关于教师节的诗句-中华传统文化手抄报

3.2简单的三角恒等变换
知识点及角度

半角公式及应用

化简求值、证明问题

与三角函数性质有关问题

难易度及题号
基础

1、2、3

5

4


中档

8
6、9、11
7、10

稍难


12
α
1
α
1．已知cos＝，540°<
α
< 720°，则sin等于( )
234
A.
3

3
3

3
B.
6

3
6

3
C．－D．－
解析：∵540°<
α
<720°，
∴270°<<360°，135°<<180°.
24
1－cos
2αα
α
2
＝
3
.
3
∴sin＝
4
答案：A
α
2．已知2sin
α
＝1＋cos
α
，则tan等于( )
2
1
A.
2
C．2
1
B.或不存在
2
D．2或不存在
α
解析：由2sin
α
＝1＋cos
α
，即4sincos ＝2cos，当cos＝0时，则tan
22222
αα
2
ααα
αα
1
不存在，若cos≠0，则tan＝.
222
答案：B
3．已知tan＝3，则cos
α
＝( )
2
4
A.
5
3
C．－
5
4
B．－
5
3
D.
5
α

1－tan
222
1－3
2
αα
4
22
解析：cos
α
＝cos－sin＝＝＝
2
＝－.
221＋35
2α
2
α
2
α
cos＋sin1＋tan
222
答案：B
4．已知函数
f
(
x
)＝
a
sin[( 1－
a
)
x
]＋cos[(1－
a
)
x
] 的最大值为2，则
f
(
x
)的最小正周
期为________． < br>解析：∵
f
(
x
)＝
a
＋1sin[(1－
a
)
x
＋
φ
]，
由已知得
a
＋1＝2，∴
a
＝3.
2π
∴
f
(
x
)＝2sin(－2
x
＋
φ
)．∴
T
＝＝π.
|－2|
答案：π
2cos－sin
x
－1
2
5．若tan
x
＝2，则＝______.
sin
x
＋cos
x
cos
x
－sin
x
1－tan
x
1－2
解析：原式＝＝＝
cos
x
＋sin
x
1＋tan
x
1＋2
1－2
＝
－1
＝22－3.
答案：22－3
2
2
cos
2
α
－sin
2
α
2
α
x


1
－tan
x

13
2

x
2

＋cos 2
x
. 6．化简sin
x

tan

22

2

xx
cossin

22
13
－
解：原式＝sin
x

＋cos 2
x

xx

22

sin
2
cos
2

2
cos－sin
22
1
2
3
＝sin
x
·＋cos 2
x

2
xx
2
sincos
22
cos
x
3
2
＝sin
x
·＋cos 2
x

sin
x
2
π

13

＝sin 2
x
＋cos 2
x
＝sin

2
x
＋

.
3

22


7．函数
y
＝2sin
x
(sin
x
＋cos
x
)的最大值是( )
2
x
2
x

A．1＋2
C.2
B.2－1
D．2
π

2
解析：
y
＝2sin
x
＋2sin
x
·cos
x
＝1－cos 2
x
＋sin 2
x
＝1＋2sin

2
x
－

，
4

y
max
＝1＋2.
答案：A
1＋tan
2
4
8．若cos
α
＝－，
α
是第三象限的角，则等于( )
5
α
1－tan
2
1
A．－
2
C．2
1
B.
2
D．－2
α
4
解析：∵
α
是第三象限角，cos
α
＝－，
5
3
∴sin
α
＝－.
5
sin
1＋ tan
∴
1－tan
α
2
α
2
2
1＋cos
α
2
＝
α
＝
cos＋sin
22cos－sin
22
αα
α

sin
2
1－< br>α
cos
2
αα
cos＋sin
22
＝·
αααα
cos－sincos＋sin
2222
3
1－
5
1＋sin
α
1
＝＝＝－.
cos
α
42
－
5
答案：A
sin 4
x
cos 2
x
cos
x
9．化简：··＝________.
1＋cos 4
x
1＋cos 2
x
1＋cos
x
解析：原式＝
2sin 2
x
cos 2
x
cos 2
x
cos
x
sin 2
x
cos
x
··＝·＝
2
2cos2
x
1＋cos 2
x
1＋cos
x
1＋cos 2
x
1＋cos
x
cos＋sin
22
αααα
2sin
x
cos
x
cos
x
sin
xx
·＝＝tan.
2
2cos
x
1＋cos
x
1＋cos
x
2

