简单的三角恒等变换教案.
写雾的作文-有趣的汉字
3.2 简单的三角恒等变换
整体设计
教学分析
本节主要包括利
用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.
本节的内容都是用例题来
展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、
分析,促使学生形成对解题过程中
如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过
程中体现的换元、逆向使用公式等数学思
想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推
理能力.
本节把三角恒等变换的应用放
在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的
研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数
变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内
容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数
是结构方面的差异，还要考虑三角函数式
所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种
立体的综合性变换.从函数式
结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选
择可以联系它们的
适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.
三维目标
1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余
弦公式推
导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，
提高学生的推理能力
.
2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒<
br>等变换在数学中的应用.
3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使
学生形成对解题过程中如
何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、
逆向使用公式
等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.
重点难点
教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.
2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.
教学难点
：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整
体上把握变换过程的
能力.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以
下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面
已
经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行
更加丰富的三角
恒等变换.
思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公
式，
倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更
加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展
的平台.对于
三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含
的角,以及这些角的
三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各
个角之间的联系,并以此为依
据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.
推进新课
新知探究
提出问题
①α与有什么关系?
②如何建立cosα与sin2之间的关系？
③sin2=，cos2=，tan2=这三个式子有什么共同特点？
④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?
⑤证明(1sinαcosβ=[sin(α+β+sin(α-β];
(2sinθ+sinφ=2sin.
并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？
活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin2,将公式中的α用代替,解出
sin2即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是的二倍角.在倍角公式cos2α=1
-
2sin2α中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=1-2sin2,
所以sin2=. ①
在倍角公式cos2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得
cosα=2cos2-1,
所以cos2=. ②
将①②两个等式的左右两边分别相除,即得
tan2=. ③
教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：
(1用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;
(2由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的.
教师与
学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学
生在以后的学习
中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示
为:sin=±,cos=±
所在象限决定.
,tan=±,并称之为半角公式(不要求记忆,符号由
教师引导学生通过这两种变换共同讨论
归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅
会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，
以及这些角的三角函数种类方面的差异.因
此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，
并以此为依据，选择可以联系
它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式
子结构形式的变换.
对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就
会得出左式.
但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，
引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β=sinαcosβ+cosα
sinβ.从方程角度看这个
等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方
程要求得确定解，必须有2个方程，这
就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出
sin(α-β=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相
应的以sinαcosβ，cosαs
inβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.
（2）由（1）得到以和的形式表示的
积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的
形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.
只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=，
β=,代入(1式即得(2式.
证明:(1因为sin(α+β=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β=sinαcosβ-cosαsinβ,
将以上两式的左右两边分别相加,得
sin(α+β+sin(α-β=2sinαcosβ,
即sinαcosβ=[sin(α+β+sin(α-β].
(2由(1,可得sin(α+β+sin(α-β=2sinαcosβ.①
设α+β=θ,α-β=φ,那么α=,β=.
把α,β的值代入①,
即得sinθ+sinφ=2sincos.
教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的
数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用
到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而
把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函
数式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαs
inβ看作y,把等式看作x,y的方程,通过解方程求得x,这就是
方程思想的体现.
讨论结果：①α是的二倍角.
②sin2=1-cos
③④⑤略(见活动）.
应用示例
.
思路1
例1 化简:.
活动：此题考查公式的应
用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角
公式的区别，它们的功能各异，本质
相同，具有对立统一的关系.
解:原式==tan.
点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.
变式训练
化简:sin50°(1+tan10°.
解:原式=sin50°
=2sin50°·
=2cos40°·=1.
例2 已知sinx-
cosx=,求sin3x-cos3x的值.
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化
简，然后再求解.由于(a-b3=a3-
3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b,
∴a3-b3=(a-b3+3ab(a-b.解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想
方法,由于s
inx·cosx与sinx±cosx之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也
可直接应用上述公式求之,即sin3x-cos3x=(sinx-
cosx3+3sinxcosx(sinx-cosx=
于sin3x±cos3x的化简问题之中.
.此方法往往适用
解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx2=,
即1-2sinxcosx=,∴sinxcosx=.
∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx(sin2x+sinxcosx+cos2x
=(1+=.
点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.
变式训练
(2007年高考浙江卷,12
已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,则cos2θ的值是
______________.
答案
:
例
1
已知
.
活动：
此题可从多个角度进行探究
,
由于所给的条件等式与所要证明的等式形
式一致
,
只是
将
A,B
,
因此应从所给的条件等式入手
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行
对比、分析，促使学生形成对
解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过
程中体
现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学
生的推
理能力．
二、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化
和差、和差化积、半
角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相<
br>比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
从结构上看
,
已知条件是
a
2
+b
2
=1
的形式
,
可利用三角代换
.
证明一
:
∵,
学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行
变换的性工具，从而使三角变换的内
容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平
台．
∴cos
4
A·sin
表示．2解：我们可以通过二倍角和来做此题．
因为，可以得到；
B+sin
因为，可以得到．
又因为．
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于
三角变换，由于不同的三角函数
式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的
三角函数
种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联
系，这
是三角式恒等变换的重要特点．
例2．已知，且在第三象限，求的值。2例3、求证：
（１）、；
（２）、．
证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
；．
两式
相加得；2
A-cos
2
B
2
=0.∴cos①；设
， <
br>2
B.∴sin
2
A=sin
2
B.在例3证明中用到哪些数
学思想？
例3
cos
（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六
个关于积化和差、
和差化积的公式．
三．练习：P142面1、2、3
则
cos
2
A