西安职业技术学院-居委会主任述职报告

河南省叶县高级中学 数学组 郑志祥整理编写
三角恒等变换基础知识及题型分类汇总
一、知识点：
（一）公式回顾：

cos



cos

cos

sin

sin

.简记：C
（



）


sin



sin

cos

cos

sin

.简记：S
（



）











S
2


sin2

2sin

cos

，简记

22
cos2

cos

sin

, 简记C
2



2tan

k
(

且

k

）,简记T
2


tan2


2
1tan

242


2222


二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它 如4α是2α的两倍，α2是α4的两倍，3α是
3α2的两倍，α3是α6的两倍等，所有这些都可以 应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的
含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍 角关系的就可以应用二倍角公式。

（二）公式的变式


1 cos

1sin2

(sin

cos

)
2
cos

2
1cos2

2cos

22


1cos2

2sin
2


1cos

sin

cos
2


1cos2

22

2


1cos2

2
sin

sin



1cos

2
2

tan


2
cos
1cos


1cos

sin

1cos


2

tan
2

1cos


1cos


sin



公式前的号，取决于
2

辅助角（合一）公式：
所在的象限，注意讨论.



ab
22


sinxcosx

asinxbcosxab


2222
ab


ab


b
22

absin(x

)其中tan


a


二典例剖析：
基础题型




t an

tan

tan(



), 简记：T
1tan

tan

cos2

co s

sin

2cos

112sin


河南省叶县高级中学 数学组 郑志祥整理编写
题型一：公式的简单运用
例1:
5

[课本例题]已知sin 2

,

,求sin4

,cos4
,tan4

.

1342


12




[同型练习]已知cos,

,


,求sin

,cos

,tan

.

2132

2


4
[课本例题]在△ ABC中，cosA,tanB2,求tan(2A2B).

5

31




[提高练习]已知sinx,x

,


,tan(

y),求tan(x2y).
52

2


题型二：公式的逆向运用
例2:
1.求下列各式的值：

2tan15

(1)sin22.5 cos22.5;(2);(3)12sin
2
75
2
1tan15 

2.化简下列各式：

3


1tan
2



2
;(3)sin

(1)sin
4
cos
4
;(2)




cos




3
224



4

tan
2


5


3.求值：(1)coscos;(2)cos36cos72
1212

题型三：升降幂功能与平方功能的应用
例3.
1.化简下列各式：
(1) 1sin40;(2)1sin

;
(3)1cos20;(4)1co s

1sin2

cos2

1sin2

cos2

2.化简：(1);(2)
1sin2

 cos2

1sin2

cos2

1
3.已 知sinxcosx,0x

,求sin2x和cos2x.
3

提高题型：
题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形）
例1


3cos

1212

2 .当锐角

取何值时,(13)sin2

(13)cos2

有最大值？并求这个最大值.

3.求y3sin(x10)5sin(x70)的最大值.

方法：角不同的时候，能合一变换吗？

河南省叶县高级中学 数学组 郑志祥整理编写

4.

求函数y2sin(x10)2cos( x55)的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时的x的值.


5.

f(x)asinxbcosx,当f()1且f(x)的最 小值为k时，求k的取值范围.
3

32sinx
6.

求函数y的值域.
22cosx
方法：
1.转化为与圆有关的最值2.合一变换+有界性3.万能公式换元为二次分式

题型2：角的变换（1）把要求的角用已知角表示
例2

8211.已知

,

为锐角，sin

,cos(



),求cos

的值.

1729

41
[类似题]

,

为锐角 ,cos

,tan(



),求cos

的值.

53


3

312
2.已知



,sin(



) ,cos(



),求cos2

的值.

24513



1






2
[类似题]已知cos

,sin
,且



,0

,求cos.< br>

2

9222

2

3

方法：1、想想常见的角的变换有哪些？2、求值时注意讨论研究角的范围。

< br>12



3

5





3







,sin




,且


0,

,



,

,求 sin(



).

