北海艺术设计职业学院-上海专科学校

第三章 三角恒等变换 小结与复习课
教学目标
重点：掌握和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式；灵活运用公式解决问题.
难点： （1）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和证明．
（2）根据需要对角进行适当的变换.
能力点：角的范围对三角函数取值、符号的影响．
教育点：使学生进一步形成用联系、发展和变化的哲学观点去分析问题和解决问题.
自主探究点：函数名称间的变换和联系，升降幂，化切为弦．
易错点：角的范围的确定．
学法与教具
1.学法：讲授法、练习法. 2.教具：三角板，多媒体.
一、【知识结构】

























两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
二倍角的正弦、
余弦、正切公式
公式的运用
注意角度的各种存在形式
利用三角函数求最值问题
给角求值
三角函数式的化简
给值求值

两 弦
角 余
和 弦
与 正
差 切
的 公
正 式

简恒
单等
的变
三 换
角
三角函数式的求值 给式求值
给值求角
三角函数式的证明
“化一”公式的应用

二、【知识梳理】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式
s in(



)sin

cos

c os

sin

；
cos(



)cos

cos

sin

sin
；
tan

tan

.
1

t an

tan

sin2

2sin

cos

,cos2

cos
2

sin2

2cos
2

112sin
2

,
tan(



)
2tan
k

tan2

.(

,

k

,kZ)
2
1tan

422

2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧
（1）常见角的变换：

(< br>


)

；
2

(



)(



)
；
2
(



)(



)
；



2



2；



(



)(



)
.
222
cos

知一求二. （2）方程思想：
sin

cos

,sin

cos

,sin


（3）“1”的替换：
1sin

cos

tan
（4）切弦互化.
（5）公式变形
22

4
2cos
2

cos2

等.
tan

tan

ta n(



)(1tan

tan

),cos
2


（6）辅助角公式：
1cos2
< br>1cos2

,sin
2


22
< br>ab

asinxbcosxa
2
b
2
sinxcosx

2


222
ab

ab

a
2
b
2
(sinxcos

cosxsin

)a
2
b
2
si n(x

)

b
(其中,辅助角

所在象限由 点
(a,b)
所在的象限决定,
tan


).
a
常用结论 :
sinxcosx2sin(x

4
)
，
sinxcosx2sin(x

4
)

3.三角函数式化简的目标与方法: 化为单角或同角，函数名称少，次数尽量低，尽量不含分
母和根号.口诀：大角化小角，负角化正角，异名化同名，切化弦，高次化低次.
4.三角函数式的求值的类型一般可分为:
(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值——化非特殊角为特殊角，再用公式计算．
（ 2）“给值求值”：给出一些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值——变
换角,找出已 知角与所求角的联系．
（3）“给式求值”：给出的三角函数式的值，求其他式子的值——化简已知式 或所求式，再
求．
（4）“给值求角”：——先求角的某一三角函数值,结合角的范围求出角 ,要特别注意角的范
围对三角函数值的影响，有时需要讨论.
5.证明及其基本方法:
（1）化繁为简法， （2）左右归一法 ， （3）变更命题法，
（4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系．
三、【范例导航】

例1.已知
cos


111


，
cos(



)，

(0,)
，



(,

)
，求

的值．
71422
1

43< br>，

(0,)
，∴
sin


，
72
7
11

53
，



 (,

)
，∴
sin


，
142
14
【分析】本题考查两角和差的正余弦公式，要注意角的范围的确定. 【解答】∵
cos


又∵
cos(


)

cos

cos[(



)

]
cos(



)cos

sin(



)sin


又∵

(0,
1
，
2
)
，


(,

)
，

(0,
)
∴


．
223
【点评】灵活运用常见角的变换

(



)


变式1. 已知
cos(x
（1）求
sinx
的值；
（2）求
si n

2x




4
)
2< br>
3

,x(,).

