江西考研-反腐心得

一、三角函数公式：
两角和与差的三角函数关系S
(α
＋
β)
C
(α
＋
β)
万能公式
T
(α
＋
β)


sin(



)=sin

·cos



cos

·sin


1tan
2

2tan

①
sin2


②
cos2



2
2
1tan

1tan


==正余余正符号相同
cos(



)=cos

·cos

sin

·sin


tan
2

2tan

2
③
tan2

④
sin



2
2< br>1tan

1tan

==余余正正符号相反
1
tan

tan

⑤
cos
2

< br>
tan(



)
变形公式
1tan
2

1tan

tan


tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)
积化和差公式
1
sin

·cos

=[sin(

+

)+sin(

-

)]
2
1
cos

·sin

=[sin(

+

)-sin(

-

)]
2
1
cos

·cos

=[cos(

+

)+cos(< br>
-

)]
2
1
sin

·sin

= -[cos(

+

)-cos(

-

)]
2
和差化积公式
sin

+sin

=
2sin
22






s in

-sin

=
2cos

sin
2 2





cos

+cos

=
2coscos
22






cos

-cos

= -
2sinsin
22

12
tan

+ cot

=

sin

cos

si n2

tan

- cot

= -2cot2







cos



概念：下面空格意义 可自己添加内容

倍角公式S
2α
C
2α
T
2α

：
(
正用化单角，逆用半角公式
降次)
sin2

=2sin

·cos



1cos


1cos

cos2

=cos
2

-sin
2

=2cos
2

-1=1-2sin
2


sin
，
cos

2222
2tan

sin2

；
tan2

cos

，
2
2sin

1 tan


1cos

1cos

sin
tan
=








21cos

sin

1cos

cos2

sin

2


2sin




cos




2

4

4

(后面两个不 用判断符号,更加好用)

升幂公式 降幂公式


1cos 2

1+cos

=
2cos
2
；
1-c os

=
2sin
2

sin
2



22
2


1cos2

1±sin

=(
sinc os
)
cos
2



22
2
sin
2

+ cos
2

=1
2
1＋sin 2α＝(sin α＋cosα)
1


sin·cos=
sin2



2
1－sin 2α＝(sin α－cos α)，
2
1=sin
2

+ cos
2




sin

=
2sincos
22
2
12sin

cos

(sin

cos< br>
)
2


辅助角公式 变形公式

asin

bcos

a
2
b
2
sin







其中辅助角

与点
(a,b)
在同一象限， 且
tan


b
a
cos





cos

sin





sin

cos

，
tan





1tan

tan

< br>tan

tan

，
tan





tan

tan

tan
< br>



tan

tan

，

tan

tan

tan





tan

tan

tan





。
asin

bcos< br>

π


=? sin α±cos α＝2sin

α±

4


辅助角公式的重要作用
:合一变形

把形如
asin xbcosx
的函数转化为
yAsin(x

)
的函数，即： 两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，
一次方”的
yAsin(

x

)B
形式

三角形基本公式
（1）内角和定理：A+B+C=180°，
sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
sin(2A+2B)=? cos(2A+2B)= ?
三倍角公式

sin3

3sin

4sin
3

cos3

4cos
3

3co s




ABAB
CC
cos=sin, sin=cos
22
22
（2）面积公式：
S=


111
absinC=bcsinA=casinB
222

tan2
2tantantan
 
tan


1tantan
1tan
2

相除
相除
S


S


C


C

相加减

cos2
cos
2
sin
2


2cos
2
1
12sin
2

sin22s incos




移项
2




1cos2cos
2
2

2

1cos



2sin

2

变形

1

sin

 

sin




2
1
cossin

sin



sin




2

1
coscos

cos



cos




2
1
sinsin

cos



cos




2
sin cos



sin
1cos

2

2

1cos

22
相除



A
令


B

cos

tan




1

cos



21cos

sin1cos

1cossin

ABAB< br>cos
22
ABAB
sinAsinB2cossin
22< br>
ABAB
cosAcosB2coscos
22
ABA B
cosAcosB2sinsin
22
sinAsinB2sin

