恶魔岛网站-人力资源部工作总结

三角恒等变换章末复习

一、网络构建

二、要点归纳
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
tan α＋tan β
tan(α＋β)＝.
1－tan αtan β

tan α－tan β
tan(α－β)＝.
1＋tan αtan β
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos
2
α－s in
2
α＝2cos
2
α－1＝1－2sin
2
α.
2tan α
tan 2α＝.
1－tan
2
α
3．升幂缩角公式
1＋cos 2α＝2cos
2
α.
1－cos 2α＝2sin
2
α.
4．降幂扩角公式
1＋cos 2x
sin 2x
sin xcos x＝，cos
2
x＝，
22
sin
2
x＝
1－cos 2x
.
2
5．和、差角正切公式变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
6．辅助角公式
b
其中tan θ＝

. y＝asin ωx＋bcos ωx＝a
2
＋b
2
sin(ωx＋θ).

a


题型一 三角函数求值
sin 110°sin 20°
例1 (1)
2
的值为( )
cos155°－sin
2
155°
1133
A．－ B. C. D．－
2222

考点 利用二倍角公式化简求值
题点 利用正弦的二倍角公式化简求值
答案 B
sin 70°sin 20°cos 20°sin 20°
解析 原式＝＝
cos 310°cos 50°
1
sin 40°
2
1
＝＝.
sin 40°2
41
(2)已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．
53
考点 角的拆分与组合在三角恒等变换中的应用
题点 角的拆分与组合在三角恒等变换中的应用
4
解 ∵α是锐角，cos α＝，
5
33
∴sin α＝，tan α＝.
54
tan α－tanα－β
13
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝.
1＋tan αtanα－β
9
910
∵β是锐角，故cos β＝.
50
反思感悟 三角函数的求值问题通常包括三种类型，即给角求值，给值求值，给值求角．给
角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值；给值求值关键是找准要求角与已知角
之间 的联系，合理进行拆角、凑角；给值求角实质是给值求值，先求角的某一三角函数值，
再确定角的范围， 从而求出角．
π
1
π
2
β－

＝，那么tan< br>
α＋

等于( ) 跟踪训练1 已知tan(α＋β)＝，tan


4

4

4

5
1313 31
A. B. C. D.
1822226
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案 C
21
－
54ππ
3
α＋

＝tan

α＋β－
β－

＝解析 tan

＝.

4

4

2122
1＋×
54
题型二 三角函数式的化简与证明
1
2cos
4
x－2cos
2
x＋
2
例2 化简：.
π

2

π

2tan
< br>4
－x

sin

4
＋x


考点 整体与换元思想在三角恒等变换中的应用
题点 整体与换元思想在三角恒等变换中的应用
1
－2sin
2
xcos
2
x＋
2
解 原式＝
π

2

π

2sin
4
－x

cos

4
－x

π

cos


4
－x

1
1－sin
2
2x
2
＝
π

π

2 sin

4
－x

cos

4
－x

1
2
cos2x
2
1
＝＝cos 2x.
π
2
－2x

sin


2

反思 感悟 三角函数化简常用策略有：切化弦、异名化同名、降幂公式、1的代换等，化简
的结果应做到项数 尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一．
三角函数证明常用方法有：从左向右(或从右向左)，一 般由繁向简；从两边向中间，左右归
一法；作差证明，证明“左边－右边＝0”；左右分子、分母交叉相 乘，证明差值为0等．
sin α＋1
1
α
1
跟踪训练2 证明：＝tan ＋.
22
1＋sin α＋cos α
2
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
αα
2sin cos
22
＋1
αα
22
sin＋cos
22
证明 ∵左边＝
αααα
22
2sin cos cos－sin
2222
1＋＋
αααα
sin
2
＋cos
2
sin
2< br>＋cos
2
2222
2tan
α
2
＋1
α
1＋tan
2
2
＝
αα
2tan 1－tan
2
22
1＋＋
αα
1＋tan
2
1＋tan
2
22
αα
tan
2
＋2tan ＋1
22
＝
ααα
1＋tan
2
＋2tan ＋1－tan
2
222


tan
α
＋1< br>
2

2

1

α

＝＝

tan
2
＋1


α
2
2tan ＋2
2
1
α
1
＝tan ＋＝右边，
222
∴原等式成立．
题型三 三角恒等变换与函数、向量的综合运用
例3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝
(1)求cos(α－β)的值；
ππ
5
(2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值．
2213
考点 和、差角公式的综合应用
题点 和、差角公式与其他知识的综合应用
解 (1)因为向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
|a－b|＝cos α－cos β
2
＋sin α－sin β
2

