情人节文案-公务员考试成绩查询

2014年星火教育高考一轮复习三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、三角函数式的化简、求值
※相关链接※
（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则
①一看“角”，这是最 重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使
用公式；
②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”
等。
（2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号；
（3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
①化为特殊角的三角函数值；
②化为正、负相消的项，消去求值；
③化分子、分母出现公约数进行约分求值。
※例题解析※
(1sin

cos

)(sin
〖例〗（1）化简

22cos< br>
cos)
22
(0



)


1cos20
0
1
0
（2）求值
sin10 (tan5
0
)

00
2sin20tan5
思路解析： （1）从把角

变为

2
入手，合理使用公式；
（2）应 用公式把非
10
o
角转化为
10
o
的角，切化弦。

2、三角函数的给值求值问题
※相关链接※
三角函数的给值求值问题
解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；
（2） 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱
导公式把“ 所求角”变成“已知角”。
（3）常见的配角技巧

2





4

2
(



)



(



)1
[(



)(



)]

2
1
[(



)(



)]
2




(

)
24

※例题解析※
3

335< br>



,cos(

),sin(



)
，求
sin(



)
的值。
4445413
3

思路解析：比较题设中的角与待求 式中的角，不难发现
(

)(

)(



)
或将
442
〖例〗已知
0

< br>




3


cos(
)
变化为
sin(

)
，再由
(

)











求解。
44
4

4

解答：方法一：∵

4



3
< br>4
，

3



,< br>
0.
又
4424

3

3
< br>3

5

4



3




.
又
Qsin(

)

Qcos




,sin(

) 
。又
Q0

,
444413
45
4

5

3

sin(


)cos[(



)]cos[(

)(

)]
244
3

3
cos(

)cos(

)sin(

) sin(

)

4444

()()
5

方法二：
cos(


3


)sin(

)

445
3、三角函数的给值求角问题
※相关链接※
（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。若角的范围是

0,





，选正、余弦皆可；若 角的范围是
2


0,


，选余弦较好；若角的 范围为
(
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；

,)
，选正弦较好。
22
（2）解给值求角问题的一般步骤为：
③根据角的范围写出所求的角。[:学科ZXXK]
※例题解析※
〖例1〗如图， 在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位
圆交于A、B的 横坐标分别为
225
、
105
（1）求tan(α+β)的值；
（2）求的α+2β值。
思路解析：由已知得cosα,cosβ

求ta nα,tanβ

求tan(α+β)

求tan(α+2β)

求α+2
β的范围

求α+2β的值。

〖例2〗
已知0


思路解析：

2
,0



2
,且3sin

sin(2< br>


),4tan

2
1tan
2< br>
2
,求



的值.

由的关系 可求出

的正切值，再据已知

与2



构造出



,从而可求出



的一 个

2
三角函数值,再据

、

的范围求



的范围从而确定角



。







注：已知三角函数值求角，一般分两步：
①“恰当”地根据角的范围选择一个三角函数值；
②根据角的范围与三角函数值确定该角的值。
4、三角函数的综合应用

rrr
11
〖例〗已知α、β为锐角，向量
a(cos

,sin

),b(cos

,sin

),c(,).
22
rr
2
rr
31
（1） 若
ab,ac,
，求角
2



的值；
24
rrr
（2） 若
abc
，求tanα的值。
r rr
rr
2
rr
31
b、c
的坐标，可求出关于α、β的 三角函数值，进思路解析：（1）由
ab
，及
a、
,ac
2 4
而求出角；
rrr
（2）由
abc
可求出关于α、β的三角 恒等式，利用方程的思想解决问题。

注：（1）已知三角函数值求角，一定要注意角的范围；
（2）求解三角函数有关的问题，有时构造等式，用方程的思想解决更简单、实用。

六、简单的三角恒等变换
1、可转化为y=asinx+bcosx+k的函数
※相关链接※
若函数f(x) 的解析式通通过三角恒等变换可转化为y=asinx+bc osx+k的形式，则函数f(x)的解析式
可化为f(x)=
ab
sin(x+< br>
)+k(其中cos

=
22
a
ab
2 2
,sin

=
b
ab
22
)的形式。
注：解析式与三角函数有关的函数若求函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要转化
为 y=Asin(ωx+

)+k的形式。
※例题解析※
〖例〗已知函数< br>f(t)
1t

17



,g(x) cosxf(sinx)sinxf(cosx),x


,
< br>1t

12

（1）将函数g(x)化简成Asin(ωx+

)+B(A>0,ω>0,


0,2


的形式；
（2）求函数g(x)的值域。
思路解析：（1）利用平方关系的变形将根式化为有理式；
（2）利用三角函数的单调性及借助于三角函数的图象确定值域。

2、三角函数的证明
※相关链接※
（1）证明三角恒等式的方法
观察等式两边的差异（角、函数、运算的差异），从解决某一差 异入手（同时消除其他差异），确定人
该等式的哪边证明（也可两边同时化简），当从解决差异方面不易 入手时，可采用转换命题法或用分析法
等。
（2）证明三角条件等式的方法
首先观 察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入
得出结论， 或通过变换已知条件得出引进结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条
件含参数， 可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。
※例题解析※
〖例〗（ 1）求证：
tan
2
x
12(3cos4x)
;

2
tanx1cos4x
1m
tan


1 m
（2）
已知sin

=msin(2

+
)(m1),求证：tan(

+

)=
思路解析：（1）观 察本题（1）左、右两边式子间的差异，若选择“从左证到右”，则“切化弦”的方
法可用；若选择“从 右证到左”，则倍角公式应是必用公式；
（2）本题（2）一个条件等式的证明，应仔细观察条件与结 论的差异，从解决差异入手，结论中为α
+β与α的函数，而已知是β与2α+β的函数，将β、2α+ β用α+β、α表示解决本题的正确方向。

3、三角函数式的化简及求值
※相关链接※
（1）三角函数式的化简
ⅰ、化简的要求
①能求出值的应求出值；
②尽量使函数种数最少；
③尽量使项数最少；
④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数。
ⅱ、化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂，和差化积、积化和差等。
（2）已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
ⅰ、先化简所求式子；
ⅱ观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；
ⅲ将已知条件代入所求式子，化简求值。
※例题解析※
3

11 0
〖例〗已知




,tan

 .
，求
4tan

3
5sin
2

28sin

2
cos

2
11cos
2< br>
2
8
的值
2sin(

)
2

思路解析：化简已知条件

化简所求式子，用已知表示所求

代 入已知求解

结论。








注：化简的思路：
对于和式，基本思想是降次、消项和逆用公式；对于 三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公

式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆 用。另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法。
4、三角函数的应用问题
〖例 〗如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，B为半圆周上任意一点，以AB为
一 边作等边ΔABC，问点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？其最大面积是多少？

思路解析：点B的位置可由∠AOB的大小来确定，取∠AOB为自变量，则由余弦定理可求AB，从而可
求
S
ABC
，四边形OACB的面积可表示成∠AOB的函数，再求这个三角函数 的最大值。


















注 ：用函数法求平面图形面积的最大值或最小值，常以某个变化的角作为自变量，再将面积S表示成
这个角 的函数，然后将问题转化为求三角函数的最值，其中自变量的取值范围要根据实际情况而定，求函

数的最值可通过三角变换来解决。