【例2】：已知
sin


3
，

5
为第四象限角，则
tan

2

( )．
A．

3314
B．

C．

D．
53
43
3
5

【解析】：因为
sinθ=-
，

为第四象限角，所以
cosθ=
4
5
.故tan
θ
2
sin
=
cos
θ
2
=< br>
θ
2
2sin
θ
2
cos
θ
2< br>=
sinθ
cosθ+1
=
2
θ
2cos
2
答案：C
5
=-
1
.
4
3
1+
5
-
3
【例3】：已知

、

为锐角，且
tan

7,tan


7+
4
4
， 则




________．
3
【解析】：因 为
tanα+β=

tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=
3
=-1
，且
0<α+β<π
，所以
α+β=
3π
.
4
4
1-7

3
答案：
3π

4
【类型二】化简

【例1】：化简：
cos
A．

2
53

6
2tan15

( )
1tan
2
15
532
2
B． C．

D．
64
4
15cos
2
75
2o2oo

【解析】：原式＝
cos15-sin15+tan30
答案：B
【例2】 ：已知

3353
oo
=cos30+tan30=+=
.
236


5




,
< br>，则
1sin


( )

22


A．
sincos
B．
cossin
C．
sin

cos


2222
D．
cos

sin


【解 析】：因为
1-sinθ=sin
θθθθ

π5π

2< br>θ
2
θ
且
θ∈

,
-2sincos+co s=sin-cos
，

，
222222

22

所以
θθθθ
θ

π5π

sin>cos1-s inθ=sin-cos
，且，故.
∈

,

2
2222
44

答案：A
si40
【例3】：
nant 10

3


________．

2

ooo

o

sin10
o
sin10 -3cos10
【解析】：原式＝
sin40


o
-3< br>
=sin40
o
cos10cos10

ooo
ooooo
2sin40sin10-60
-2sin40sin502sin40cos40 sin80
==-=-
=
ooo
=-1
.
o
c os10cos10cos10
cos10

答案：
-1

【类型三】证明
【例1】：求证：
1sin2

cos2
tan

.
1sin2

cos2

2
1+2sinθcosθ-1-2sinθ
【证明】：左边＝

=
2sinθcosθ+2sin
2
θ
2
2
1+2sin θcosθ+

2cosθ-1

2sinθcosθ+2cosθ
=tanθ
＝右边，所以等式成立.

=
2sinθ

s inθ+cosθ

2cosθ

sinθ+cosθ

【 例2】：求证：
cos

sin


【证明】：因为
sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ
，
sinα-β=sinαcosβ- cosαsinβ
，两式
相减得
sinα+β
-
sinα-β=2c osαsinβ
，即
cosαsinβ=

1
sin
< br>



sin






.

2


1
2


sin

α+β

-sin

α-β



.
【例3】：已知
1tan




1
，求证：
tan2

4t an




.
2tan


4

1-tanθ
2+tanθ
=1
，所以
tanθ=-
1
2
. 【证明】：因为

1


2ta nθ4
2

故
tan2θ===-
，
22
3< br>1-tanθ

1

1-

-


2

2

-

1

1+
tan+tanθ

-


π


2
=-
4
.
4
-4tan

+θ

=-4

=-4

π
3

1
< br>
4

1-tantanθ
1-1


-< br>
4

2

π
所以等式成立.
【类型四】综合应用



【例1】：已知
tan2
22
，
2



,


，求

2

【解析】：原式＝
2cos
2

2
sin

1
的值.


