狐假虎威的寓言故事-股东合作协议书

诱导公式及三角恒等变换公式
教学设计

【教学目标】
1.经历用向量的数量积(坐标表示)推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量作为数
学工具 的作用。
2.会从几何直观理解并推到诱导公式。
3.能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公及两角和与差的正弦与正切公式， 以
及二倍角的的正弦与余弦，正切公式，了解内在联系。
4.培养用化归思想，论证的能力， 学会用运动、变化、发展一般到特殊的归纳与推理
的数学思想。
【教学重点、难点】
重点：用“数量积”坐标表示推到两角差的差余弦公式，与其他公式的内在联系。一
般到特殊的思想方 法的运用。从几何直观出发理解诱导公式。
难点：“数量积”的坐标表示虽简化了两角差的余弦公式的 推到过程，但对于学生以向
量作为数学工具仍较为生疏。对于“变名，变角、变号”及“对公式特点的多 维度（正逆变
形）”是综合应用的基础。参照几何直观和三角恒等变换两个角度理解公式。

【知识结构】
知识结构一；恒等变换公式




2a




2a

2a




S
(
α+β
)
C
(
α+β
)

S
(
α-β
)
C
(
α-β
)




T
(
α+β
)
T
(
α-β
)



知识结构二；诱导公式

T
s
C

S(
π
+
α
)=-S
α

C(
π
+
α
)=-C
α
S(
π

2
-
α
)=C
α
C(
π
T(
π< br>+
α
)=T
α
2
-
α
)=S
α



单位圆和三角

函数定义

S(-
α
)=-S
α

C(-
α
)=C
α

T(-
α
)=Tα
S(
π
2
+
α
)=C
α

π
C(
2
+
α
)=-S
α



S(
π
-
α
)=S
α


C(
π
-
α
)=-C
α

T(
π
-
α
)=-T
α


【课时安排】
建议本节4课时
第一课时，几何直观理解诱导公式；
第二课时，两角差的余弦公式的推到；
第三课时，公式的综合运用；
【教学过程】
第一课时；几何直观理解诱导公式
问题1如何理解终边相同角的同名三角函数值相等？
【设计意图】哈尔莫斯说：问题是数学的心脏。数学的课堂教学活动教学应当从问题开
始 。教师通过设计合理的问题，把数学教学的“锚”，抛在学生最近发展区内，为教学的展
开提供知识和思 维的生长点。通过问题激活学生思维的火花。这个问题虽然只是一个特殊的
问题，“承上”，复习三角函 数的定义，“启下”，为后面诱导公式的导出作了很好的铺垫。
一般地，由三角函数的定义易知，终边相同角的同名三角函数值相等，即有：

sin(+k·360°) = sinα，

cos(+k·360°) = cosα， (k∈Z)
（公式一）

tan(+k·360°) = tanα。


结论1：三角函数具体数值与终边的位置关系密切相关
结论2: 三角函数值与终边单位圆交点的坐标存在对应关系
这组公式用弧度制可以表示成

sin(+2kπ) = sinα，

cos(+2kπ) = cosα， (k∈Z)
tan(+2kπ) = tanα。

“诱导公式一”，我们可以把任意角转化为0~2π角。
问题2 如何利用对称推导出角 与角 的三角函数关系？
（二）特殊探路，动画感知
如何利用对称推导出角  与角的三角函数之间的关系。下面我们通过几何画板的
动画，三角函数值存在什么关系？

隐藏 轴
任意角
任意角的三角函数线
隐藏1
线1
显示2线2
显示3
线3
圆周原点
P

cos

,si n

1.4
1.2
关于x轴对称角-

：(0.76， -0.64)
1

P

cos

,sin

0.8
0.6
0.4
0.2
-3-2.5-2-1.5-1-0 .5
-0.2
0.511.52
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-


-1.2
问题3如何理解角π 、角π + 与角的三角函数关系？

隐藏 轴
任意角
任意角的三角函数线
显示1
线1
隐藏2线2
显示3
线3
圆周原点
P

cos

,sin

1.4
1.2

P

cos

,sin


-

关于y对称角

-

：(-0.62， 0.78)
1
0. 8
0.6
0.4
0.2
-3-2.5-2-1.5-1-0.5
-0 .2
0.511.52
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1 .2