25
＝2－2cosα－β＝，
5
43
所以2－2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝.
55
ππ
(2)因为0<α<，－<β<0，所以0<α－β<π，
22
3
因为cos(α－β)＝，
5
4512
所以sin(α－β)＝，且sin β＝－，cos β＝，
51313
5
412333
－

＝. 所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)·sin β＝×＋×

5135

13

65
反思感悟 三 角函数与三角恒等变换综合问题，通常是通过三角恒等变换，如降幂公式，辅
助角公式对三角函数式进行 化简，最终化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，
再研究三角函 数的性质．当问题以向量为载体时，一般是通过向量运算，将问题转化为三角
函数形式，再运用三角恒等 变换进行求解．
π
2x＋

＋sin
2
x－cos
2
x＋23sin xcos x. 跟踪训练3 已知函数f(x)＝cos

3

(1)化简f(x)；
1
(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α.
7
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
25
.
5

解 (1)f(x)＝
1
2
cos 2x－
3
2
sin 2x－cos 2x＋3sin 2x
＝
31
2
sin 2x－
2
cos 2x＝sin


2x－
π
6


. < br>(2)f(α)＝sin


2α－
π
6


＝
1
7
，2α是第一象限角，
即2kπ<2α<
π
2
＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－
π
6
<2α－
ππ
6
<
3
＋2kπ(k∈Z)，
∴cos

π

2α－
4
6


＝
3
7
，
∴sin 2α＝sin

π
π



2α－
6


＋
6


＝sin


2α－
π
π6


·cos
6
＋cos


2 α－
π
6


·sin
π
6

＝
134315
7
×
2
＋
7
×
2
＝
3
14
.
1．若α，β都是锐角，且cos α＝
5
5
，sin(α－β)＝
10
10
，则cos β等于(
A.
2
2
B.
2
10

C.
2
2
或－
2
10
D.
2
2
或
2
10

考点 和、差角公式的综合应用
题点 综合运用和、差角公式化简求值
答案 A
)

解析 由α，β都是锐角，且cos α＝
51025310
，sin(α－β)＝，得sin α＝，cos(α－β)＝，
510510
2
.
2
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝
2．若3sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是( )
A．[2,6]
C．(2,6)
考点 简单的三角恒等变换的应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 A
解析 ∵3sin x＋cos x＝4－m，∴
4－m
31
sin x＋cos x＝，
222
B．[－6,6]
D．[2,4]
4－m
π
4－m
ππ
x－

＝∴sin sin x＋cos cos x＝，∴cos

.

3

332 2

x－
π

≤1，∴

4－m
≤1，∴2≤m≤6. ∵

cos

3

2

3．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是( )
A．－
2211
B. C. D．－
2222
考点 简单的三角恒等变换的应用
题点 简单的三角恒等变换与三角形的综合应用
答案 B
tan A＋tan B
解析 由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，得＝－1，即tan(A＋B)＝－1.
1－tan A·tan B
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝
3ππ
2
.∴C＝，cos C＝.
442
sin180°＋2α
cos
2
α
4．化简：· ＝ .
1＋cos 2αcos90°＋α
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
答案 cos α
π
3
x＋

－3cos
2
x＋，x∈R. 5．已知函数f(x)＝cos x·sin


3

4
(1)求f(x)的最小正周期；
ππ
－，

上的最大值和最小值． (2)求f(x)在闭区间


44

考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用

解 (1)由已知，得

1
sin x＋
3
cos x

－3cos
2
x＋
3
f(x)＝cos x·
4
2

2

133
＝sin x·cos x－cos
2
x＋
224
133
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
444
13
＝sin 2x－cos 2x
44
π
1
2x－

. ＝sin

3
2

2π
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
2
ππππ
－，－

上是减函数，在区间

－，

上 是增函数， (2)因为f(x)在区间

12

4

1 24

πππ
111
－

＝－，f

－

＝－，f

＝， f

< br>4

12

4

442
ππ
1 1
－，

上的最大值为，最小值为－. 所以函数f(x)在闭区间


44

42