以上是三角函数公式的关系图
二、三角恒等变换
：一角二名三结构，对角、函数名、式子结构==
=
化异为 同
三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先
观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！
第二看函数名称之间的关系， 通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异 角，可根据
角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：


(1)
2
< br>是

的二倍；
4

是
2

的二倍；

是的二倍；是的二倍；
224
3





的二 倍；是的二倍；
2

是


的二倍。
3

是
2
3624
30
o
(2)
1545306045
；
2
ooooo
（3）









，









，









，









;
11
α
＝[(
α
＋
β
)＋(
α
－
β
)]
β
＝[(
α
＋
β
)－(< br>α
－
β
)]
22
ππ

π
π
π







（ 4） ＋
α
＝－

－
α

；
α
＝－

－
α

. ；

xx







42

4
4

4

4

4< br>
2

(5)
2

(


)(



)(

4


)(

4


)
；
2



2







，2



2








2



< br>








，< br>(6)
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正
余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值， 证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，
例如常数“1”的代换变形有：
1sin< br>2

cos
2

sec
2

 tan
2

tan

cot

sin90o
tan45
o


（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用 方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂
处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
1cos

常用升幂化为有理式
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

三、三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规 则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，

无理化有理，和 积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。
化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；
④尽量 使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

四、三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给 角与特殊角间的关系，
利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2 ）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题
的关键在于“变角”，如

(



)

,2
(



)(



)
等，把所求角用含已知角的
式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质 上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所
求角的范围及函数的单调性求得角。
五、三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换 ，应用化繁为简、
左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（
2）三角条件 等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入
法、消参法或分析法进行证明 。
(3) 证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法：
①从一边到另一边，②两边等于同一个式子，③作差法。

题型1：
两角和与差的三角函数

（



）的值
。 例1．已知
sin

sin

1，cos

cos

0
，求cos
分析：因为既可看成是

与

的和，也可以
看 作是
（



）
种解法。
解法一：由已知sin

+sin

=1…………①，
cos

+cos

=0…………②，
①
2
＋②
2
得 2+2cos
（



）

1
； ∴cos
（



）
①
2
－②
2
得 cos2

+cos2

+2cos（



）=－1，
即2cos（



）〔
cos（



）1
〕=－1。 ∴
cos





1
。
解法二：由①得
2sin



2
的倍角，因而可得到下面 的两
1
。
2



22

< br>


由②得
2coscos0
…………④
22



④÷③得
cot

0，2





1tan
2
cot
2
1
22
cos





1






1tan< br>2
cot
2
1
22
点评：此题是给出单角的三角函数方程， 求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin

、cos

、
sin

、cos

，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在 于没有注意到所求式与已知式的
关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。
cos



1
…………③
tan

是方程x5x60的两个实根根，
例2．已知
tan

，求
2
2sin
2





3sin





cos





cos
2





的值
。
分析：由韦达定理可得到
tan

tan

及tan

tan

的值，
进而可以求出
t an





的值，再将
所求值的三角函数式用 tan





表示便可知其值。
解法一：由 韦达定理得tan

tan

5，tan

tan< br>
6
，
所以tan






tan

tan

5
1.
< br>1tan

tan

16

2sin2





3sin





cos





c os
2






原式
22
sin





cos





2tan
2




3tan





1213< br>
1

1
3

tan
2





111
解法二：由韦达定理得tan

tan

5，tan

tan

6< br>，
所以tan






ta n

tan

5
3
1.