隐藏 轴
任意角
任意角的三角函数线
显示1
线1
显示2线2
隐藏3
线3
圆周原点
P

cos

,sin

1.4

P
cos

,sin

1.2
1
关于原点对称

+

：(-0.43， -0.90)
0.8
0.6
0. 4
0.2
-3-2.5-2-1.5-1-0.5
-0.2
0.511.52
-0.4
-0.6
-0.8
-1

+

- 1.2

角π  与角 的终边关于
y
轴对称，有：

sin(π ) = sin ，

cos(π ) =  cos ，
（公式三）

tan(π ) =  tan 。


角π +  与角 终边关于原点O对称，有：

sin(π + ) = sin ，

cos(π + ) = cos ，
（公式四）

tan(π + ) = tan 。

【设计意图】
1， 阶段概括用公式的方法，感悟在解决问题的过程中，如何合理的使用这几组公式。
当然， 公式的熟练使用不是一节课就可以完成的，需要学生在今后的学习中不断体会，不断
总结和概括，进而将 诱导公式内化自己的知识结构中去。
2，
研究路线：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系



第二课时；两角和差的正余弦及正切公式的推到


一,两角差的余弦公式的推到.

1）,向量法
如图1-1所示，在平面 直角坐标系
xoy
内的单位圆O,以
ox
为始边作角
α,β
，它们的终边
与单位圆
o
的交点分别是A,B.则

uuruur

OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)

由向量的数量积的坐标表示，有

uur uur
OA?OB(cos
α
,sin
α
)?(cos
β< br>,sin
β
)
=cos
α
cos
β
+sin
α
sin
β

uuruur
设
OA
与OB
的夹角为
θ
，则
uuruuruuruur
OA?OBO A?OBcosθcosαcosβ+sinαsinβ
.
另一方面，由图（1）知，
α=2kπ+β+θ
.
由图（2）可知，
α=2kπ+β-θ
.于是，
α-β=2kπ?θ
，
kÎZ
.所以
cos(α-β)=cosθ
.
也有
cos(α-β)
=
cosαcosβ+sinαsinβ
. 所以对任意角
α
，
β
有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
（
C(α-β)
）
（注：几何法需做不少推广工作，其过程比较繁琐，这里不再推导）


C(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ



3),由一般到特殊的思想方法的具体应用；（以问题呈现）
下证；
cos(
π-α)
与
cos(
π
-α
)

2

C(
π-α)

证 cos(
π
-
α
)=cos
π
cos
α
+ sin
π
sin
α

=-1?cos
α
0?sin
α
=-cos
α
证 cos(
πππ
-
α
)=coscos
α
+sinsin< br>α
222
π
=0?cos
α
1?sin
α

C(
-α
)

2
=sin
α


一,两角和的余弦公式的推到.

αcosβ+sinαsinβ
对任意的角都成立 ，比较1）， 我们已经有了
cos(α-β)=cos
cos(α-β)
与
cos(α+β)
的不同；只 是将
cos(α-β)
的角
β
换成了
-β
.

证 cos(
α
+
β
)=cos
[
α
-(-
β
)
]
=cosacos
（
-
β
）
+sin
α
sin
（
-
β
）

=cos
α
cos
β
-sin
α
?sin
β


C(α+β)=cosαcosβ


2),由一般到特殊的思想方法的具体应用；

下证：
cos(
π+α)
与
cos(
-sinαsinβ

π
+α
)
（以问题呈现）
2

cos(
π+α)

证 cos(
π
+
α)=cos
π
cos
α
-sin
π
sin
α< br>=-1cos
α
-0?sin
β
=-cos
α
证 cos(
πππ
+
α
)=coscos
α
-sinsin< br>α
222
π
=0cos
α
-1?sin
α

cos(
+α
)

2
=sin
α


一,两角和的正弦公式的推到.

