2019年考研时间-天津市总工会

三角恒等变形及应用
一．课标要求：

1．经历用向量的数量积推导 出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法
的作用；

2．能从两角差的余弦公 式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的
正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；< br>
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、
半角公 式，但不要求记忆）。

二．命题走向

从近几年的高考考察的方向来看，这 部分的高考题以选择、解答题出现的机会
较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性 质、解三角形及向
量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。
本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明
是三角变换 的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注
重考察思维的灵活性和发散性，以 及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和
综合分析能力。

三．要点精讲

1．两角和与差的三角函数

sin (



)sin

cos

cos

sin

；

cos(



)cos

cos

sin

sin

；

tan(



)
tan

tan

。

1
m
tan

tan

2．二倍角公式

sin2

2sin

cos

；
< br>cos2

cos
2

sin
2
2cos
2

112sin
2

；

tan2


2tan

。

1tan
2

3．三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角
化同角；③ 三角 公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角
函数种数尽量少；③使项数尽量少； ④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方
数不含三角函数。

（1）降幂公式

sin

cos


1 1cos2

1cos2

sin2

；
si n
2


；
cos
2


。
222
（2）辅助角公式

asinxbcosxa
2< br>b
2
sin

x


，
< /p>

其中sin


b
ab
22
，co s


a
ab
22
。

4．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要 观察所给角与特殊角间的关
系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，
解题的关键 在于“变角”，如

(



)

, 2

(



)(


< br>)
等，把所求角用含已
知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结
合所求角的范围及函 数的单调性求得角。

5．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是 根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用
化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同 ”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，
采用代入法、消参法或分析法进行证明。

四．典例解析

题型1：两角和与差的三角函数

（



）的值
。

cos
< br>cos

0
，求cos例1．已知
sin

s in

1，

分析：因为既可看成是

与

的和，也可以
看作是
（



）
到下面的 两种解法。

解法一：由已知sin

+sin

=1…………①，

cos

+cos

=0…………②，

①
2
＋②
2
得 2+2cos
（



）1
；

∴ cos
（



）
。

①
2
－②
2
得 cos2

+cos2

+2cos（



）=－1，

即2cos（



）〔
cos（



） 1
〕=－1。

∴
cos





1
。

解法二：由①得
2sin
由②得
2 cos



2
cos
1
2



2
的倍角，因而可得



2
cos< br>


2
1
…………③




2
0
…………④

④÷③得
cot



2

0，
点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方
程组解sin

、cos

、 sin

、 cos

，但未 知数有四个，显然前景并不乐观，
其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和 为积促转
化，“整体对应”巧应用。

tan

是方程x
2
5x60的两个实根根，
例2．已知
tan

，
< /p>

求
2sin
2




< br>3sin





cos





cos
2




的值
。

分析：由韦达定理可得到
tan

tan

及tan

tan

的值，
进而可以 求出
tan





的
值，再将所求值 的三角函数式用tan





表示便可知其值。

解法一：由韦达定理得tan

tan

5，tan

tan

6
，

tan

tan

5
1.

1 tan

tan

16
所以tan






解法二：由韦达定理得tan

tan

5，tan

tan

6
，

tan

tan

5
1.

1 tan

tan

16
所以tan






3
于是有



k




kZ

，

4
3

3

3

3

31
< br>原式2sin
2

k




 sin

2k




cos
2

k




13
。

4

2

2

4

22
< br>点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系
统结构，从而寻找 解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数
公式的关键是熟记公式，我们不仅要 记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角
的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提 高记忆公式的效率起到
至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结
论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题
的切入点。（ 3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如

题型2：二倍角公式

例3．化简下列各式：

（1）

1111

3



，

cos2



，2




2222
2


cos
2

sin
2
< br>（2）。





2cot




cos
2




< br>4

4


分析：（1）若注意到化简式是开平方根 和2

是

的二倍，

是的二倍，
以及其范围2
不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角
若注意到这两大特征 ，，不难得到解题的切入点。


4



4




2
，
解析：（1）因为
3

11


2

，所以cos2
< br>cos

cos

，

222
又因3

11



，所以cos
sinsin
，

422222
所以，原式=
sin

2
。

（2）原式=
cos2

cos2







2tan




cos
2




2sin




cos





4< br>
4

4

4

=
cos2

cos2

1
。

< br>

cos2

sin

2



2

点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2

是

的二倍，要

熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还 要注意
2

，

，

三个角的内在联系
44

的作用，
cos2

sin

< br>





2


2sin




cos



是常用的三角变换。（2）化简题
244

一定要找准解题 的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，
异角化同角是常用的化简技巧。（3） 公式变形
cos


sin
2


1c os2

。

2
sin2

1cos2

，
，cos
2


2sin

2
7sin2x2cos
2
x



317
的值
。

例4．若
cos

x

，

x

,求
451241tanx









x

，及2 x2

x


的两变换，就有以下的两种解法。

4

4

4

2
分析：注意
x

解法一：由
1775


x

，得

x2

，

12434
2sinx cosx

1tanx




sin2x tan

x

，

1tanx

4< br>
解法二：
原式

3



3
点评：此题若将
cos

x


的左边展开成< br>coscosxsinsinx
再求cosx，sinx
445

4

5
的值，就很繁琐，把





运用二倍
x作为整体
，并注意角的变换2·

x
2x，
42
4

角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有 条件限制的求值问题时，要善于
发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角 ，

