我选我教案-江苏省注册会计师协会

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两角和与差的正弦、余弦和正切

基础梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C
(
α
－
β
)
：cos(
α
－
β
)＝cos_< br>α
cos_
β
＋sin_
α
sin_
β
；
(2)C
(
α
＋
β
)
：cos(
α
＋
β
)＝cos_
α
cos_
β
－sin_
α< br>sin_
β
；
(3)S
(
α
＋
β
)
：sin(
α
＋
β
)＝sin_
α
cos_β
＋cos_
α
sin_
β
；
(4)S
(< br>α
－
β
)
：sin(
α
－
β
)＝s in_
α
cos_
β
－cos_
α
sin_
β；
(5)T
(
α
＋
β
)
：tan(
α
＋
β
)＝
(6)T
(
α
－
β
)
：tan(
α
－
β
)＝
tan
α
＋tan
β
；
1－tan
α
tan
β
tan
α
－tan
β
.
1＋tan
α
tan
β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S
2
α
：sin 2
α
＝2sin_
α
cos_
α
；
(2)C
2
α
：cos 2
α
＝cos
2
α
－sin
2
α
＝2cos
2
α
－1＝1－2si n
2
α
；
(3)T
2
α
：tan 2
α
＝
2tan
α
.
1－tan
2
α
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan
α
±tan
β
＝tan(
α
±
β
)(1 ∓tan_
α
tan_
β
)；
1＋cos 2
α
1－cos 2
α
2
(2)cos
α
＝，sin
α
＝；
22
2
(3)1＋sin 2
α
＝(sin
α
＋cos
α
)
2,
1－sin 2
α
＝(sin
α
－cos
α
)
2
，
π

sin
α
±cos
α
＝2sin

α
±

.
4
 
4．函数
f
(
α
)＝
a
cos
α
＋
b
sin
α
(
a
，
b为常数)，可以化为
f
(
α
)＝
a
2
＋
b
2
sin(
α
＋
φ
)或
f
(
α
)＝
a
2
＋
b
2
cos(
α
－
φ
)，其中
φ
可由
a
，
b
的值唯一确定．

两个技巧
(1)拆角、拼角技巧：2
α
＝(
α
＋
β
)＋(
α
－
β
)；
α
＝(
α
＋
β
)－
β
；
β
＝
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α
＋
β
2

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－
α－
βα
－
β

2
；
2
β

α

＝

α
＋

－

＋
β

.
2

2

(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．
三个变化
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、
“升幂与 降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目
标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、
“配方与平方 ”等．

双基自测
1
1．(人教A版教材习题改编)下列各式的值为的是( )．
4
A．2cos
2

π
－1
12
B．1－2sin
2
75°
D．sin 15°cos 15°
sin 2
α
的值等于( )．
cos
2
α
2tan 22.5°
C.
1－tan
2
22.5°
2．(2011·福建)若tan
α
＝3，则
2
3．已知sin
α
＝，则cos(π－2
α
)等于( )．
3

π

1
4．(2011·辽宁)设sin

＋
θ

＝，则sin 2
θ
＝( )．

4

3
5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.


考向一 三角函数式的化简
1
2cos
x
－2cos
x
＋
2
【例1】►化简.
π

π

2tan

－
x

sin
2

＋
x


4
4

42
[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．
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三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合 理的拆分，从而正确使
用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式 ；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
【训练1】 化简：






考向二 三角函数式的求值
【例2】 ►已知0＜
β
＜
求cos(
α
＋
β
)的值．









sin
α
＋cos
α
－1sin
α
－cos
α
＋1
sin 2
α
.
β

π1

α

2
＜
α
＜π，且cos

α< br>－

＝－，sin

－
β

＝，
2

29

2

3
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三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：
(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．

π

41

【训练2】 已知
α
，
β
∈

0，

，sin
α
＝，tan(
α
－
β
)＝－，求cos
β
2

53

的值．

考向三 三角函数的求角问题
113π
【例3】►已知cos
α
＝，cos(α
－
β
)＝，且0＜
β
＜
α
＜，求
β
.
7142








通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函 数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
π

若角的范围是

0，

，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；
2


ππ

若角的范围为

－，

，选正弦较好．
2

2

ππ

【训练3】 已知
α
，
β
∈

－，

，且tan
α
，tan
β
是方程
x
2
＋33
x＋4

22

＝0的两个根，求
α
＋
β
的值．



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考向四 三角函数的综合应用
【例4】►(2010·北京)已知函数
f
(
x
)＝2cos 2
x
＋sin
2
x
.