1），我们已经有了两角差，和的余弦公式，那么我们怎样推到两角差，和的正弦公式呢？
利用初中的公式（ 诱导公式
cos(
ππ
-α
)
=
sin
α
与
sin(-α)=cosα
）
22
证 sin(
α
-
β
)=cos
犏
-(
α
-< br>β
)
轾
πππ
=cos
犏
(-
α
) +
β
=cos(-
α
)cos
β
-sin(-
α< br>)sin
β

犏
222
臌
=sin
α
cos
α
-cos
α
?sin
β




轾
π
犏
2
臌
sin(α-β)=sinαcosβ- cosαsinβ

轾
π
证 sin(
α
+
β< br>)=cos
犏
-(
α
+
β
)
犏
2< br>臌
轾
πππ
=cos
犏
(-
α
)-
β
=cos(-
α
)cos
β
+sin(-
α
)s in
β
（以问题呈现）
犏
222
臌
=sin
α
cos
β
+cos
α
?sin
β

sin(α=β)=sinαcosβ+cosαsinβ

下证：
S(π-α)=Sα
（以问题呈现）
证
sin(
π
-
α
)=sin
π
?cos
α
cos< br>π
sin
α
=0?cos
α
(-1)sin
α
=sin
α





三，两角和，差的正切公式的推导
1），根据正切与正余弦函数的的商数关系，从
C (α±β)
,
S(α±β)
出发推导出，
t(α±β)

t (
α
?
β
)
s(
α
北
β
)Sα
C
β
C
α
S
β
=
,
c(
α±β
)C
α
C
βm
S
α
S
β< br>(1),若
CαCβ¹0
，即是角
α
或是角
β
的终边 不落在y轴上，（
α
(
β
)
=
k
π+
上式 =
=
S
α
C
β
C
α
C
β
C
α
C
β
C
α
C
β
π

,(k
?
z)
）
2
±
m
C
α
S< br>β
C
α
C
β
S
α
S
β
C< br>α
C
β
=
t
α±
t
β

1 mt
β
（2），若
CαCβ=0
，即是角
α
或是角
β
的终边不落在y轴上，
α
(
β
)
=
k
π +
若
α
(
β
)
=
k
π+
π
,(k
?
z)
，
2
ππ
,(k
?
z)< br>时，由正切函数
y=tanx
，
α(β)=kπ+,(k?z)
这里不 做
22
讨论，公式不适用。
下证：
t(π-α)
与
t(π+α)
（以问题呈现）
证< br>t(
π
-
α
)=
=-t
α
t
π-t
α
0-t
α
=
1+t
π
t
α1+0t
α
（
t(π-α)
）
证
t(
π
+
α
)=
=t
α




t
π
+t
α
0+t
α=
1-t
π
t
α
1-0t
α
（
t(π+α)
）
四，二倍角的正弦余弦正切公式推导
1），将
C(α+β)
,
S(α+β)
,
T(α+β)
中的角
β替换成角
α
即可。下证：
证明 Cos2
α
=
Co s(
α
+
α
)=cos
α
cos
α
-si n
α
sin
α
=cos
α
-sin
α
=1 -2sin
α
=2cos
α
-1
2222
（以问题呈现） （
C
2α
）

证明 S
2
α
=s in
(
α
+
α
)
=sin
α
cos
α
+cos
α
sin
α
（以问题呈现） （
S
2α
）
=2sin
α
cosa
证明 t
2
α
=tan
(
α
+
α
)
=
tan
α
+tan
α
2tan
α
（
t
2α
）
=
1-tan
2
α
1-tan
2
α


第三课时，公式的综合运用；
例一 求值：已知
cos(
α-
β
4
)
=-
25
sin(
β-
α
5
ππ
)
=pαpπ
,0
pβp
.
213
，且
22
cos
求
α+β
2
.
α+ββα
(
α-
)
+
(
β-
)
222
分析：观察 各角间的关系，可以将看为，先分别求出
(
α-
βα
)
的正弦与(
β-
的余弦
)
,
22
再求出两角和的余弦.
ππ
p
α
p
π
,0p
β
p
，
2 2
πβπαπ

p
α
-p
π
，
-pβ
-p
，
42224
解
Q


sin (
α
-
β
)=
2
1-cos
2
(
α
-
β
3
)=,
25
αα
12
cos(< br>β
-)=1-sin
2
(
β
-)=
2213
α
+
ββα
Q=
(
α
-)+(
β
-)，
222
轾
βα
+
βα
犏
cos=cos(
α
-)+(
β
-)
犏
22
臌
2βαβα
)cos(
β
-)-
sin(
α
-)sin(
β
-)
2222
41253
=(-)?-?
513135< br>63
=-
65