答案：tan 2
→→
10．设
θ
∈[0,2π]，
OP
1
＝ (cos
θ
，sin
θ
)，
OP
2
＝(3－cos
θ
，4－sin
θ
)．则
P
1
、
x
P
2
两点间距 离的取值范围是______．
→→→
解析：∵
P
1
P
2
＝
OP
2
－
OP
1
＝(3－2cos
θ
，4－2sin
θ
),
→
222
∴|P
1
P
2
|＝(3－2cos
θ
)＋(4－2sin
θ
)
＝29－12cos
θ
－16sin
θ
＝29－20cos(
θ
＋
α
)．
→
∴3≤|
P
1
P
2
|≤7.
答案：[3,7]
1＋sin 4
θ
－cos 4
θ
1＋sin 4
θ
＋cos 4
θ
11．求证：＝.
2
2tan
θ
1－tan
θ
2tan
θ
证明：原式等价于1＋sin 4
θ
－cos 4
θ
＝(1＋sin 4
θ
＋cos 4
θ
)．
2
1－tan
θ
即1＋sin 4
θ
－cos 4
θ
＝tan 2
θ
(1＋sin 4
θ
＋cos 4
θ
)．(*)
而(*)式右边＝tan 2
θ
(1＋cos 4
θ
＋sin 4
θ
)
＝
sin 2
θ
2
(2cos2
θ
＋2sin 2
θ
cos 2
θ
)
cos 2
θ
2
＝2sin 2
θ
cos 2
θ
＋2sin2
θ

＝sin 4
θ
＋1－cos 4
θ

＝左边．
所以(*)式成立，原式得证．

12．如图，矩形
ABCD
的长
AD
＝23，宽
AB
＝1，
A
，
D
两点分 别在
x
，
y
轴的正半轴上移
动，
B
，
C< br>两点在第一象限，求
OB
的最大值．
解：过点
B
作
BH
⊥
OA
，垂足为
H
.
2

π

π

设∠
OAD
＝
θ

0＜
θ
＜

，则∠
BAH
＝－
θ
，
2

2

OA
＝23cos
θ
，

BH
＝sin

－
θ

＝cos
θ
，

π

2


AH
＝cos

－
θ

＝sin
θ
，
2


∴
B
(23cos
θ
＋sin
θ
，cos
θ
)，
π
OB
2
＝(23cos
θ
＋sin
θ
)
2
＋cos
2

θ

π

＝7＋6cos 2
θ
＋23sin 2
θ
＝7＋43sin

2
θ
＋

.
3

πππ4π
由0＜
θ
＜，知＜2
θ
＋＜，
2333
π
2
∴当
θ
＝时，
OB
取得最大值7＋43.
12

1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式， 而忽视对思想方法的理解，要学
会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记 忆公式和运用公
式．
2．辅助角公式
a
sin
x
＋
b
cos
x
＝
a
＋
bsin(
x
＋
φ
)，其中
φ
满足：①
φ
与点(
a
，
b
)
22
ba

b

或sin
φ
＝，cos
φ
＝
同象限；②tan
φ
＝

.
a

a
2
＋
b
2
a
2
＋
b
2

3．研究形如
f
(
x
)＝
a
sin
x
＋
b
cos
x
的函数性质，都要运用辅助角公式化为一 个整体角
的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公
式，也是高考常考的考点之一，对一些特殊的系数
a
、
b
应熟练掌握，例如 sin
x
±cos
x
＝

π

π< br>
2sin

x
±

；sin
x
±3cos
x
＝2sin

x
±

等．
4

3
