工作理念-创卫工作总结

5.5.2 简单的三角恒等变换
课标要求
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会
其中的三角恒等变换的基本思想.
2.能利用三角恒等变换对三角函数式化
简、求值和证明.
素养要求
在对公式的推导和应用过程中，发展学
生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素
养.

教材知识探究

同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗 ？半角、全角主要是针
对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是< br>全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符
号和特殊字符都是 全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都非半角字符.

问题 1.任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？
2.半角公式是如何推导出来的？
3.半角公式的符号是怎样确定的？
α
提示 1.
2
是α的半角，α是2α的半角.
2.半角公式的推导是利用公式cos 2α＝2cos
2
α－1＝1－2sin
2
α.
3.半角公式的符号是由半角所在的象限确定的.

1.半角公式 在利用公式时，注意符号的选取
α
sin
2
＝±
1－cos α
.
2

α
cos
2
＝±
α
tan
2
＝±
1＋cos α
.
2
1－cos α
(无理形式).
1＋cos α
1－cos α
α
sin α
tan
2
＝＝
sin α
(有理形式).
1＋cos α
2.辅助角公式
b
asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ).其中tan φ＝
a
，φ所在象限由a和b的符号确定，
或者sin φ＝
ba
，cos φ＝.
a
2
＋b
2
a
2
＋b
2
教材拓展补遗
[微判断]
15°＝±
1－cos 30°
.(×)
2
1－cos 30°
.
2
提示 sin 15°＝
2.对于
α
1
α∈R，sin＝sin α都不成立.(×)
22
αααα
1
提示 ∵sin α＝2sin
2
cos
2
，只有当cos
2
＝1时sin
2
＝
2
sin α才能成立.
θ θ
3.若5π<θ<6π，cos
2
＝a，则cos
4
＝
1 ＋a
2
.(×)
θ

5π3π

提示 ∵
4
∈

4
，
2

为第三象限角，

θ
故cos
4
＝－
[微训练]
2sin 2αcos
2
α
1.化简·的结果为________.
1＋cos 2α
cos 2α
2sin 2αcos
2
α
解析 原式＝
2cos
2
α
·
cos 2α
＝tan 2α.
答案 tan 2α
2.函数f(x)＝5cos x＋12sin x的最小值为________.
1＋a
2
.

12

5

解析 f(x)＝13

13
cos x＋
13
sin x



5
＝13sin(x＋φ)(其中tan φ＝
12
)，
∴f(x)
min
＝－13.
答案 －13
525
α
3.已知sin α＝
5
，cos α＝
5
，则tan
2
＝________.
525
α
解析 因为sin α＝
5
>0，cos α＝
5
>0，所以α的终边落在第一象限，
2
的终边
αα
落在第一、三象限 ，所以tan
2
>0，故tan
2
＝
2.
答案 5－2
1－cos α
＝
1＋cos α
25
1－
5
＝5 －
25
1＋
5
[微思考]
1.半角公式中的符号是如何确定的？
αα
提示 (1)当给出角α的具体范围时，先求
2
的范围，然后根据
2
的范围确定符号.
(2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.
θ＋φθ－φ
θ＋sin φ＝2sin
2
cos
2
除了 课本上的证明方法，还有什么其它的证明方
法吗？
θ＋φθ－φ
θφ
< br>θφ

θφ

θφ
提示 右边＝2sin
2cos
2
＝2sin

2
＋
2

·c os

2
－
2

＝2

sin
2
cos
2
＋cos
2
sin
2

· < br>
φθφ

θ

cos
2
co s
2
＋sin
2
sin
2



θθ
2
φ
2
θ
sincos·cos＋sin
＝2

22

22
·


φφθφφφ θθ

sin
2
cos
2
＋cos
2
2< br>sin
2
cos
2
＋sin
2
2
sin2
cos
2




φθθφ
＝sin θ·cos
2
2
＋sin
2
2
sin φ＋cos
2
2
sin φ＋sin
2
2
sin θ
＝sin θ＋sin φ＝左边.

