新党章全文-劳动合同法修正案

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三角恒等变换讲义
一、【知识梳理】：
1．两角和与差的三角函数公式
2tan α
2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝.
1－tan
2
α
cos 2α＝cos
2
α－sin
2
α＝2cos
2
α－1＝1－2sin
2
α；
3．公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tan α＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan αtanβ)；tan α－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan αtan
β)．
αα
(2)升幂公式：1＋cos α＝2cos
2
2
；1－cos α＝2sin
2
2
.
1－cos 2α1＋cos 2α
22
(3)降幂公式：sin
α＝
；cos
α＝
.
22
(4)其他常用变形
2sin αcos α2tan αcos
2
α－sin
2
α1－tan
2
α
sin 2α＝
2
＝；cos 2α＝
2
＝；
sinα＋cos
2
α1＋tan
2
αcosα＋sin
2
α1＋tan
2α
αsin α1－cos α
α

2

α
1±sin α＝

sin±cos

；tan
2
＝＝.
2

1＋cos αsin α

2
4．辅助角公式
ab
asin α＋bcos α＝a
2
＋b
2
sin(α＋φ)，其中cos φ＝
2
，sin φ＝
222
.
a＋ba＋b
5．角的拆分与组合
(1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，
ππ
ππ
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝

＋α

－＝

α－

＋.
3

3

4

4

π
π3ππ π
(2)互余与互补关系：例如，

＋α

＋

－ α

＝π，

＋α

＋

－α

＝.

4

4

3

6

2
(3)非特殊角转化为特殊角：例如，15°＝45°－30°，75°＝45° ＋30°.

三、方法归纳总结：
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，
从而正确使 用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分
式要通 分”等．
2．三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊 角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角
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总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函
数．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于
“ 变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是 变角，把所求角用含已知角的
式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的 取值范围．
备注：在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”．
四、典例剖析：
题型一、【公式顺用、逆用、变用】
例1、sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－
3311
B. C．－ D.
2222
π
，π

，则tan 2α的值是________．

2

2．设sin 2α＝－sin α，α∈

3、若
tan


3
，则
cos
2

2sin2


（ ）
4
644816
(A) (B) (C) 1 (D)
252525
10
，则tan 2α＝________
2
4、已知α∈R，sin α＋2cos α＝

5．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接
EC，ED，则sin∠C ED＝( )
3101055
A. B. C. D.
10101015

专题二、【三角恒等变换】
2cos10°－sin2 0°
sin65
0
sin15
0
sin10
0
例 2、
1．
（1）、=________． （2）、：=________
sin 70°
sin25
0
cos15
0
cos80
0







.



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变式：（1）、4cos 50°－tan 40°＝( )
2＋3
A.2 B.
2
C.3 D．22－1

3tan 12°－3
（2)、＝________.
2
（4cos12°－2）sin 12°

专题三：【凑角应用】

33

5
π
3
例3、
已知0<β<
4
<α<
4
π，
cos(

),sin(
< br>)
，求
sin(



)
的值．
45413








知识小结：解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2 )当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后
应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角”．
α
1
(3)常见的配角技巧：α＝2·；α＝(α＋β )－β；α＝β－(β－α)；α＝[(α＋β)＋(α－β)]；
22
1
ππ
π
－α

.
β＝
[ (α＋β)－(α－β)]；＋α＝－


242

4
ππ β
4
β
ππ3π
1
＋α

＝，cos
< br>－

＝，则cos

α＋

＝________变式 1、若0＜α＜，＜β＜，cos


4

3

4 2

5

2

222





变式2、已知
tan

2
，
ta n







αα
ππ变式3、已知0＜α＜，0＜β＜且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan＝1－tan
2< br>，求α＋β的值．
4422
α
分析：由的关系可求出α的正切值．再依据已知 角β和2α＋β构造α＋β，从而可求
2
出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而 确定α＋β.





αα
评析：首先由4t an＝1－tan
2
的形式联想倍角公式求得tanα，再利用角的变换求tan(α＋β)，
22
据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范 围
求角，两步必不可少．
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.
1
，则
tan

的值为_______.

7

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题型四、【三角恒等变换的综合运用】
1c os2x8sin
2
x
1、当
0x
时，函数
f(x) 
的最小值为（ ） C A．2
sin2x
2
B．
23
C．4 D．
43





2．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________．


3、已知函数
f
x

sin
2
xsin
2

x 





，
xR

6
(I)求
f(x)
最小正周期；(II)求
f(x)
在区间< br>[











,]
上的最大值和最小值.
34
π5π
3
4、已知函数f(x)＝Asin

x＋

，x∈R，且f

＝.

4

12

2

π3π
3
①求A的值； ②若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈

0，

，求f

－θ

.
2
2

4

【点拨】 解题(1)的关键是准确利用平 方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用
5π
诱导公式进行转化或利用“切化弦” ；解题(3)的思路是①由f

的值直接求出A的值；

12

3
②化简f(θ)＋f(－θ)＝可得cos
θ
的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sin
2
3π
θ
，再化简f

4
－θ

可得答案．













5、已知
tan

2
．

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（1）求
tan














4


的值； （2）求
sin2

的值．
sin
2

sin

cos

cos2

1
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