如
2













，

2













，2



2






，2



2







，










，









，









，









等。

题型3：辅助角公式


5
asin
例 5．已知正实数a,b满足
5
tan
8

，求
b
的值
。


15a
acosbsin
55
b cos

分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知
等式可化为关于
的方
程，从而可求出由，若注意到等式左边的分子、分母都具有
as in

bcos

的结构，可考虑引入辅助角求解。

b

8
cossin

5a5

15

解法一：由题设得

b

8
cossincos< br>
5a515
sin
b
a
b
a

解法二：
因为asin

5
bcos



a
2
b
2
sin




，

5

5


b
tan
8
解法三：
原式可变形为：
5a
tan

，
b

15
1tan
a5
点评：以上解法中，方法一 用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通
过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式
b

asin

bcos

a
2< br>b
2
sin





，

其中tan



，或
asin

 bcos


a

a

a
2
b
2
cos





，其中tan


应加以关注；

在历年高考中使用频率是相当高的，
b

解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三
最佳。

3
1
2
例6．已知函数
y
＝cos
x
＋sin
x
cos
x
＋1，
x
∈R.

2
2
（1）当函数
y
取得最大值时，求自变量< br>x
的集合；

（2）该函数的图象可由
y
＝sin
x
（
x
∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得
到?

3< br>1
（理）（1）解析：
y
＝cos
2
x
＋sinx
cos
x
＋1

2
2
3
11
＝（2cos
2
x
－1）＋＋（2sin
x
cos
x）＋1

44
4
5
3
1
＝cos2
x
＋sin2
x
＋

4
4
4
1
< br>
5
＝（cos2
x
·sin＋sin2
x
·cos ）＋

66
2
4
1

5
＝sin（2x
＋）＋

6
2
4
y
取得最大值必须且只需2
x
＋


＝＋2
kπ
，
k
∈Z，

6
2
即
x
＝

＋
kπ
，
k
∈Z。

6
所以当函数
y
取得最大值时，自变 量
x
的集合为｛
x
|
x
＝

＋
k π
，
k
∈Z｝。

6
（2）将函数
y
＝sin
x
依次进行如下变换：

①把函数
y
＝sin
x
的图象向左平移
< br>
，得到函数
y
＝sin（
x
＋）的图象；

66
1
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数

2
y
＝sin（2
x
＋

）的图象；

6
1
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数

2
1
2
y
＝sin（2
x
＋

） 的图象；

6

515
④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函 数
y
＝sin（2
x
＋）＋的
6
424
图象；
3
1
综上得到函数
y
＝cos
2
x
＋sin
x
cos
x
＋1的图象。

2
2
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形
的技能以及运算能力。
已知函数
y
＝
3
sin
x
＋cos
x
，
x
∈R.

（1）当函数
y
取得最大值时，求自变量
x
的集合；
（2）该函数的图象可由
y
＝sin
x
（
x
∈R）的图 象经过怎样的平移和伸缩变换得
到?

解析：（1）
y
＝
3
sin
x
＋cos
x
＝2（sin
x
cos


＋cos
x
sin）＝2sin（
x
＋），
666
x
∈R



＝＋2
kπ
，
k
∈Z，

6
2
y
取得最大值必须且只需
x
＋

即
x< br>＝＋2
kπ
，
k
∈Z。

3

＋2
kπ
，
k
∈Z｝

3< br>所以，当函数
y
取得最大值时，自变量
x
的集合为｛
x
|
x
＝
（2）变换的步骤是：

①把函数
y
＝s in
x
的图象向左平移


，得到函数
y
＝sin （
x
＋）的图象；

66
②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数

y
＝2sin（
x
＋

）的图象；

6< br>经过这样的变换就得到函数
y
＝
3
sin
x
＋cos
x
的图象。

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行 恒等变形的技
能及运算能力。

题型4：三角函数式化简

例7．求 sin
2
20°＋cos
2
50°＋sin20°cos50°的值。

111
解析：原式＝（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（ sin70°－sin30°）

222
1
11
＝1＋（cos10 0°－cos40°）＋sin70°－

4
22
3
1
＝－sin70°sin30°＋sin70°

2
4
3
1
3
1
＝－sin70°＋sin70°＝ 。

4
2
4
2
点评：本题考查三角恒等式和运算能力。


12sin(2x)
4
.

例8．已知函数
f(x)
cosx
（Ⅰ）求
f(x)
的定义域；

（ Ⅱ）设

的第四象限的角，且
tan


，求
f (

)
的值。

解析：（Ⅰ）由
cosx0
得
xk



2
(kZ)
，

4
3


故
f(x)
在定义域为

xx k

,kZ

,


2
（Ⅱ）因为
tan


，且

是第四象限的角,

所以
sin

,cos

,

12sin(2

)
4

? 故
f(x)< br>cos

4
5
3
5
4
3
