河北科技学院-计划书模板

3.1.1 两角和与差的余弦
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推 导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.
理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和 与差的余弦公式的形式及符号特征，并能
利用公式进行化简求值．

知识点一 两角差的余弦
思考1 cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？




→→
思考2 单位圆中(如图)，∠
P
1
Ox
＝α，∠
P
2
Ox
＝β，那么
P
1
，
P
2
的坐标是什么？
OP
1
与
OP
2
的
夹角是多少？





思考3 由思考2，体会两角差的余弦公式的推导过程．




梳理 两角差的余弦公式
cos(α－β)＝____________________.(C
(α－β)
)
知识点二 两角和的余弦
思考 你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？

梳理 两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝________________.(C
(α＋β)
)
特别提醒：(1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，
cos (α－β)，cos(α＋β)是一个整体．
(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积 ，连接符号与左边角的连接符号相反，
可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．

类型一 给角求值问题
例1 求下列各式的值：
(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；
cos 7°－sin 15°sin 8°
(2)；
cos 8°
13
(3)cos 15°＋sin 15°.
22






反思与感悟 对 非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则．如
果整体符合三角函数公式的形 式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特
殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负 相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约
分求值，要善于逆用或变用公式．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)；
2sin 50°＋
(2)

＋3
2cos 5°
.

类型二 已知三角函数值求值
453ππ
例2 已知sin α＝－，sin β＝，且π＜α＜，＜β＜π，求cos(α－β)．
51322

引申探究
45π
1．若将例2改为已知sin α＝－，sin β＝，且π＜α＜2π，0＜β＜，求cos(α
5132
－β)．

43ππ16
2．若将例2改为已知sin α＝－，π＜α＜，＜β＜π，cos(α－β)＝，求sin β.
52265




反思与感悟 (1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角 进行拆分或组合，把所要求
的函数值中的角表示成已知函数值的角．
(2)在将所求角分解成 某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－
11
α)，α＝(2α －β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]
22
等．
π3π123
跟踪训练2 已知＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α
24135
的值．





类型三 已知三角函数值求角
113π
例3 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
7142

反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤：
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
跟踪训练3 已知锐角α，β满足sin α＝









5ππππ
1．计算cos cos ＋cos sin 的值是________．
126126
2．若
a
＝(cos 60°，sin 60°)，
b
＝(cos 15°，sin 15°)，则
a
·
b
＝________.
4π
3．已知cos α＝，且α为第一象限角，则cos(＋α)＝________.
56
34
4．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β)的值．
55







55

π

α＋β∈

3 π
，2π

，5．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈
，π

，

2

1313

2

求cos 2β的值．
5310
，cos β＝，求α＋β的值．
510

1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式 或某些角的三角函数值，
求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成 “已知
角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求 角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步
进行：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角所在的范围(找区间)；
(3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1 不成立．
思考2
P
1
(cos α，sin α)，
P
2
(cos β，sin β)．
OP
1
与
OP
2
的夹角是α－β.
思考3 在直 角坐标系
xOy
中，以
Ox
轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交 于
→→
P
1
(cos α，sin α)，
P
2
(cos β，sin β )，则∠
P
1
OP
2
＝α－β.由于余弦函数是周期为2π
的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β ≤π的情况．

→
设向量
a
＝
OP
1
＝(cos α，sin α)，
b
＝
OP
2
＝(cos β，sin β)，
则
a
·
b
＝|
a
||
b
|cos(α－β) ＝cos(α－β)．
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有
→
a·b
＝cos αcos β＋sin αsin β，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C
(α－β)
)
梳理 cos αcos β＋sin αsin β
知识点二
思考 能，cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin α·sin(－β)＝cos
αcos β－sin α·sin β.
梳理 cos αcos β－sin αsin β
题型探究
例1 解 (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°
＝
3
.
2
－－sin 15°sin 8°cos 15°cos 8°
＝＝cos 15°＝cos(60°
cos 8°cos 8°
(2)原式＝
－45°)

2＋6
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝
4
.
(3)∵cos 60°＝
1
2
，sin 60°＝
3
2
，
∴
13
2
cos 15°＋
2
sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°cos 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝
2
2
.
跟踪训练1 解 (1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)
＝ cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝
1
2
.
2sin 50°＋
2sin 80°
(2)原式＝
cos 10°
·
13
2
cos 10°＋
2
sin 10°
2cos 5°
2sin 50°＋2cos60°－10°
2cos 5°

2
22
＝
2
sin 50°＋
2
cos 50°
cos 5°
＝
2cos50°－45°
cos 5°
＝2.
例2 解 ∵sin α＝－
4
5
，π＜α＜
3π
2
，
∴cos α＝－1－sin
2
α＝－
3
5
.
又∵sin β＝
5
13
，
π
2
＜β＜π，
∴cos β＝－1－sin
2
β＝－
12
13
，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－
3124516< br>5
)×(－
13
)＋(－
5
)×
13
＝65
.
引申探究
1．解 ∵sin β＝
5
13
，0＜β＜
π
2
，
∴cos β＝1－sin
2
β＝
12
13
.
又sin α＝－
4
5
，且π＜α＜2π，
①当π＜α＜
3π
2
时，
＝

3
2
cos α＝－1－sinα＝－，
5
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
3124556
＝(－)×＋(－)×＝－；
51351365
3π
②当＜α＜2π时，
2
3
2
cos α＝1－sinα＝，
5
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
3124516
＝×＋(－)×＝.
51351365
综上所述，cos(α－β)＝－
5616
或.
6565
43π
2．解 ∵sin α＝－，且π＜α＜，
52
3
2
∴cos α＝－1－cosα＝－.
5
π
又∵＜β＜π，
2
π
∴－π＜－β＜－，
2
∴0＜α－β＜π.
16
又cos(α－β)＝，
65
∴sin(α－β)＝1－cos
2
α－β＝1－
16
65
263
＝，
65
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β)
31646312
＝(－)×＋(－)×＝－，
56556513
5
2
∴sin β＝1－cosβ＝.
13
π3π3ππ
跟踪训练2 解 因为＜β＜α＜，所以π＜α＋β＜，0＜α－β ＜，又因为
2424
12354
cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，所以s in(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，所以cos
135135
12
2α＝c os[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝
13

45333
×(－)－×(－)＝－.
513565
1π
例3 解 由cos α＝，0<α<，
72
得sin α＝1－cosα＝
2
1－
1
7
2
43
＝.
7
ππ
由0<β<α<，得0<α－β<.
22
13
又∵cos(α－β)＝，
14
∴sin(α－β)＝1 －cos
2
α－β＝

13

2
33
. 1－

＝

14

14
由β＝α－(α－β)， 得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
11343331
＝×＋×＝，
7147142
π
∴β＝.
3
跟踪训练3 解 因为α，β为锐角且sin α＝
25
2
所以cos α＝1－sinα＝，
5
sin β＝1－cosβ＝
2
5310
，cos β＝，
510
10
，
10
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝
253105102
×－×＝，
5105102
ππ
由0＜α＜，0＜β＜，得0＜α＋β＜π，
22
π
又cos(α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝.
4
当堂训练
1.

2243－31
2. 3. 4．－ 5.－1
22102