于是 有



k




kZ< br>
，
1tan

tan

16
4< br>3

3

3

3

31
 
原式2sin
2

k




sin

2k




cos
2< br>
k




13
。
4

2

2

4

22

点评：(1)本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解
答 本题的知识“最近发展区”。（2）在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结
构 特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉
题型2：
二倍角公式
例3．化简下列各式：

1111

3



cos2



，2

（1）， （2）



2222

2


cos
2

sin
2

。





2cot




cos
2




< br>4

4

分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2
< br>是

的二倍，

是
突破口；（2）由于分子是一个平方差，分 母中的角
得到解题的切入点。
解析：（1）因为

2
以及其范围不 难找到解题的
的二倍，

4




4< br>



2
，若注意到这两大特征，，不难
3

11


2

，所以cos2

cos

cos

，
222
又因
3

11




，所以cos

sinsin
， 所以，原式=
sin
。
2
422222
cos2

cos2







2tan




cos
2




2sin




cos




4

4

4

4

（2）原式 =
=
cos2

cos2

1
。 < br>


cos2

sin

2



2

点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限 于2

是

的二倍，要熟悉多种形式的两

个角的倍数 关系，同时还要注意
2

，

，

三个角的内 在联系的作用，

44







（2）化简题一定要找准解题的
cos2

sin

2


2sin




c os




是常用的三角变换。
244
 
突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。
7sin2x2cos
2
x



317
的值
。 例4．若
cos

x

，

x

,求
451241tanx

分析：注意
x 

解法一：由








x

，及2x2

x

的两变换，就有以下的两种解法。

4

4

4
2
1775


x

，得
< br>x2

，
12434
4


3



又因cos

x

，s in

x

.

5

4

5

4




2










cosx cos


x



cos
x

cossin

x

sin，
4410

4


4

4



4
从而sinx
72
，tanx7.

1 0
2

72

2

72

2







2



2
101010
2sinxcosx2sinx
< br>
28
.

原式

1tanx1775< br>解法二：
原式
2sinxcosx

1tanx




sin2xtan

x

， 1tanx

4












7
而sin2x sin

2

x



cos2

x



2cos
2

 x

1




4

4

25


4

2




sin

x

7

4
28




4


4
，




.

所以，原式 
tan

x


25

3

75
3

4

cos


'x



4

点评：此题若将
cos
< br>
3



3
x


的左边展开成
coscosxsinsinx
再求cosx，sinx的值，就很
445

4

5
繁琐，把





并注意角的变换2·

x

2x，
运 用二倍角公式，问题就公难为易，
x作为整体
，
4

4

2

化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的 角与已知条件的角的联
系，一般方法是拼角与拆角，
如，


< br>





，


< br>





，


< br>





，










2













，2



2







，2



2
< br>





2


< br>








< br>
题型3：
辅助角公式
asin
例5．已知正实数a,b满足

55
tan
8

，求
b
的值
。 < br>
15a
acosbsin
55
b
a
bcos

分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于
的方
程，从而可求出由
助角求解。
b
，若注意到等式左边的分子、 分母都具有
asin

bcos

的结构，可考虑引入辅
a
b

8
cossin

5a5

15< br>
解法一：由题设得

b

8
cossinco s

5a515
sin

8

8
sin

8





sin
coscos

sin
b

5
< br>15
155155
tan3.

8

8


a3

8
cos

cos sin

sin
cos




155 155
5

15
解法二：
因为asin

5bcos




a
2
b
2< br>sin




，

55
b



a
2
b
2
cos




，其中tan

，
55a

5

8




由题设得tan




tan.
15

5



8

所以

k


，即

k

，
5153
b

< br>

故tan

tan

k



tan3.
a3

3

acosbsi n


b
tan
8
解法三：
原式可变形为：< br>5a
tan

，

b

15
1 tan
a5

tan

b8



5
令tan

，则有tan




tan

，

a15

5

1 tan

tan
5

8

由此可
< br>k




kZ

,所以

k

，

kZ


5153



b

故tan

tan
k



tan3，即3
3

3a
tan
点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模 式联想，引入辅助角，
技巧性较强；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点 ，所以解法三最佳。
题型4：
三角函数式化简
例6．求sin
2
20°＋cos
2
50°＋sin20°cos50°的值。
解析：原式＝