1024





的值.
3





【分析】第（ 1 ）问可依据拆角 、凑角的方法写出
sinxsin


x




，从而产生解题


4

4


思路.可先求
sin(x

4
)
，再求
si nx
,然后求
cosx
，最后求出
sin2x,cos2x
，进而计 算


sin

2x

.
3

【解答】（1）因为
x






3


,

，所以
x

,

.
4

42

24

于是
sin

x






72
2



1co s

x


4

410







sinxsin


x



4

4


< br>




sin

x

coscos

x

sin

4

44

4


722224

1021025

（2）因为


3

x

,

，

24

3

4

故
cosx1sinx1


.
5
5

2
2
24
,
25

7
cos2x2cos
2
x1.
25
sin2x2sin xcosx
所以




sin
< br>2x

sin2xcoscos2xsin
3

33< br>

2473
50
.
【点评】 灵活运用和、差、倍角 公式进行化简、求值是三角函数一章考查的重点，而求值
问题是必考题型，尤其要注意运算能力、转化变 形能力的培养和拆角技巧的使用.
例2. 已知函数
f(x)23sinxcosx2cos
2
x1(xR)
.
（1）求函数
f(x)
的最小正周期及在区间

0,


上的最大值和最小值；


2

（2） 若
f(x
0
)
6



,x
0


,

，求
cos2x
0
的值． < br>5

42

【分析】可以化成
yAsin(
x

)
的形式，然后再求周期、及最值等，本题应先降幂，
利用
2cosx1cos2x
，比较简单，必须掌握．
【解答】（1）
2
f(x)3(2sinxcosx)(2cos
2
x1)
3sin2xc os2x2sin(2x)
6
所以函数
f(x)
的最小正周期为

.

，
因为
f(x)2sin

2x< br>



6


在区间

0,





上为增函数，在区间
,

上为减函数，


6

62

又
f(0)1,f





2,
6




f

1
，

2


所以函数
f(x)
在区间

0 ,



上的最大值为2，最小值为-1


2



（2）由（1）可知
f(x
0
)2sin

2x
0





6

又因为
f(x
0
)
6


3

，所以
sin

2x
0



，
5
6

5

由
x
0




2

7



< br>,

，得
2x
0


,


6

36

42



从 而
cos

2x
0

所以




4
2

，
1s in2x

0

6

6

5






cos2x
0
cos


2x
0




6

6







cos

2x
0


cossin< br>
2x
0


sin
．
6
66

6


343
10
【点评】本小题 主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数
yAsin(

x

)
的
性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．
变式2.设函数
f(x)
2

cos(2x)sin
2
x
．
24
（1）求函数
f(x)
的最小正周期； ()gx()
（2）设函数
g(x)
对任意
xR
，有gx
2
求函数
g(x)
在
[

,0]
上的解析式．
【解答】（1）
f(x)



，且当
x[0,

2
]
时， g(x)
1
f(x)
，
2
11
sin2x
，
22
2



． 所以，函数
f(x)的最小正周期
T
2
（2）当
x[0,

2
]
时，
11
f(x)sin2x
，
22
g(x)
当
x[

,0]
时，
(x)[0,]

222



1

1
g(x)g (x)sin2(x)sin2x

2222
当
x[

,)
时，
(x

)[0,)

2211
g(x)g(x

)sin2(x

)sin2 x

22



1
sin2x


2
所以函数
g(x)
在
[

,0]
上的解析式为
g(x)


1
sin2x

2
(

2
x0)
(

x
2
．
)
317

7

sin2x2sin
2
x
x
例3 . 已知
cos(x)
= ,,求
45124
1tanx

【分析】综合运用两角和与差的正切公式和二倍角 公式进行求值， 要注意角的范围的确定.
sin2x2sin
2
x
1 tanx
2sinxcosx2sin
2
x


sinx
1
cosx
2sinxcosx(cosxsinx)

cos xsinx
sin2x
1tanx
1tanx
4
17

7

x
由
124
5

x2

， 得
34

3
又
cos(x)
，
45
所以
sin2xtan(

，
x)