∴故等式成立.

题型一 利用半角公式求值
1
αα
注意角的范围
【例1】 已知cos α＝
3
，α为第四象限角，求sin
2
，cos
2
，
α
tan
2
.
α
解 ∵α为第四象限角，∴
2
为第二、四象限角.
α
当
2
为第二象限角时，
α
sin
2
＝
2
－
2
；
α
当
2
为第四象限角时，
α
sin
2
＝ －
α
cos
2
＝
α
tan
2
＝－
1－cos α
3
＝－
23
，
1＋cos α
6
＝
23
，
1－cos α
2
＝－
2
.
1＋cos α
1－cos α
3
α
＝，cos
232
＝－
1＋cos α
6
α
＝－，tan
232
＝－
1－cos α
＝
1＋cos α
规律方法 利用半角公式求值的思路
(1)观察角：若已知三角函数 式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时
常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由 于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，
求出相应半角的范围.
1－cos α
α
sin α
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan
2
＝＝
sin α
，其优点
1＋cos α
是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，
1－cos α1＋cos α
2
α
常先利用sin
2
＝，cos
2
＝计算.
22
2
α
(4)下结论：结合(2)求值.

37
θ
【训练1】 已知sin θ＝－
5
，3π<θ<
2
π，则tan
2
的值为( )
A.3
1
C.
3

B.－3
1
D.－
3

7π
34
θ
sin θ
解析 ∵3π<θ<
2
，sin θ＝－
5
，∴cos θ＝－
5
，tan
2
＝＝－3.
1＋cos θ
答案 B
α
题型二 三角函数式的化简
注意
2
是α的半角，α是2α的半角

【例2】 化简：
α

α
（1－sin α－cos α）

sin
2
＋cos
2


(－π<α<0).
2－2cos α
ααα

αα


2sin
2
2< br>－2sin
2
cos
2

sin
2
＋co s
2


解 原式＝
α
2×2sin
2
2
α

αα

α

α
2sin
2

sin
2
－cos
2

sin2
＋cos
2


＝

α

2

sin
2


αα

α< br>
α
sin
2

sin
2
2
－co s
2
2

－sin
2
cos α

＝＝.

α

α


sin
2

sin
2


παα
因为－π<α<0，所以－
2
<
2
<0, 所以sin
2
<0，
α
－sin
2
cos α
所以原式＝
α
＝cos α.
－sin
2
规律方法 探究三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函 数种数最少；③尽量
使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，
基本思路是分子 与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.

另外，还可以用切化弦 、变量代换、角度归一等方法.
3π
【训练2】 设α∈(
2
，2π)，化 简：
11
2
＋
2
11
2
＋
2
co s 2α.
11
2
2
＋
2
cos
α
3π α

3π

α
解 ∵α∈(
2
，2π)，
2
∈

4
，π

，∴cos α>0，cos
2
<0，故原式＝

＝

题型三 三角恒等式的证明 原则：由繁到简

【例3】 证明：
1＋cos x
2sin xcos x
＝
sin x
.
（sin x＋cos x－1）（sin x－cos x＋1）
证明 左边＝

xxxxxx
（2sin
2
co s
2
＋1－2sin
2
2
－1）（2sin
2
co s
2
－1＋2sin
2
2
＋1）
2sin xcos x
＝
xxxxxx

2sin
2
（cos
2
－sin
2
）·2sin
2
（cos
2
＋sin
2
）
xxx
2sin
2
cos
2
cos
2
2sin xcos x
＝＝＝
x
.
xx
4sin
2
2
cos x2sin
2
2
sin
2
xx
1＋2cos
2
2
－1cos
2< br>右边＝
xx
＝
x
，
2sin
2
cos2
sin
2
所以左边＝右边，即等式成立.
规律方法 探究证明三角恒等式的原则与步骤
2sin xcos x
11
2
＋
2
cos α＝
αα
cos
2
＝|cos
2
|＝－cos
2
.
2
α
( 1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复
角化单角，如果两端都比 较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名 ”“变换式子结构”“变量集中”等原则，