111
（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°）
222
＝1＋
1
11
（cos100°－cos40°）＋sin7 0°－
22
4
＝
33
1
3
11
－sin 70°sin30°＋sin70°＝－sin70°＋sin70°＝。
22
44
2
4

点评：本题考查三角恒等式和运算能力。
12sin(2x)
4
. 例7．已知函数
f(x)
cosx
（Ⅰ）求
f(x)
的定义域；
（Ⅱ）设

的第四象限的角，且
tan


解析 ：（Ⅰ）由
cosx0
得
xk


（Ⅱ）因为
tan


4
，求
f(

)
的值。 < br>3



(kZ)
，故
f(x)
在定义域 为

xxk

,kZ

,

2
2

443
，且

是第四象限的角, 所以
sin

,cos

,

355
22

sin2

cos2

)
12sin (2

)
12(
1sin2

cos2

22
4

故
f(x)


cos
cos

cos

2cos
2

 2sin

cos

14

。
2(cos
sin

)

cos

5

∴函数y=cos(x+


) cos(x－)+
3
sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。
44
题型5：三角函数综合问题

rr

例8．已知向 量
a(sin

,1),b(1,cos

),

.

22
rr
rr
（I）若
ab,
求

;
（II）求
ab
的最大值。
r
v
rr

b0

sin

cos

 0



解析：（1）
ab,

a
g

4
；
rr
(2).ab(sin

1,c os

1)(sin

1)
2
(cos

1)
2
sin
2

2sin

1 cos
2

2cos

12(sin

 cos

)3
22sin(

)3

4< br>
rr

当
sin(

)
=1时
ab
有最大值,此时


最大值为
22321
。< br>
4
4
，

点评：本题主要考察以下知识点：1、向量垂直转 化为数量积为0；2，特殊角的三角函数值；3、
三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知 向量的坐标表示求模，难度中等，计算量不大。


1．(2012·重庆高考)设tan α，tan β是方程x
2
－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
tan α＋tan β
解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，tan(α＋β)＝
＝－3.
1－tan αtan β
ππ
3
x－

＝－，则cos x＋cos

x－

的值是( ) 2．(2012·南昌二模)已知co s


6

3

3

π< br>2323
x－

＝ A．－ B．± C．－1 D．±1 解析：选C cos x＋cos


3

33
π
1333
31
x－

＝－1. cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝3

cos x＋sin x

＝3cos


6

2222
2
< br>2

ππ
1
＋α

sin

－α< br>
的值为( ) 3． (2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足sin α＝，那么s in


4

4

2
1
A.
4
ππ
111
＋α

sin

－α

＝B．－ C. D．－ 解析：选A 依题意得，sin

< br>4

4

422
π

π
＋α
＝
1
sin

π
＋2α

＝
1
cos 2α＝
1
(1－2sin
2
α)＝
1
.
＋α
·sin

cos

4

4
< br>2

2

224
4．已知函数f(x)＝x
3
＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)＝3sin 2x＋bcos
2x的最大值和最小正周期为( )
A．1，π B．2，π C.2，2π D.3，2π
解析：选B 由题意得f′(x)＝3x
2
＋b，f′(1)＝3＋b ＝4，b＝1.所以g(x)＝3sin 2x＋bcos 2x
π
2x＋

，故函数的最大值为2，最小正周期为π. ＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin

6

5． (2012·东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝
2525252555
A. B. C.或 D.或
255255525
解析：选A 依题意得sin α＝1－c os
2
α＝
254
，cos(α＋β)＝±1－sin
2
 α＋β＝±.
55
53
，sin
(
α＋β
)
＝，则cos β＝( )
55
4544
又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到>>－，所以cos(α＋β)＝－.
5555
4532525
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
555525
6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝
A．－
3
，则cos 2α＝( )
3
55553
B．－ C. D. 解析：选A 将sin α＋cos α＝
两边平方，
39933
125
可得1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，所以(－sin α＋cos α)
2
＝1－sin 2α＝
.因为α是第二象限角，所以sin α
333
＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－
155
，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－
.
33
π4π
17π
7．(2012·苏锡常镇调研)满足sinsin x＋coscos x＝的锐角x＝________.答案：
55215
4π