4
sin(x),
45


4
tan(x).
43



cosxcos

(x)

4

4

2
,
10

72
,
10

7
sin2x
25
28
sin2x2sin
2
x
. 所以
75
1tanx
sinx
【点评】本题方法较多，要注意 合理选用简单解法，简化运算．
变式3.求值：
【解答】
2sin50

sin80

(13tan10

)
1cos10< br>
．
2sin80

13

2sin50(co s10sin10

)

cos1022
原式



2cos5

2(

22
sin50

cos50

)
22


cos5
2c os(50

45

)

．
cos5

2
【点评】(1)灵活逆用公式(2)切化弦思想．
例4．已知
sin

cos

2sin

,s in

cos

sin
2

，求证：
4 cos
2
2

cos
2
2

.
【分析】对比已知条件和所证等式，消去已知条件中含的三角函数，再考虑两者之间的关系，
可证得结 论.
【解答】把已知代入
sin
2

cos
2

(sin

cos

)
2
2sin
cos

中，
1
得
(2sin

)2sin
变形得
22

1
，
2(1cos2

)(1cos2

)1,
2cos2

cos2

,
4cos
2
2

cos
2
2

【点评】上述解法称为消去法. sin（2



）
sin

变式4.证明： －
2cos(



)
=.
sin
< br>sin

【分析】先变形，只需证
sin(2



)2cos(



)sin

sin
，

再利用角的关系,
2


(



)

,(



)



,

可证得结论.
【解答 】
sin(2



)2cos(



)sin


=
sin











2cos(



)sin


=
sin(
< br>

)cos

cos(



)sin

2cos(



)sin

=
sin(



)cos

c os(



)sin


sin











sin

.
两边同除以
sin


s in（2



）
sin

得：－
2co s(



)
=.
sin

sin
【点评】合理运用已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两
角与其和差角的变换，如：


(



) 

,2

(



)(



),



2


2
,



2



2
等.
四、【解法小结】
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要 注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降
次的灵活运用，要注意“1”的各种变通. 熟悉三角公式 的整体结构，灵活变换，既要熟悉
三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公 式间的联系，掌握常
见的公式变形.
2. 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.
3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要
尽 可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽
可能有理化、整 式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函
数名、所求(或所证明)问题 的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.
4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函 数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍
角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以 从此入手，给这个等式两边求某一
函数值，可使所求的复杂问题简单化.
五、【布置作业】



2
1.设
tan

,tan

是方程
x3x20
的两个根，则
tan(

< br>
)
的值为（ ）
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
2.已知
sin

cos
2
，


(0，π)，则
tan

=（ ）

(A)

1 (B)

22
(C) (D) 1
22
1tan15

3. 化简等于 （ ）

1tan15
A．
3
B．
3
C．
3
D.
1

2


< br>4

4.设

为锐角，若
cos





，则
sin(2a)
的值为 ．
6

5
12

5．已知函数
f(x)2cos(

x
（1）求

的值；

6
)
，（其中

0,xR
）的最小正周期为
10

．
56 516
]
，
f(5



)
，
f(5



)
，求
cos(

< br>
)
的值．
235617
113
17
答案：1．A 2．A 3．A 4．
2
5．


，
cos(



)

585
50
（2）设

,

[0,

六、【教后反思】
1.本节设计题型灵活 ，例题选题时具有代表性，主要是让同学们理解和、差、倍角的正弦、
余弦、正切公式在恒等变换中的综 合应用以及方法技巧的掌握，目的在于训练学生的准确运
算能力、灵活变通能力.
2.提醒学生正确理解并掌握和、差角公式间的关系辩证地看待和角与差角 .
3. 本案的缺点就是有些例题和变式训练的难度大、计算繁琐，希望同学们在做题时耐住性
格，坚持到底．