设法消除差异，达到证明的目的.
1
【训练3】 求证：
cos 2θ
－tan θ·tan 2θ＝1.
11sin θsin 2θ
证明
cos 2θ
－tan θ·tan 2θ＝
cos 2θ
－
cos θcos 2θ

cos θ－2sin
2
θcos θ
cos θ（1－2sin
2
θ）1－2sin
2
θ
＝
cos θcos 2θ
＝＝
cos 2θ

cos θcos 2θ
cos 2θ
＝
cos 2θ
＝1.
题型四 利用辅助角公式研究函数性质

π

π

【例4】 已知函数f(x)＝3sin< br>
2x－
6

＋2sin
2

x－
12

(x∈R).

(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
π

π
2

2x－x－

解 (1)∵f(x)＝3sin
6< br>
＋2sin

12


π

π

＝3sin

2

x－
12

＋1－cos

2

x－
12





＝2



π

1

π


3


2

x－
12

－cos

2
x－
12


＋1
sin
2
 
2



π

π
x－
12

－
＋1 ＝2sin
2

< br>6


π

＝2sin

2x－
3

＋1，

2π
∴f(x)的最小正周期为T＝
2
＝π.
π
(2)当f(x)取得最大值时，sin

2x－
3
＝1，

ππ
有2x－
3
＝2kπ＋
2
(k∈Z)，
5π
即x＝kπ＋
12
(k∈Z)，
∴所求x的集合为

5π

xx＝kπ＋，k∈Z

.
12


规律方法 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角 变换公式转化为正弦
型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
(2)解此类题时要充分运用 两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，
减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质 提供保障.
11

π

π

【训练4】 已知 函数f(x)＝cos

3
＋x

·cos

3< br>－x

，g(x)＝
2
sin 2x－
4
.

(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.

1

1

33

cos x＋sin x

解 (1)f(x)＝

cos x－sin x

·
22

2

2

1＋cos 2x3（1－cos 2x）
13
＝
4
cos
2
x－
4
sin
2
x＝－
88
11
＝
2
cos 2x－
4
，
2π
∴f(x)的最小正周期为T＝
2
＝π.
11
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝
2
cos 2x－
2
sin 2x
π

2

2x＋
＝
2
cos

，
4


π
当2x＋
4
＝2kπ(k∈Z)， < br>π
2
即x＝kπ－
8
(k∈Z)时，h(x)有最大值
2.
此时x

π

.
xx＝kπ－，k∈Z
的集合为
8


一、素养落地
1.在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断 提
升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x
＋φ)的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素 养和数学运算素
养.
2.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法 的理解，
要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆
公式和 运用公式.
b
x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝
a
，φ 所在象限由a，b
确定，掌握实质并能熟练应用.
二、素养训练
4

π

1.若cos 2α＝－
5
，且α∈

2
，π

，则sin α＝( )

310
A.
10

3
C.
5

10
B.
10

10
D.－
10

1－cos 2α
＝
2

π

解析 因为α∈

2
，π

，所以sin α>0，由半角公式可得sin α＝

310
10
.
答案 A
2.下列各式与tan α相等的是( )
A.
1－cos 2α

1＋cos 2α
sin α
B.
1＋cos α
1－cos 2α
D.
sin 2α

sin α
C.
1－cos 2α
1－cos 2α
2sin
2
α
sin α
解析
sin 2α
＝
2sin αcos α
＝
cos α
＝tan α.
答案 D

θθ
3.设5π<θ<6π， cos
2
＝a，则sin
4
等于( )
1＋a
A.
2

C.－
1＋a
2

1－a
B.
2

D.－
1－a
2

5πθ3π
解析 ∵5π<
θ
<6π，∴
4
<
4
<
2
，
θ
∴sin
4
＝－
答案 D
4.已知2cos
2
x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，b∈R )，则A＝________，b＝
________.
解析 2cos
2
x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1
π
< br>＝2sin

2x＋
4

＋1，∴A＝2，b＝1.