14π4π1
4ππ
－x
＝，又x是锐角，所以－x＝
解析：由已知可得coscos x＋sinsin x＝
，即cos


5

255253

2tan45°－α
sin αcos α
8．化简·
2
＝________.
2
1－tan45°－α cos
α－sin
2
α
11
sin 2α
sin90°－2α
2
sin 2α
cos 2α1sin 2α1
2
解析：原式＝tan(90°－2α)·
＝
·
＝
·
＝
.
cos 2α
cos90°－2α
cos 2αsin 2α2cos 2α2
9．(20 13·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的14
终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α＝________.
35
14
解析：依题设及三角函数的定义得：cos β＝－
，sin(α＋β)＝
.
35
ππ
223
又∵0< β<π，∴
<β<π，<α＋β<π，sin β＝
，cos(α＋β)＝－
. 2235
3

1

422
3＋82
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－
×

－
3

＋
×
＝
.
55315
ππ
1
0，

，tan α＝，求tan 2α和sin

2α＋

的值． 10．已知α∈

3
2

2
1
2×
2
412tan αsin α1
解：∵tan α＝
，∴tan 2α＝＝＝，且＝，即cos α＝2sin α，
2cos α2
1－tan
2
α
1－
13
4
π
525
0，

，∴sin α＝，cos α＝又sin
2
α＋cos
2
α＝1，∴5sin
2
α＝1，而α∈
< br>.

2

55
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×
5254413
×
＝，cos 2α＝cos
2
α－sin
2
α＝
－＝，
555555< br>π

ππ
4133
4＋33

∴sin
< br>2α＋
3

＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝
×
＋
×
＝
.
33525210
π
4
π
π
β－

＝. (1)求sin 2β的值； (2)求cos

α＋

的值． 11．已 知：0<α<<β<π，cos


4

5

4< br>
2
π
π
221
β－

＝cos
c os β＋sin β＝cos β＋sin β＝
，
解：(1)法一：∵cos


4

4223
∴cos β＋sin β＝
227
，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－
.
399
ππ
7
－2β

＝2cos
2

β－

－1＝－
. 法二：sin 2β＝cos


2
4

9
π
πππ
3
π
3π
β－

>0，cos(α＋β)<0. (2) ∵0<α<
<β<π，∴<β<－
<
π，<α＋β<
，∴sin
< br>
4

244422
π
1
π
2243
β－

＝，sin(α＋β)＝，∴sin

β－

＝< br>∵cos

，cos(α＋β)＝－
.

4
3

4

355

π

π

π

31422
82－3

∴cos

α＋
4

＝cos

α＋β－

β －
4

＝cos(α＋β)cos

β－
4
< br>＝－
×
＋
×
＝
.
535315
xx
－

＋sin

π－

，x∈R. 12．(2012·衡阳模拟) 函数f(x)＝cos


2

2

(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(α)＝
ππ
210
0，

，求tan

α＋

的值． ，α∈
< br>
2

4

5
xxx
π
xx2π
－

＋sin

π－

＝sin＋cos ＝2sin

＋

，故f(x)的最小正周期T＝＝4π.
解：( 1)f(x)＝cos


2

2

24
221
2
(2)由f(α)＝
αα
210
αα
2108
210

2
sin
＋cos

2
＝

，得sin＋cos＝，则

，即1＋sin α＝，
2

2
52255

5

1－sin< br>2
α＝
94sin α3
1－
＝，故tan α＝＝，
255cos α4
π
3
0，

，则cos α＝解得sin α＝，又α∈


2

5
π
3
tan α＋tan
＋1
44
π

所以tan

＝＝7.