2 sin




4

cosθ- sinθ
sinθ+cosθ
=
1-tanθ
.
1+tanθ

3

因为
2θ∈

2
2tanθ

π


ππ

，解得tanθ=
.
,π

，所以
θ∈

,

.又
tan2θ=-22=
2
2

42

2

1-tanθ
2
2
=3
-2
于 是，原式＝
2
1
+
2
1-
【例2】：已知
cos< br>

的值.
【解析】：因为
2
.
，求
c os



1



2

,sin





，且
< br>


,0



2
2

9

2

3
β
2
<π,-
3 π
α
π
<
-
β<
.
42
2
< br>

2
π
2
<α<π,0<β<π
，所以
0
<α-
又
cos

α-


β

2


=-
1
9
,sin

β< br>
β

80

α

2
2

2

，
-β

=
，所以
sin

α-

=1-cos

α-

=
2

2

81

2

3
 
5

β

4
5

α

5
2

α
2

α
，
cos
-β

=
.
cos

-β

=1- sin

-β

=
，故
sin

α-
=

2

2

9

2< br>
9

2

3
于是，
cos
α+β
2
=cos


α-



< br>β

α



β

α


-

-β


=cos

α -

cos

-β


2

2



2

2

+sin
< br>α-


β

2


sin


α

1524575
+

=
. < br>-β

=-

933927
2

【例3】 ：已知
sin

cos

2sin

,sin

cos

sin
2

，求证：
4co s
2
2

cos
2
2

.
2
【证明】：因为
sinθ+cosθ=2sinα
，所以
1+2sinθco sθ=4sinα
.
又
sinθcosθ=sinβ
，所以
1+2 sinβ=4sinα
，即
1+21-cosβ=41-cosα
，
整理得 ，
4cosα=1+2cosβ
，降次得，
2cos2α=cos2β
，平方 得，
4cos2α=cos2β
.
222

2

2

2222

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组
一、选择题
1．已知< br>cos18
A.
m
，则
sin
2
9
( )．
D.
o
1-m
2o
1-cos18
=
【解析】：
sin9=
．
22
答案：A
2．已知
sin

A．

1m1m
1m
B. C．
22
2
1m
2

3
,

5
为第二象限角，则
sin2

的值为 ( ) ．
12

25
B．
1224
C．


25
25
D．
24

25

4

【解析】：因为
sinθ=
3< br>5
,θ
为第二象限角，所以
cosθ=-
4
5
，
从而
sin2θ=2sinθcosθ=2

答案：C
3．已知< br>tan

3

4

24
.

-

=-
5

5

25
1 1
,tan






，则
tan


(
43
114
C. D．
6
1313
)．
A．
1
7
B.
11
-
tan

α+β

-tanα
34
=
1
. 【解析】：
tanβ=tan

α+β-α ==



1+tanα+βtanα
11
13

1+

34
答案：B
xx
cos3
的零点是( )
22



A. B. C．或 D.

或
63633
xx

xπ

【 解析】：因为
f

x

=3sin+cos-3=2sin

+

-3
，由
f

x

=0< br>，得
22

26

xππ7π
xππxπ2π

xπ

3
.又
x∈

0,2π
，所以
+
∈

,
，故
+=
或
+=，解得
sin

+

=
263263
2666
2

26

4．已知
x

0,2

，则函数
f

x

3sin

x=
π
或
x=π
.
3
答案：D
5．化简：
1sin8
1cos8

(
2
)．
A．
sin4
B.
sin42cos4
C．
2cos4sin4
D．
2sin4cos4

【解析】：原式＝
sin4-cos4-cos 4=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4
.
答案：C
二、填空题
33

6．已知
cos

,



52
【解析】：因为
cosθ=-



，则

sincos


___ _____．
22

3π
2
，所以
sinθ=-
2
3
5
,π<θ<
4
5
.故
θ
θθ

θ

4

9
2
θ
2< br>θ
-2sincos+cos=1-sinθ=1-

-

=
. 原式＝

sin-cos

=sin
2
2222

2

5

5
答案：

2
9
5


5

7．已知




3

4
，则

1ta n


1tan



________．
4
，所以
tanα+β=tan
【解析】：因为
α+β=
3 π

3π
4
，即
tanαtanβ
1-tanαtan β
=-1
，整理得，
tanαtanβ=-1tanαtanβ
.于是

1-tanα

1-tanβ

=1-
tanα+tanβ

+tanαtanβ=1-

-1tanαta nβ

+tanαtanβ=2
.
答案：
2

8 ．化简：
sin50

13tan10


______ __.
oo
2sin50
o
sin30
o
【解析】：原式 ＝
sin50
o

cos10+3sin10
=

+10
o

cos10
o
cos10
o

=
2cos40
o
sin40
o
sin80
o
co s10
o
=
cos10
o
=1
.
答案：
1

三、解答题
9．已知
cos






1
5
,cos






3
5
，求
tan
tan

的值.
【解析】：因为
cos

α+β
=
1
5
，
cosαcosβ- sinαsinβ=
1
5

（1）

cos

α-β

=
3
β=
3
5
，
cosαcosβ+sinαsin
5

（2）

（1）+（2）得，
cosαcosβ=
2
5
（3）
（2）－（1）得，
sinαsinβ=
1
5
（4）
（4）

（3）得，
tanαtanβ=
1
2
.
10.已知函数
f

x

cos
2
x sin
2
x2cosxsinx2
．求
（1）函数
f

x

的递增区间
；
（2）函数
f

x

的零点.