π

(1)求
f

的值；

3

(2)求
f
(
x
)的最大值和最小值．











高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往
往渗透在研究三角函数性 质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、
周期 性、对称性等性质．
【训练4】 已知函数
f
(
x
)＝2sin(π－
x
)cos
x
.
(1)求
f
(
x
)的最小正周期；

ππ

(2)求
f
(
x
)在区间
< br>－，

上的最大值和最小值．
2

6
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三角函数求值、求角问题策略
面对有关三角函 数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更
是三角函数的求值、求角问题中的难点和 重点，其难点在于：其一，如何牢固记
忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、 求角方法．
一、给值求值
一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值 ，解题的关键
在于“变角”，如
α
＝(
α
＋
β
)－
β
，2
α
＝(
α
＋
β
)＋(
α< br>－
β
)等，把所求角用
含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．
π

tan
x

【示例】► (2011·江苏)已知tan

x
＋

＝2，则的值为________．
4

tan 2
x



二、给值求角
“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知
角的式子表示 ，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
11
【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(
α
－
β
)＝，tan
β＝－，且
α
，
β
27
∈(0，π)，求2
α
－
β
的值．


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▲三角恒等变换与向量的综合问题
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 作为解题工具，是每年高考的必考内容，常
在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量 的综合问题常出现
在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．
【示例】► (2011·温州一模)已知向量
a
＝(sin
θ
，－2)与
b
＝(1，cos
互相垂直，其中
θ
∈



0，
π

2

.
(1)求sin
θ
和cos
θ
的值；
(2)若5cos(
θ
－
φ
)＝35cos
φ
，0＜
φ
＜
π
2
，求cos
φ
的值．

















【课后训练】
A组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． (2012·江西)若tan
θ
＋
1
tan
θ
＝4，则sin 2
θ
等于
( )
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)
θ

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1
A.
5
1
B.
4
1
C.
3
1
D.
2
3
，则cos 2
α
等于
3
2． (2012·大纲全国)已知
α
为第二象限角，sin
α
＋cos
α
＝
( )
A．－
5

3
B．－
5

9
C.
5

9
D.
5

3
3． 已知
α
，
β
都是锐角，若sin
α
＝
( )
A.
C.
π

4






B.
510
，sin
β
＝， 则
α
＋
β
等于
510
3π

4
π3π
和
44
π3π
D．－和－
44
1

π

2
4． (2011·福建)若α
∈

0，

，且sin
α
＋cos 2
α
＝，则tan
α
的值等于
2

4

( )
A.
2

2






B.
3

3
C.2

D.3
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． cos75°＋cos15°＋cos 75°cos 15°的值等于________．

6.
3tan 12°－3
＝________.
4cos12°－2sin 12°
2
22
33

π

7．sin
α
＝，cos
β
＝，其中
α
，
β
∈
0，

，则
α
＋
β
＝__________ __.
2

55




三、解答题(共22分)
8． (10分)已知
集合．

1＋sin
α
－
1－sin
α
1－sin
α
＝－2tan
α
，试确定使等式成立的
α
的取值
1＋sin
α
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αα
6

π

9． (12分)已知
α
∈

，π

，且sin ＋cos ＝.
222

2

(1)求cos
α
的值；
3

π

(2)若sin(
α
－
β
)＝ －，
β
∈

，π

，求cos
β
的值．
5

2

＝－















B组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． (2012·山东)若
θ
∈

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341

3

43＋3
×＋×

－

＝－.
25 2

5

10

π
，
π

，sin 2
θ
＝
37
，则sin
θ
等于

8

42


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( )
3
A.
5
C.







4
B.
5
7

4
3
D.
4

π

1
π

2

2． 已知tan(< br>α
＋
β
)＝，tan

β
－

＝， 那么tan

α
＋

等于
4

4
4

5

( )
A.
C.
13

18
3

22




13
B.
22
1
D.
6

ππ
3． 当－≤
x
≤时，函数
f
(
x
)＝sin
x
＋3cos
x
的
22
( )
A．最大值是1，最小值是－1
1
B．最大值是1，最小值是－
2
C．最大值是2，最小值是－2
D．最大值是2，最小值是－1

二、填空题(每小题5分，共15分)
4．已知锐角
α
满足cos 2
α
＝cos



π
－
α

，则sin 2
α
＝_______.


4

cos 2< br>α

π

12

π

5．已知co s

－
α

＝，
α
∈

0，
，则＝_________.
4

π

4

13


sin

＋
α


4

2sin
x
＋1

π

6． 设
x
∈

0，

，则函数
y
＝的最小值为 ________．
2

sin 2
x


三、解答题
π

7． (13分)(2012·广东)已知函数
f
(
x
)＝2cos

ωx
＋

(其中< br>ω
>0，
x
∈R)的最小正周期为
6

10π.
(1)求
ω
的值；
5

5

6

π

(2)设
α
，
β
∈

0，

，
f

5
α
＋π

＝－，
f

5
β
－π


2

3

6

5

2
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16
＝，求cos(
α
＋
β
)的值．
17




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