α＋
4

＝
π
3
1－tan αtan1－
44
1

π
1．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg

，且α＋β＝，则实数a的值为( )

a

4
tan α＋tan β
11
A．1 B. C．1或 D．1或10 解析：选C tan(α＋β)＝1⇒＝
1010
1－tan αtan β
1
＝1⇒lg
2
a＋lg a＝0，所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.
1

10
1－lg10a·lg
< br>
a

ππ
α－

＋sin
2
< br>α＋

－sin
2
α的结果是________．
2．化简 sin
2


6

6

ππ
2 α－

1－cos

2α＋

1－cos

3

3

1

2α－
π

＋cos

2α＋
π

－sin
2
α
解析：原式＝
＋－sin
2
α＝1－

cos
3

3

222

π
cos 2α
1－cos 2α
11
＝1－cos 2α·cos－sin
2
α＝1－
－＝
. 答案：
32222
ππ
3
ππ
35
0，

，sin

β－

＝，β∈

，

. 3．已知sin α＋cos α＝，α∈


4

4

5

42

5
(1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．
994
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)
2
＝，即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝
.
555
π
0，

，∴cos 2α＝又2α∈


2

3sin 2α4
1－sin
2
2α＝
，∴tan 2α＝＝
.
5cos 2α3
1

lg10a＋lg


a


ππ

ππ
3
π
4
π
，
，β－∈

0，

，sin

β－
＝， ∴cos

β－

＝，
(2)∵β∈

42

4

5

4

54

4

πππ
24
π
24
β －

＝2sin

β－

cos

β－< br>
＝
. 又sin 2

β－

＝－cos 2β，∴cos 2β＝－， 于是sin 2


4

4

4

25

4

25
1＋cos 2α
4

π

π
7

2
0，
， 又∵2β∈

2
，π

，∴sin 2β＝， 又∵cos
α＝
＝

α∈


4
2525
25525

24

57115
∴cos α＝，sin α＝
.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝ ×

－
25

－
×
＝－
.
55552525

π

1．(2012·北京西城区期末)已知函 数f(x)＝3sin
2
x＋sin xcos x，x∈


2
，π

.
(1)求f(x)的零点；(2)求f(x)的最大值和最小值．
解：(1)令f(x)＝0，得sin x·(3sin x＋cos x)＝0，所以sin x＝0或tan x＝－
π

π
3
5π
，π
，得x＝π；由tan x＝－，x∈

，π

，得x＝
.
由sin x＝0，x ∈


2

2

36
π
5π< br>313
2x－

＋
.
综上，函数f(x)的零点为，π. (2)f(x)＝
(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin

3
2

622
π

π
2π5π
π2ππ
，π
，所以2x－∈

，

. 所以当2x－＝，即x＝时，f(x)的最大值为3；因为x∈


2

3< br>
33

332
π3π11π
3
当2x－＝，即x＝ 时，f(x)的最小值为－1＋
.
32122
βα
π
12
α－

＝－，sin

－β

＝，求cos(α＋β)的值 ； 2．已知0<β<<α<π，且cos


2

2

329
α

ππαππβ
解：∵0<β<<α<π，∴－<
－β<，
<α－
<π.∴cos


2
－β
＝
242242
α

1－sin
2

2
－β

＝
2

2
5
1－

＝

3

3
，
3
.
3

β
α－

＝
sin


2

1－cos
2

α－
β

＝

2

α＋β
1

2
45
 
α－
β

－

α
－β

1－

－
9

＝
. ∴cos
＝cos


2

2

92
βαβα
15 45275
α－

cos

－β

＋sin

α－

sin

－β

＝－
×
＋＝cos

×
＝
.

2

2
2

2

939327
α＋β
49×5
239
∴cos(α＋β)＝2cos－1＝2×－1＝－
.
2729729
2