答案 2 1
θ
1－cos
2
2
1－a
2
. ＝－
1＋cos θ＋sin θ1－cos θ＋sin θ
5.化简：＋.
1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ
θθθ
2cos
2
2
＋2sin
2
cos
2
2
θ
解 原式＝
θθ
＋
2sin
2
＋2sin
2
cos
2

θθ θ
2cos
2
2
＋2sin
2
cos
2
θ

θ

θ

θ
θ

θ
c os＋sinsin＋cos

2cos
2

2sin
2

22

2

2

＝＋
θ
θ


θ

θ
θ

θ2sin
2

sin
2
＋cos
2

2cos
2

cos
2
＋sin
2

 
θθθθ
cos
2
sin
2
cos
2
2
＋sin
2
2
2
＝
θ
＋
θ
＝＝
θθ
sin θ
.
sin
2
cos
2
s in
2
cos
2
θθθ
2sin
2
2
＋2 sin
2
cos
2

基础达标
一、选择题
1.函数y＝3sin 4x＋3cos 4x的最大值是( )
A.3
C.3
解析 y＝3sin 4x＋3cos 4x

3

1
＝23

sin 4x＋cos 4x


2

2

π

＝23 sin

4x＋
6

，

∴y
max
＝23，故选B.
答案 B
π

1
2

α－
2.已知sin 2α＝
3
，则cos

＝( )
4


1
A.－
3
1
C.
3

2
B.－
3
2
D.
3

B.23
D.6
π

1


2α－
2

1＋sin 2α
1＋
3
1＋cos
π


2
2

解析 cos

α－
4

＝＝＝＝
2223
.

答案 D
C
3.在△ABC中，若sin Asin B＝cos
2
2
，则△ABC是( )
A.等边三角形
C.不等边三角形
1
解析 sin Asin B＝
2
(1＋cos C)，
即2sin Asin B＝1＋cos C，
∴2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B，
故得cos(A－B)＝1，
B.等腰三角形
D.直角三角形

又因为A－B∈(－π，π)，
∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形.
答案 B
1
4.函数f(x)＝
2
(1＋cos 2x)·sin
2
x(x∈R)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
π
B.最小正周期为
2
的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
π
D.最小正周期为
2
的偶函数
1111
解析 由题意，得f(x)＝
4
(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝
4
( 1－cos
2
2x)＝
4
sin
2
2x＝
8
(1－
π
cos 4x).又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为
2
的偶函数，选D.
答案 D
4
5.若cos α＝－
5
，α是第三象限角，则
1
A.－
2

C.2
α
1＋tan
2
α
等于( )
1－tan
2
1
B.
2

D.－2
4
解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－
5
，
3
α
sin α
∴sin α＝－
5
，∴tan
2
＝＝
1＋cos α
α
1＋tan
2
1－31
∴
α
＝
1＋3
＝－
2
.
1－tan
2
答案 A
二、填空题
6.化简1＋sin 2的结果是________.
3
－
5
4
＝－3，
1－
5

解析 1＋sin 2＝sin
2
1＋cos
2
1＋2sin 1cos 1
＝（sin 1＋cos 1）
2
＝|sin 1＋cos 1|，
π
因为1∈(0，
2
)，所以sin 1>0，cos 1>0，
则1＋sin 2＝sin 1＋cos 1.
答案 sin 1＋cos 1
B＋C
1
7.在△ABC中，若cos A＝
3
，则sin
2
2
＋cos 2A＝________.
B＋C1－cos（B＋C）
解析 sin
2
＋cos 2A＝＋2cos
2
A－1
22
1＋cos A
1
2
＝＋2cosA－1＝－
29
.
1
答案 －
9