13

4

5

4

4

44

< br>

3






3

3


5
[类似题]已知

,，< br>
0,，cos

，sin

,求sin(



).

444454

13

4.已知sin(2



)2sin

,求证：tan

3t an(



).

2




[类似题]已知7sin

3sin(



),求证：2tan()5tan.
22
证明的方法也是角的变换：把要求证的角转化为已知的角.

（2）互余与互补




3tan




< br>


6

1.已知cosxm,则sin2x__ ____.2.化简：


4





13cot




3

7

7

sin2x2sin
2
x



3



3
已知sin

x

,求sin2x4.已知cos

x

,且 x，求

3.
45451241tanx



方法： 善于发现补角和余角解题，关注


x

,



x

,

2

x
三者关系
题型3：非特殊角求值
2cos10sin20
例3:
44
1.
sin7cos15sin8

cos2 0cos7sin15sin8
1313
2.;[类似题]
sin10cos10sin50cos50
;[类似题]

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
8

1
tan

12
;[类似题]sin< br>2

12
cos
2

8


1

4.2sin70
2sin170

cos10

5.(tan103)
sin50

1cos20

6.sin10(cot5tan5)

2sin20
131


7.



22


cos80cos10

cos20

8.2si n50sin10(13tan10)2sin
2
80

方发：(1)减少非特殊角的数量；(2) 注意“倍”、“半”。
题型4：式的变换
1、tan(α±β)公式的变用

tan

tan

tan(



)(1tan

tan
)

1tan

1tan


ta n(

)tan(

)
1tan

41 tan

4

例4:

化简：


1.

tantantantan;[类似题] tan111tan114tan111tan114
126126



2.

tan18tan423tan18 tan42[类似题]tan(x)tan(x)3

tan(x)ta n(x)

6666


20tan60tan60tan10tan10tan20

4.(1tan1)(1tan2)(1tan44)(1tan45)

(18x)tan(12x)3

tan(18x)tan(12 x)


x

x

()tan()
2442


由



,则(1tan

)(1tan

)2,为什么？
5可推广：
4

2、齐次式


sincos

12
1.
12


sincos
1212


2.已知tan

, tan

是方程6x
2
5x10的两个实数根.求:(1)tan(< br>


)的值；

(2)sin
2
(


)cos(



)sin(



)3cos
2
(



)的值.

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3、“1”的运用（1±sinα, 1±cosα凑完全平方）

1.化简下列各式：


(1)1sin

;(2)1 cos

1sin2

cos2

1sin2

cos2


2.化简：(1);(2)

1si n2

cos2

1sin2

cos2


1
3.已知sinxcosx,0x

,求sin2x和 cos2x.

3

4、两式相加减，平方相加减

34
1.已知sin

sin

,cos

co s

,求cos(



).

55

11
[类似题1]已知cos

sin

,sin

cos

,求sin(


).

23

[类似题2]已知sin

 sin

sin

0,cos

cos
< br>cos

0,求cos(



).

13
2.已知cos(



),cos(
< br>

),求tan

tan

的值.

55

11tan

的值.

[类似题]已知si n(



),sin(



), 求
23tan


31

3.(2004全国)锐角AB C中,sin(AB),sin(AB),(1)求证：tanA2tanB
55

(2)若AB3,求AB边上的高.

ABC的面积.

[类似 题]ABC中,BAC45,BC边上的高把BC分成BD2,DC3的两部分，求
5、一 串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）

求值：36cos72

10 sin30sin50sin70[类似题]sin6sin42sin66 sin78


2

3

4

5

xxx
coscoscos[类似题]coscoscos
4
2
n

题型5：函数名的变换
要点：(1)切化弦；(2)正余互化

3



,

22
例5:
2cos
2

1

2.化简3.化 简sin2

(1tan2

tan

).
< br>
2tan(

)sin
2
(

)< br>
44


135
4.若锐角

,

满足tan

tan

,且sin(

< br>
),求(1)cos(



);(2)cos(



).