【解析】 ：（1）因为
f

x

=sin2x+cos2x-2=
2
sin


2x+
π


4
< br>
-2
，
由
-
π
2
+2kπ≤2x+π
4
≤
π
2
+2kπ

k∈Z
得，
-
3
8
π
+kπ≤x≤
π
8
+k π

k∈Z

，
所以函数
f

x

的递增区间为



-
3π
8
+kπ
,
π
8
+kπ




k∈Z< br>
.
（2）由
f

x

=
2sin


π


2x+
4


-2=0
得，
sin


2x+
π


4


=1

所以
6
，

2x+
π
4
=
π
ππ
+2kπ

k∈Z

，解得
x=+kπ

k∈Z

.所以函数
f

x

的零点为
+kπ

k ∈Z

.
2
88
【二级目标】能力提升题组
一、选择题
1．已知
cos2


1
44
，则
cos

sin

的值为(
3
)．
A．1 B.
51311
C． D．
9
1818
22
【解析】：原式＝
cosθ+sinθ

2
1
22
-2cosθsinθ=1-

1+cos2θ

1-cos2θ


2
2
1


1


5
2
=1-1-cos2θ=1-

1-


=
.
22


3


9
1

答案：B
2．已知
sin2


24

3


，且



,

，则
sin


(
25
4

)．
A．
4
5
B.

433
C． D．


55
5
【解析】：因为
α∈


3π


3π

,π

，所以
sinα>0
，且
2 α∈

,2π

.

2


4

22
22

24

7

又< br>sin2α=-
，所以
cos2α=1-sin2α=1-

-=
25

25

25

故
si nα=
答案：C
二、填空题
3．
cos20
24
，cos2α=
7
25
.
2
1-cos2α
2
1-
=
7
25
=
9
，于是
sinα=
3< br>.
5
225
cos40cos60cos80
________.
ooooo
2sin20cos20cos40cos60cos80< br>【解析】：原式＝
o
2sin20
ooooooooo
2sin40 cos40cos60cos802sin80cos60cos80sin160cos601
=== =
.
ooo
16
4sin208sin208sin20
答案：< br>1
16

三、解答题
7




317

4.已知
cos

x

, x
4

4

512

sin2x2sin
2
x
，求的值.
1tanx
7

【解析】：因为
cos

7π

π

317π
+x

=,4

4
< br>512
，所以
5π
3
<
π
4
+x<2π,
sin


π

4
+x

=-
.

4

5
由
cos

π π33
2

π

3
.
+x

=
，得
cosxcos

sinxsin=
，即
cosx
sinx=
4455
45

，得
sin
由
sin


π

4
+x

=-< br>
4

5
5
π
4
cosx+cos
π
4
sinx=-
7
4
5
，即
cosx+sinx =-
4
2
5
.
由
cosx

sinx=
3
2
，平方得
2cosxsinx=
25
.于是

42


-

2
255
2sinxco sxcosx+sinx

sin2x+2sinx

=-
28
.
==
7
×
1-tanx

cosx- sinx

32
5
75

【高考链接】

1.（2015年四川文13）已知
sin

2cos

0< br>，则
2sin

cos

cos
2
的值为________.
2
2sinαcosα-cosα
【解析】：因为< br>sinα+2cosα=0
，所以
tanα=-2
，故
22
sinα+cosα
=
2tanα-1
2

-2

-1
==-1
.
22
tanα+1

-2
< br>+1
答案：
-1

2.（2013年全国新课标II卷理15）设
为第二象限角，若
tan




1

si

cos
则
n



，
4

2



________.
【 解析】：因为
tan

θ+


π

4< br>

=
1
2
tanθ+tan
，所以
π4
=
1
，解得
tanθ=-
1
.又
θ
为第二象限角，
π
2
3
4
1

tanθtan
10

1sinθ

sinθ=
tanθ=-=10


10
3cosθ
，解得

由

.于是
sinθ+cosθ=-
.
310

5

22
cosθ=-

sinθ+cosθ=1

10
答案：
-
10
5

3.（2014年全国新课标I卷 理8）设


1sin


(0,)
，

(0,)
，且
tan


2
2
co s

，则（ ）.

8

A
.
3





2

B
.
2





2

C
.
3




2

2

D
.
2





2

β

β
ββ
β
sin+cos

sin +cos
1+tan

1+sinβ

22

22
=
2
=tan

π
+
β

.因【 解析】：
tanα===

cosβ
cos
2
β
2
-sin
2
β
2
cos
β
2
-sin< br>β
2
1-tan
β

42

2
为< br>β∈(0,
π
β
2
)
，所以
π
2
∈ (
π
4
,
π
2
)
.又
α∈(0,
π
2
)
，所以
α=
πβπ
4
+
4
+
2
，即
2α-β=
2
.
答案：B




9