除，即得

1cos

tan
2

.
21cos


cos、tan
？ 思考2：若已知
cos

，如何计算
sin、
222
- 1 -

sin

2
=
1cos

1cos

1cos

(半角公式)
、cos=、tan
22221cos


所在象限决定.
2
5

例1：已知
sin


，且



，求
tan
的值.
1322
解
强调：“

”号由
因为sin

又
5

12
且



 cos


13213

2



,

4


2


2< br>tan

2
0
1(
25
13
25 5
1
13

12
)

1cos
< br>13
由公式tan得tan
12
21cos

2< br>1()
13
例2 求证
tan
证明

2

sin

1cos



1cos

sin

2

sin

sin

2
cos

cos

2 cos

2cos
2

1cos

2222

sinsin2sin2sin
2

2

22

2

1cos

tan
2cos

cos

2sin

sin
sin

222
利用例2的结论，再做一下例1，比较两种方法.
tan
2

2
3

例3 已知
sin2


，
02


，求
52
< br>sin

sin

2cos

2cos
2

2
sin

1
2sin(

)< br>4

.
分析：由降幂公式知
2cos
2
原式=
2
1cos

，故有
cos

1 sin

1cos

sin


﹡
cos

sin

22
2(cos

sin

)
22
此处有两种处理方法：
sin

的值，带入﹡式计算，即可得到结果; 方法一、由已知求出
cos

、
方法二、由﹡继续变形，将半角化为倍角进行计算.
解法一
- 2 -

原式=
cos

1si n

1cos

sin

......
c os

sin

22
2(cos

sin
)
22
由02

cos

0,si n

0
24
3

4
由sin2

,02

得cos2


525
又cos2

12sin
2

2cos
2

1sin


10310
,cos


101 0
带入式得
31010

10

210

1
=
10
31010410
2

1010
< br>0




解法二
cos

1sin

1cos

sin


cos

sin

22
2(cos

sin

)
22
(cos

sin

)
2
(cos

sin

)

(cos

sin

)
12sin

cos

1sin2

......
22
cos

si n

cos2


3

4
由sin2
,02

得cos2


525
带入 式得
原式=
32
1
=
5

5

44
2
55
小结：对于例3，我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再 带入求
值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中,正所谓“条条
大路通 罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题.
万丈高楼平地起，在此告诫同学 们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的，
所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定 的解题理论，那就是我
们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题目如何变化，我们< br>都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”.
下面我们来分小组讨论一下这一个问题：
1
(练一练) 化简
sin2

sin
2

cos
2

c os
2

cos2

cos2

.
2
分析：
1
- 3 -

1. 从“角”入手,倍角化半角;
2. 从“幂”入手,利用降幂公式将次;
3. 从“形”入手,利用配方法.
本题目至少有6种解法，请同学们讨论完成.
课堂小结
三个数学方法
1.从“角”入手,倍角化半角(半角化倍角);
2.从“幂”入手,利用降幂公式将次(利用升幂公式升次);
3.从“形”入手,利用配方法(分母有理化、分子有理化).
两个人生哲理
1. 条条大路通罗马;
2. 咬定青山不放松，任尔东南西北风.
布置作业
习题3.2A组1(1)、(2)、(4)、(5)
课后反思

- 4 -