73

题型6：给值求角 要点：先确定角的范围（尽可能缩小），再选择恰当的函数
例6:
1.(1)若f(co sx)cos17x,求证：f(sinx)sin17x(2)xR,nZ,且f(sinx)si n(4n1)x,求f(cosx)

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

2

[类似题]已知0
,0

,且3sin

sin(2



),4tan1tan,求



的值.

4422

已知3sin
2

2sin
2

1,3sin2

2sin2

0,

,

为锐角，求

2

.

4.


题型7：化简与证明
方法：上述7类常见方法
思路：变同角，变同名，变同次
例7:

2



1.已知7sin

3sin(



) ,求证：2tan5tan

22

1＋sin

co s

1＋sin

cos


2.化简：

1＋sin

cos

1＋si n

cos




(1sin

cos

)(sincos)
22
(0



)

3.化简

22cos


1


2

sin
2

cos< br>2

cos
2

cos2

cos2
.
2





1＋sin

3cos



5. 化简：

2tan()


42



2cos
2
()cottan

22

42

题型8：综合应用
例8:
sin2xcos2x

1.设f(x).(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的值域.

tanxcotx





2.已知函数f (x)2cos
2
x23sinxcosxa,若f(x)在

，< br>
上最大值与最小值之和为3，求a的值.


63






3.已知函数f(x)3sin

2x

2sin
2
x

,xR.
6

12

< br>
(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
4.(06福建)若函数f(x)sin
2
x3sinxcosx2co s
2

x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
25 10
,sin

,求



的值.
51 0


510
[类似题]已知

,

为钝 角,且sin

,sin

,求



的值.

510


2.

,

,

为锐角,tan


1
,tan


1
,tan


1
,求





.

258

11
已知tan(


),tan

,且

(0,< br>
),

(0,

),求2



的值.

3.
27


1.

,

为锐角,cos



(2)函数f(x)的图象可以由函数ysin2x的图象经过怎样的变换得到？

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总结：
一、Sα±β、 Cα±β公式的逆向运用
➢ （1）变角，以符合公式的形式 （2）合一变换
二、角的变换
➢ 1、变换角：要点：（1）把要求的角用已知角表示；（2）注意角的范围
➢ 2、互余与互补
三、非特殊角求值
➢ 方向：（1）减少非特殊角的个数 （2）关注倍、半角关系（3）利用一些特殊的数值
四、式的变换
➢ 1、tan(α±β)公式的变用
➢ 2、齐次式
➢ 3、 “1”的运用（1±sinα, 1±cosα凑完全平方）
➢ 4、两式相加减，平方相加减
➢ 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）
五、函数名的变换
➢ 要点：（1）切割化弦；（2）正余互化
六、倍、半角公式的功能
➢ （1）升降幂功能，（2）平方功能（ 1±sinα, 1±cosα）
七、给值求角问题
➢ 要点：（1）先确定角的范围（尽可能缩小），（2）选择恰当的函数
八、化简与证明问题
➢ 思路：变同角，变同名，变同次
补充公式（了解）
< br>1






sin
cos

sin(



)sin(
< br>

)sin

sin

2sincos

222

1







cos

sin

sin(

< br>
)sin(



)sin

sin

2cossin

222







cos

cos


1

cos(



)c os(



)

cos

cos
2coscos
222


1








)cos(


)

cos

cos

2sinsi n

sin

sin



cos(< br>222

3

sin3

3sin

4sin


cos3

4cos
3

3cos




2sincos2tan


22
< br>2
.sin

2sincos

22
sin2

cos
2

1tan
2


222


2

2

2

cossin1tan


2

22

2
.sin
2


cos

cos
22
sin
2
cos
2

1tan
2


222



2tan

2
.tan




1tan
2
2