8.函数f(x)＝sin
2
x＋sin xcos x＋1的最小正周期为________.
解析 f(x)＝sin
2
x＋sin xcos x＋1＝
＝
π

32

sin

2x－
4

＋，
2

2
1－cos 2x
113
＋sin 2x＋1＝(sin 2x－cos 2x)＋
2222
∴T＝π.
答案 π
三、解答题
a·cos B－b
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求
a－b·cos B
A
tan
2
2
a＋b
证＝.
B
a－b
tan
2
2
证明 因为cos A＝
所以1－cos A＝
1＋cos A＝
a·cos B－b
，
a－b·cos B
（a＋b）·（1－cos B）
，
a－b·cos B
（a－b）·（1＋cos B）
，
a－b·cos B

1－cos A（a＋b）·（1－cos B）
所以＝，
1＋cos A（a－b）·（1＋cos B）
2sin
2
1－cos A
2
A
而＝＝tan，
A2
1＋cos A
2cos
2
2
1－cos B
2
B
＝＝tan，
B2
1＋cos B
2cos
2
2
a＋b
B
所以tan＝·tan
2
，
2
a－b
2
2
A< br>2
A
B
2sin
2
2
A
tan
2< br>2
a＋b
即＝.
a－b
2
B
tan
2α－βα－β
412
10.已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝
5
，sin β＝
13
，求cos
2
与tan
2
的
值.
412
解 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝
5
，sin β＝
13
，
35
所以cos α＝－
5
，cos β＝
13
.

3

541233
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝

－
5

×
13
＋< br>5
×
13
＝
65
.

ππ
因为
2
<α<π，且0<β<
2
，
α－β
π
所以0<α－β<π，即0<
2
<
2
，
α－β
所以cos
2
＝
1＋cos（α－β）
＝
2
33
1＋
65
2
765
＝
65
.
α－β
π
α－β
法一 由0<
2
<
2
，得 sin
2
＝
4
＝
7
.
α－β
sin2
α－βα－β
465
1－cos
2
2
＝
65
，所以tan
2
＝
α－β
cos
2

33
法二 由0<α－β<π，cos(α－β)＝
65
，得
56
sin(α－β)＝1－cos
2
（α－β）＝
65
.
56
65
α－β
sin（α－β）
4
所以tan
2
＝＝
33
＝
7
.
1＋cos（α－β）
1＋
65
能力提升
11.已知函数f(x)＝sin
2
x－cos
2
x－23sin xcos x(x∈R).

2π

(1)求f

3

的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
π

解 (1)f(x)＝sin
2
x－cos
2
x－23sin xcos x＝－cos 2x－3sin 2x＝－2sin

2x＋
6

，


2π

4ππ

则f

3

＝－2sin

3
＋
6

＝2.

(2)f(x)的最小正周期为π.
由正弦函数的性质，
ππ3 ππ2π
得
2
＋2kπ≤2x＋
6
≤
2
＋2kπ， k∈Z，解得
6
＋kπ≤x≤
3
＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是
2π

π


6
＋kπ，
3
＋kπ

(k∈Z).

12.如 图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马
路为边界的扇形地域内建造一个 图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边
环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在 边界上，图书馆的正面
要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的 夹角为
θ.

(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

(取2＝1.414)
解 (1)由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.
1
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ，所以AB＝OF－
2
AD＝
Rcos θ－Rsin θ.
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－Rsin θ)＝R
2
(2sin θcos θ－2sin
2
θ)＝R
2
(sin 2θ－1
π

π

＋cos 2θ)＝2R
2
sin

2θ＋
4

－R
2
，θ∈

0，
4

.

π< br>
π

π3π

0，
(2)因为θ∈
< br>，所以2θ＋
4
∈

4
，
4

，
4


πππ
所以当2θ＋
4
＝
2
，即θ＝
8
时，S有最大值.
S
max
＝(2－1)R< br>2
＝(2－1)×45
2
＝0.414×2 025＝838.35(m
2
).
π
故当θ＝
8
时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m
2
.