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三角恒等变换
一、基本内容
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(



)sin

cos

cos

sin

;
cos(



)cos

cos

msin

sin

; tan(



)
tan

tan


1
m
tan

tan

对正切的和 角公式有其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式
比较方便。
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2

sin

cos

.
cos2

cos
2

sin
2

2cos
2

112sin
2

.
tan2


2tan

.
1tan
2

2
要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意 公式的三
角表达形式，且要善于变形，
cos
常用。
3．简单的三角恒等变换
（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
1 cos2
,
2
sin
2

1cos2
这两个形式
2
（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。
二、考点阐述
考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
1、
sin20cos40cos20sin40
的值等于（ ）
oooo
A.
33
11
B. C. D.
24
42
2、若
tan

3
，
tan


4
，则
tan(


)
等于（ ）
3
1
1
A.
3
B.
3
C.

D.
3
3

2

cos的值等于（ ）
5
5
1

4
B．
考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式
3、cos
A．
1

2
C．2 D．4

4、 已知
0A
3
，那么
sin2A
等于（ ）
25
471224
A. B. C. D.
25252525
，且
cosA

考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换
2

1

,tan(

),
则
tan(

)
的值等 于 （ ）
4
544
13
313
3
（A） （B） （C） （D）
2222
1818
11
6、已知
sin

sin

,cos

cos

,
则
cos(



)
值等于（ ）
23
7
1759
109
（A）

（B）

（C）

（D）


12
1872
72
5、已知
tan(



)
7、函数
f(x)cos(x
2

12
)sin
2
(x

12
)1
是（ ）
（A）周期为
2

的奇函数
（C） 周期为

的奇函数
（B）周期为
2

的偶函数
（D）周期为

的偶函数


三、解题方法分析
1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点
【方法点拨】三角函数中出现的公式 较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，
做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使 用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联
想，灵活运用。
132tan13
o
sin50
o
oo
sin6,b,c,
则有（ ） 例1设
acos6
221tan
2
13
o
2cos25o
A.
abc
B.
abc
C.
acb
D.
bca



2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口
三角恒等变换是三角函数与平面 向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其
质，它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函 数式之间的内在联系，帮助我们达到
三角恒等变换的目的。
（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`
【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦 公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归
的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、 证明中角、名称、形式的变换问题。
例2． 已知
3
π3π
12
＜ β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．
5
2413

例3．化简： ［2sin50°+sin10°（1+
3
tan10°）］·
sin
280
．





（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换

【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此 ，有时在三
角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程< br>求解。
例4：已知sin（α+β）=






（3）运用换元思想，实现三角恒等变换
【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未 知向已知转化，可以利用特定的关系，
把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要 特别注意新元
的范围。
例5：若
sin

sin







tan(



)tan

tan

23
，sin（α－β）=，求的值．。
2
tan

tan(



)
34
2< br>,
求
cos

cos

的取值范围。
2

3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点（学生尝试）
【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何
等知 识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与
整合。
r
rrr
例6：已知：向量
a(3,1)
，
b(sin2x,
cos2x)
，函数
f(x)ab
（1）若
f(x)0
且
0x

，求
x
的 值；
rr
（2）求函数
f(x)
取得最大值时，向量
a
与
b
的夹角．


四、作业
1．sin165º= （ ） A．
362
1
B． C． D．
2
4
2
62

4
2．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ） A．
3．已知
x(
D．

33
1
1
B． C． D．


22
2
2

2
,0)
，
cosx
4
724
7
，则
tan2x
（ ） A． B．

C．
24
247
5
24

7
4．化简2sin（
ππ
－x）·sin（+x），其结果是（ ）
44
Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x

—
3
cos的值是 （ ） A．0 B． —
2
C．
2
D． 2
1212
5

sin
12
5．sin
1tan
2
75
的值为 (
6．
tan75
D．


7．若
cos
)
A．
23
B．

23
C．
23

3

23

3

2
3

4
，
sin
，则 角

的终边一定落在直线（ ）上。
25
5

A．
7x24y0
B．
7x24y0
C．
24x7y0
D．
24x7y0

8．
cos




cos

sin




sin

_________.

1tan15

9．
1tan15

＝

ooo
10．
tan20tan403tan20tan40
的值是 .
o
11．求证：
1
sin2

．

4
cottan
22
cos
2






12．已知
tan2

1
，求
tan

的值．
3




13．已知
0x

5
,sin(x),
求
4413
cos2x
cos(x)
4

的值。





14．若
A

0,


,且
sinAcosA
5sinA4cosA
7
, 求的值。
13
15sinA7cosA






15．设
f(x)asin

xbco s

x(

0)
的周期为
T

,最大 值
f(
(1) 求

,a,b
的值;

12
)4
.
(2) 若

,
为方程
f(x)0
的两根,且

,

的终边不共线, 求
tan(



)
的值.