=cos(
α
-

π3
练习1 若cos(–α)= ，则sin 2α=
45
7117
（A） （B） （C）– （D）– < br>255525
cos
例二，求值：
π
2
π
4
π
coscos.
777

分析：通过观察注意到三个角之间分别是二倍的关 系，而且没有正弦值相乘，所以通过构造
二倍角公式的形式，将分子父母同乘
2sin2π.
ππ
2
π
4
π
2sincoscoscos
π
2
π
4
π
7777
解
coscoscos=< br>π
777
2sin
7
2
π
2
π
4< br>π
2
π
2
π
4
π
sincoscos2si ncoscos
777
=
777
=
ππ
2sin4sin< br>77
4
π
4
π
4
π
4
π
8
π
coscos2coscossin
77
=
77
=
7
=
πππ
4sin8sin8sin
777
ππ
sin
（
π
+
）
-sin
7
=
7
=-< br>1
=
ππ
8
8sin8sin
77

sin 7
。
+cos15
。
sin8
。
求
cos7
。
-sin15
。
sin8
。
练习2
例三 已知5sin
α
=sin(2
α
+
β
),
求
tan(
α
+
β
)
的值.
tan
α
分析 ：
2
α
+
β
=
（
α
+
β
）
+
β
，（
β
=
α
+
β
）
-
α
,
将正切变为正弦与余弦，变函数名，
解
Q5sin
α
=sin(2
α
+
β
),
5sin
（
-
α
]
=sin
[
(
α
+
β
)+
α
][
α
+
β
）
5sin
（
α< br>+
β
）
cos
α
-5cos
（
α
+
β
）
sin
α
=sin
（
α
+
β
）
cos
α
+cos
（
α
+
β
）
sin
α

4
sin
（
α
+
β）
cos
α
=6cos
（
α
+
β
）< br>sin
α

tan
（
α
+
β
）
sin
（
α
+
β
）
cos
α
3
==
tan
α
cos
（
α
+
β
）
sin
α
2
=3，则tan2α=

练习3已知

例四已知
a
2
+b
2
=1,
求证：
a< br>2
+2ab-b
2
?2.
分析：注意到
a
2
+b
2
=1
的结构，可设a=cos
θ
,b=sin
θ.(
θ
?R)
解设a=cos
θ
,b=sin
θ
.(
θÎ
R)
，原式左端可化为
cos
2
θ
+2 sin
θ
cos
θ
-sin
2
θ
=sin2
θ
+cos2
θ
=2sin(2
θ
+
π
)?4
2.
2sin(
θ+
ππ
),x-y=2sin(
θ
-)
，
44


练习
4
已知
x< br>+
y
=
求证：
x
2
+y
2
=1.< br>2cos10
。
-sin20
。
例五 求值.
。
c os20
分析：由于
20
是
10
的二倍关系，极易运用二倍角的正余 弦公式。形成定势思维。这里把
10
化成
30与20的差关系
即可。
。。
。
。。
2cos（30
。
-20
。
）-si n20
。
=
cos20
。
2cos30cos202sin30s in20sin30
=
解
cos20
3cos20sin20sin 30

cos20
3
1+3tan

)(13tan< br>
)4,则

+

=
练习5 若锐角

,

满足（
要点与技巧
本复习课主要应用向量为 工具推到两角差的余弦公式，再有混合应用诱导公式，（初中知
识互余的两角三角函数关系，部分学生对 于诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”在应
用是，难于理解）
解答两角和与差及二倍角的突破口是观察角与角之间的关系，构造两角的和与差。
1，引导学 生分析已知与结论的差异与联系，思考如何选择适当的公式进行变形，从角
三角函数的名称、运算等多角 度变形。1）若是不同角，可应用二倍角，可应用两角和与差
的公式。2），若是不同的三角函数，可利 用辅助角公式化为同名三角函数。3）若是运算不
一致，可运用升幂和降幂，把分式过度为整式。
2，例题的选择上注意到从简到难，循序渐进，通过习题力求学生熟记公式，在灵活运
用公式。